Observable

En física , un observable es una propiedad física o cantidad física que se puede medir . En mecánica clásica , un observable es una "función" de valor real en el conjunto de todos los estados posibles del sistema, por ejemplo, posición y momento . En mecánica cuántica , un observable es un operador , o calibre , donde la propiedad del estado cuántico puede determinarse mediante alguna secuencia de operaciones . Por ejemplo, estas operaciones podrían implicar someter el sistema a varios campos electromagnéticos y, finalmente, leer un valor.

Los observables físicamente significativos también deben satisfacer leyes de transformación que relacionan observaciones realizadas por diferentes observadores en diferentes marcos de referencia . Estas leyes de transformación son automorfismos del espacio de estados , es decir transformaciones biyectivas que preservan ciertas propiedades matemáticas del espacio en cuestión.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , los observables se manifiestan como operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert complejo separable que representa el espacio de estados cuánticos . ^[1] Los observables asignan valores a los resultados de mediciones particulares , correspondientes al valor propio del operador. Si estos resultados representan estados físicamente permisibles (es decir, aquellos que pertenecen al espacio de Hilbert), los valores propios son reales ; sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. ^[2]^[3]^[4] Como consecuencia, sólo ciertas mediciones pueden determinar el valor de un observable para algún estado de un sistema cuántico. En la mecánica clásica, se puede realizar cualquier medición para determinar el valor de un observable.

La relación entre el estado de un sistema cuántico y el valor de un observable requiere algo de álgebra lineal para su descripción. En la formulación matemática de la mecánica cuántica , hasta una constante de fase , los estados puros están dados por vectores distintos de cero en un espacio de Hilbert V. Se considera que dos vectores v y w especifican el mismo estado si y solo si para algún valor distinto de cero . Los observables están dados por operadores autoadjuntos en V . No todos los operadores autoadjuntos corresponden a un observable físicamente significativo. ^[5]^[6]^[7]^[8] Además, no todos los observables físicos están asociados con operadores autoadjuntos no triviales. Por ejemplo, en la teoría cuántica, la masa aparece como un parámetro en el hamiltoniano, no como un operador no trivial. ^[9] $\mathbf {w} =c\mathbf {v}$ $c\in \mathbb {C}$

En el caso de las leyes de transformación en mecánica cuántica, los automorfismos requeridos son transformaciones lineales unitarias (o antiunitarias ) del espacio de Hilbert V. Bajo la relatividad galileana o relatividad especial , las matemáticas de los marcos de referencia son particularmente simples, restringiendo considerablemente el conjunto de observables físicamente significativos.

En mecánica cuántica, la medición de observables exhibe algunas propiedades aparentemente poco intuitivas. Específicamente, si un sistema se encuentra en un estado descrito por un vector en un espacio de Hilbert , el proceso de medición afecta el estado de una manera no determinista pero estadísticamente predecible. En particular, después de aplicar una medición, la descripción del estado mediante un único vector puede destruirse, siendo reemplazada por un conjunto estadístico . La naturaleza irreversible de las operaciones de medición en física cuántica a veces se denomina problema de medición y se describe matemáticamente mediante operaciones cuánticas . Por la estructura de las operaciones cuánticas, esta descripción es matemáticamente equivalente a la ofrecida por la interpretación del estado relativo , donde el sistema original se considera un subsistema de un sistema mayor y el estado del sistema original está dado por la traza parcial del estado de el sistema más grande.

En mecánica cuántica, las variables dinámicas como la posición, el momento de traslación (lineal) , el momento angular orbital , el espín y el momento angular total están asociadas cada una con un operador autoadjunto que actúa sobre el estado del sistema cuántico. Los valores propios del operador corresponden a los posibles valores que se puede observar que tiene la variable dinámica. Por ejemplo, supongamos que es un mercado propio ( vector propio ) del observable , con valor propio , y existe en un espacio de Hilbert . Entonces $A$ ${\sombrero {A}}$ ${\sombrero {A}}$ $|\psi _ {a}\rangle$ ${\sombrero {A}}$ $a$

{\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .

Esta ecuación de mercado propio dice que si se realiza una medición del observable mientras el sistema de interés está en el estado , entonces el valor observado de esa medición en particular debe devolver el valor propio con certeza. Sin embargo, si el sistema de interés está en el estado general (y y son vectores unitarios y el espacio propio de es unidimensional), entonces el valor propio se devuelve con probabilidad , mediante la regla de Born . ${\sombrero {A}}$ $|\psi _ {a}\rangle$ $a$ $|\phi \rangle \in {\mathcal {H}}$ $|\phi \rangle$ $|\psi _ {a}\rangle$ $a$ $a$ $|\langle \psi _ {a}|\phi \rangle |^{2}$

Observables compatibles e incompatibles en mecánica cuántica

Una diferencia crucial entre las cantidades clásicas y los observables de la mecánica cuántica es que algunos pares de observables cuánticos pueden no ser mensurables simultáneamente, una propiedad conocida como complementariedad . Esto se expresa matemáticamente por la no conmutatividad de sus correspondientes operadores, en el sentido de que el conmutador

\left[{\sombrero {A}},{\sombrero {B}}\right]:={\sombrero {A}}{\sombrero {B}}-{\sombrero {B}}{\ sombrero {A}}\neq {\sombrero {0}}.

Esta desigualdad expresa una dependencia de los resultados de las mediciones del orden en que se realizan las mediciones de los observables y . Una medición de altera el estado cuántico de una manera que es incompatible con la medición posterior de y viceversa. ${\sombrero {A}}$ ${\sombrero {B}}$ ${\sombrero {A}}$ ${\sombrero {B}}$

Los observables correspondientes a los operadores de desplazamiento se denominan observables compatibles . Por ejemplo, el impulso a lo largo del eje y son compatibles. Los observables correspondientes a operadores que no viajan se denominan observables incompatibles o variables complementarias . Por ejemplo, la posición y el impulso a lo largo del mismo eje son incompatibles. ^[10]^{: 155} $x$ $y$

Los observables incompatibles no pueden tener un conjunto completo de funciones propias comunes . Tenga en cuenta que puede haber algunos vectores propios simultáneos de y , pero no los suficientes para constituir una base completa . ^[11]^[12] ${\sombrero {A}}$ ${\sombrero {B}}$

Ver también

Referencias

^ Teschl 2014, págs. 65–66.
^ Consulte la página 20 de las notas de la conferencia 1 de Robert Littlejohn Archivado el 29 de agosto de 2023 en Wayback Machine para obtener una discusión matemática utilizando el operador de impulso como ejemplo específico.
^ de la Madrid Modino 2001, págs.
^ Ballentine, Leslie (2015). Mecánica cuántica: un desarrollo moderno (2 ed.). Científico mundial. pag. 49.ISBN 978-9814578578.
^ Isham, Christopher (1995). Conferencias sobre teoría cuántica: fundamentos matemáticos y estructurales. Científico mundial. págs. 87–88. ISBN 191129802X.
^ Mackey, George Whitelaw (1963), Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , Dover Books on Mathematics, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43517-6
^ Emch, Gerard G. (1972), Métodos algebraicos en mecánica estadística y teoría cuántica de campos , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-23900-0
^ "¿No todos los operadores autoadjuntos son observables?". Intercambio de pila de física . Consultado el 11 de febrero de 2022 .
^ Isham, Christopher (1995). Conferencias sobre teoría cuántica: fundamentos matemáticos y estructurales. Científico mundial. págs. 87–88. ISBN 191129802X.
^ Mesías, Albert (1966). Mecánica cuántica . Holanda del Norte, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244.
^ Griffiths, David J. (2017). Introducción a la Mecánica Cuántica. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 111.ISBN 978-1-107-17986-8.
^ Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë 2019, p. 232.

Otras lecturas

Auyang, Sunny Y. (1995). ¿Cómo es posible la teoría cuántica de campos? . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0195093452.
Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (2019). Mecánica cuántica, volumen 1 . Weinheim: John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-34553-3.
de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje espacial de Hilbert amañado (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.
Teschl, G. (2014). Métodos matemáticos en mecánica cuántica . Providence (RI): Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-1-4704-1704-8.
Von Neumann, John (1996). Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . Traducido por Robert T. Beyer (12. impresión, 1. impresión en rústica. ed.). Princeton, Nueva Jersey: Universidad de Princeton. Prensa. ISBN 978-0691028934.
Varadarajan, VS (2007). Geometría de la teoría cuántica (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 9780387493862.
Weyl, Hermann (2009). "Apéndice C: Física cuántica y causalidad". Filosofía de las matemáticas y ciencias naturales . Edición en inglés revisada y aumentada basada en una traducción de Olaf Helmer. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 253–265. ISBN 9780691141206.
Moretti, Valter (2017). Teoría espectral y mecánica cuántica: fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica (2 ed.). Saltador. ISBN 978-3319707068.
Moretti, Valter (2019). Estructuras matemáticas fundamentales de la teoría cuántica: teoría espectral, cuestiones fundamentales, simetrías, formulación algebraica. Saltador. ISBN 978-3030183462.