En matemáticas , la monodromía es el estudio de cómo se comportan los objetos del análisis matemático , la topología algebraica , la geometría algebraica y la geometría diferencial mientras "giran alrededor" de una singularidad . Como su nombre lo indica, el significado fundamental de monodromía proviene de "correr de un lado a otro". Está estrechamente asociado con los mapas de cobertura y su degeneración en ramificación ; El aspecto que da lugar a los fenómenos de monodromía es que ciertas funciones que deseamos definir no logran tener un solo valor cuando "corremos alrededor" de un camino que rodea una singularidad. El fracaso de la monodromía se puede medir definiendo un grupo de monodromía : un grupo de transformaciones que actúan sobre los datos que codifican lo que sucede cuando "corremos" en una dimensión. La falta de monodromía a veces se denomina polidromía . [1]
Sea X un espacio topológico de base conectado y localmente conectado con un punto base x , y sea una cubierta con fibra . Para un bucle γ: [0, 1] → X basado en x , denota un levantamiento bajo el mapa de cobertura, comenzando en un punto , por . Finalmente, lo denotamos por el punto final , que generalmente es diferente de . Hay teoremas que afirman que esta construcción da una acción grupal bien definida del grupo fundamental π 1 ( X , x ) sobre F , y que el estabilizador de es exactamente , es decir, un elemento [γ] fija un punto en F si y solo si está representado por la imagen de un bucle basado en . Esta acción se llama acción de monodromía y el homomorfismo correspondiente π 1 ( X , x ) → Aut ( H * ( F x ) ) en el grupo de automorfismos en F es la monodromía algebraica . La imagen de este homomorfismo es el grupo de monodromía . Existe otro mapa π 1 ( X , x ) → Diff( F x )/Is( F x ) cuya imagen se llama grupo de monodromía topológica .
Estas ideas se hicieron explícitas por primera vez en un análisis complejo . En el proceso de continuación analítica , una función que es una función analítica F ( z ) en algún subconjunto abierto E del plano complejo perforado puede continuar nuevamente en E , pero con valores diferentes. Por ejemplo, tome
luego continuación analítica en sentido antihorario alrededor del círculo
resultará en el retorno, no a F ( z ) sino
En este caso el grupo de monodromía es cíclico infinito y el espacio de cobertura es la cobertura universal del plano complejo perforado. Esta cubierta se puede visualizar como el helicoidal (como se define en el artículo sobre helicoides) restringido a ρ > 0 . El mapa de cobertura es una proyección vertical, en cierto sentido colapsando la espiral de la manera obvia para obtener un plano perforado.
Una aplicación importante es la de las ecuaciones diferenciales , donde una única solución puede dar más soluciones linealmente independientes mediante continuación analítica . Las ecuaciones diferenciales lineales definidas en un conjunto abierto y conectado S en el plano complejo tienen un grupo monodromía, que (más precisamente) es una representación lineal del grupo fundamental de S , que resume todas las continuaciones analíticas alrededor de bucles dentro de S. El problema inverso, de construir la ecuación (con singularidades regulares ), dada una representación, es un problema de Riemann-Hilbert .
Para un sistema lineal regular (y en particular fucsiano), normalmente se eligen como generadores del grupo de monodromía los operadores M j correspondientes a bucles, cada uno de los cuales evita sólo uno de los polos del sistema en el sentido contrario a las agujas del reloj. Si los índices j se eligen de tal manera que aumentan de 1 a p + 1 cuando se elude el punto base en el sentido de las agujas del reloj, entonces la única relación entre los generadores es la igualdad . El problema de Deligne-Simpson es el siguiente problema de realización: ¿Para qué tuplas de clases de conjugación en GL( n , C ) existen tuplas irreducibles de matrices M j de estas clases que satisfacen la relación anterior? El problema ha sido formulado por Pierre Deligne y Carlos Simpson fue el primero en obtener resultados para su resolución. Vladimir Kostov ha formulado y explorado una versión aditiva del problema de los residuos de los sistemas fucsianos. El problema también ha sido considerado por otros autores para grupos de matrices distintos de GL( n , C ). [2]
En el caso de un mapa de cobertura, lo vemos como un caso especial de fibración y usamos la propiedad de elevación de homotopía para "seguir" caminos en el espacio base X (asumimos que está conectado por caminos para simplificar) a medida que se levantan. hacia arriba en la cubierta C . Si seguimos un bucle basado en x en X , que levantamos para comenzar en c arriba de x , terminaremos en algún c* nuevamente arriba de x ; es muy posible que c ≠ c* , y para codificar éste se considera la acción del grupo fundamental π 1 ( X , x ) como un grupo de permutación sobre el conjunto de todos c , como un grupo monodromía en este contexto.
En la geometría diferencial, el transporte paralelo desempeña un papel análogo . En un haz principal B sobre un colector liso M , una conexión permite el movimiento "horizontal" desde las fibras por encima de m en M hacia las adyacentes. El efecto cuando se aplica a bucles basados en m es definir un grupo holonómico de traslaciones de la fibra en m ; si el grupo estructural de B es G , es un subgrupo de G que mide la desviación de B del paquete de productos M × G.
De manera análoga al grupoide fundamental, es posible deshacerse de la elección de un punto base y definir un grupoide monodromía. Aquí consideramos (clases de homotopía de) elevaciones de caminos en el espacio base X de una fibración . El resultado tiene la estructura de un grupoide sobre el espacio base X. La ventaja es que podemos eliminar la condición de conectividad de X.
Además, la construcción también se puede generalizar a foliaciones : considere una foliación (posiblemente singular) de M . Luego, para cada camino en una hoja de podemos considerar su difeomorfismo inducido en secciones transversales locales a través de los puntos finales. Dentro de un gráfico simplemente conexo, este difeomorfismo se vuelve único y especialmente canónico entre diferentes secciones transversales si vamos al germen del difeomorfismo alrededor de los puntos finales. De esta manera, también se vuelve independiente de la ruta (entre puntos finales fijos) dentro de un gráfico simplemente conectado y, por lo tanto, es invariante bajo homotopía.
Sea F ( x ) el campo de las funciones racionales en la variable x sobre el campo F , que es el campo de fracciones del anillo polinómico F [ x ]. Un elemento y = f ( x ) de F ( x ) determina una extensión de campo finito [ F ( x ) : F ( y )].
Esta extensión generalmente no es Galois pero tiene un cierre de Galois L ( f ). El grupo de Galois asociado de la extensión [ L ( f ): F ( y )] se llama grupo monodromía de f .
En el caso de F = C, la teoría de superficies de Riemann entra y permite la interpretación geométrica dada anteriormente. En el caso de que la extensión [ C ( x ): C ( y )] ya sea Galois, el grupo de monodromía asociado a veces se denomina grupo de transformaciones de mazo .
Esto tiene conexiones con la teoría de Galois de cubrir espacios que conduce al teorema de existencia de Riemann .
