Grupo Grothendieck

Grupo abeliano que extiende un monoide conmutativo

En matemáticas , el grupo de Grothendieck , o grupo de diferencias , ^[1] de un monoide conmutativo M es un determinado grupo abeliano . Este grupo abeliano se construye a partir de M de la manera más universal, en el sentido de que cualquier grupo abeliano que contenga una imagen homomórfica de M también contendrá una imagen homomórfica del grupo Grothendieck de M. La construcción de grupos de Grothendieck toma su nombre de un caso específico de la teoría de categorías , introducido por Alexander Grothendieck en su demostración del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , que resultó en el desarrollo de la teoría K. Este caso específico es el monoide de clases de isomorfismo de objetos de una categoría abeliana , con la suma directa como operación.

Grupo de Grothendieck de un monoide conmutativo

Motivación

Dado un monoide conmutativo M , el grupo abeliano K "más general" que surge de M debe construirse introduciendo elementos inversos a todos los elementos de M. Un grupo abeliano K siempre existe; se llama grupo Grothendieck de M. Se caracteriza por una cierta propiedad universal y también puede construirse concretamente a partir de M .

Si M no tiene la propiedad de cancelación (es decir, existen a , b y c en M tales que y ), entonces el grupo K de Grothendieck no puede contener a M. En particular, en el caso de una operación monoide denotada multiplicativamente que tiene un elemento cero que satisface para cada grupo de Grothendieck debe ser el grupo trivial ( grupo con un solo elemento), ya que se debe tener ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle ac=bc}$ ${\displaystyle 0.x=0}$ ${\displaystyle x\in M,}$

${\displaystyle x=1.x=(0^{-1}.0).x=0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0}$

por cada x .

propiedad universal

Sea M un monoide conmutativo. Su grupo de Grothendieck es un grupo abeliano K con un homomorfismo monoide que satisface la siguiente propiedad universal: para cualquier homomorfismo monoide de M a un grupo abeliano A , existe un homomorfismo de grupo único tal que ${\displaystyle i\colon M\to K}$ ${\displaystyle f\colon M\to A}$ ${\displaystyle g\colon K\to A}$ ${\displaystyle f=g\circ i.}$

Esto expresa el hecho de que cualquier grupo abeliano A que contenga una imagen homomórfica de M también contendrá una imagen homomórfica de K , siendo K el grupo abeliano "más general" que contiene una imagen homomórfica de M.

Construcciones explícitas

Para construir el grupo K de Grothendieck de un monoide conmutativo M , se forma el producto cartesiano . Las dos coordenadas están destinadas a representar una parte positiva y una parte negativa, por lo que corresponde a en K. ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle m_{1}-m_{2}}$

La suma se define en forma de coordenadas: ${\displaystyle M\times M}$

${\displaystyle (m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}$.

A continuación se define una relación de equivalencia en , tal que es equivalente a si, para algún elemento k de M , m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (el elemento k es necesario porque la ley de cancelación no se cumple en todos los monoides). La clase de equivalencia del elemento ( m ₁ , m ₂ ) se denota por [( m ₁ , m ₂ )]. Se define K como el conjunto de clases de equivalencia. Dado que la operación de suma en M × M es compatible con nuestra relación de equivalencia, se obtiene una suma en K y K se convierte en un grupo abeliano. El elemento identidad de K es [(0, 0)], y el inverso de [( m ₁ , m ₂ )] es [( m ₂ , m ₁ )]. El homomorfismo envía el elemento m a [( m , 0)]. ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$ ${\displaystyle i:M\to K}$

Alternativamente, el grupo de Grothendieck K de M también se puede construir usando generadores y relaciones : denotado por el grupo abeliano libre generado por el conjunto M , el grupo de Grothendieck K es el cociente de por el subgrupo generado por . (Aquí +′ y −′ denotan la suma y resta en el grupo abeliano libre mientras que + denota la suma en el monoide M .) Esta construcción tiene la ventaja de que se puede realizar para cualquier semigrupo M y produce un grupo que satisface el correspondiente propiedades universales para semigrupos, es decir, el "grupo más general y más pequeño que contiene una imagen homomórfica de M  ". Esto se conoce como "completación de grupo de un semigrupo" o "grupo de fracciones de un semigrupo". ${\displaystyle (Z(M),+')}$ ${\displaystyle Z(M)}$ ${\displaystyle \{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}}$ ${\displaystyle Z(M)}$

Propiedades

En el lenguaje de la teoría de categorías , cualquier construcción universal da lugar a un funtor ; así se obtiene un functor de la categoría de monoides conmutativos a la categoría de grupos abelianos que envía el monoide conmutativo M a su grupo de Grothendieck K. Este funtor se deja adjunto al funtor olvidadizo de la categoría de grupos abelianos a la categoría de monoides conmutativos.

Para un monoide conmutativo M , el mapa i  :  M → K es inyectivo si y solo si M tiene la propiedad de cancelación, y es biyectivo si y solo si M ya es un grupo.

Ejemplo: los números enteros

El ejemplo más sencillo de un grupo de Grothendieck es la construcción de los números enteros a partir de los números naturales (aditivos) . Primero se observa que los números naturales (incluido el 0) junto con la suma habitual forman un monoide conmutativo. Ahora, cuando se utiliza la construcción del grupo de Grothendieck, se obtienen las diferencias formales entre los números naturales como elementos n − m y se tiene la relación de equivalencia. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+).}$

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\iff n+m'+k=n'+m+k}$para algunos . ${\displaystyle k\iff n+m'=n'+m}$

Ahora define

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\qquad {\begin{cases}n:=[n-0]\\-n:=[0-n]\end{cases}}}$

Esto define los números enteros . De hecho, esta es la construcción habitual para obtener los números enteros a partir de los números naturales. Consulte "Construcción" en Enteros para obtener una explicación más detallada. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ejemplo: los números racionales positivos

De manera similar, el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo multiplicativo (comenzando en 1) consta de fracciones formales con la equivalencia ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$ ${\displaystyle p/q}$

${\displaystyle p/q\sim p'/q'\iff pq'r=p'qr}$para algunos ${\displaystyle r\iff pq'=p'q}$

que por supuesto se puede identificar con los números racionales positivos .

Ejemplo: el grupo de Grothendieck de una variedad

El grupo de Grothendieck es la construcción fundamental de la teoría K. El grupo de una variedad compacta M se define como el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de todas las clases de isomorfismo de haces de vectores de rango finito en M con la operación monoide dada por suma directa. Esto da un functor contravariante de variedades a grupos abelianos. Este funtor se estudia y amplía en la teoría K topológica . ${\displaystyle K_{0}(M)}$

Ejemplo: el grupo Grothendieck de un anillo

El grupo K algebraico cero de un anillo R (no necesariamente conmutativo ) es el grupo de Grothendieck del monoide que consta de clases de isomorfismo de módulos proyectivos generados finitamente sobre R , con la operación monoide dada por la suma directa . Entonces es un functor covariante de anillos a grupos abelianos. ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}}$

Los dos ejemplos anteriores están relacionados: considere el caso en el que es el anillo de funciones suaves de valores complejos en una variedad compacta M. En este caso, los módulos R proyectivos son duales con respecto a haces de vectores sobre M (según el teorema de Serre-Swan ). Por tanto y son el mismo grupo. ${\displaystyle R=C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(M)}$

Grupo Grothendieck y ampliaciones.

Definición

Otra construcción que lleva el nombre de grupo de Grothendieck es la siguiente: Sea R un álgebra de dimensión finita sobre algún campo k o más generalmente un anillo artiniano . Luego defina el grupo de Grothendieck como el grupo abeliano generado por el conjunto de clases de isomorfismo de R -módulos finitamente generados y las siguientes relaciones: Para cada secuencia exacta corta ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle \{[X]\mid X\in R{\text{-mod}}\}}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de R -módulos, agregue la relación

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0.}$

Esta definición implica que para dos módulos R M y N cualesquiera generados finitamente , debido a la secuencia corta exacta dividida ${\displaystyle [M\oplus N]=[M]+[N]}$

${\displaystyle 0\to M\to M\oplus N\to N\to 0.}$

Ejemplos

Sea K un campo. Entonces el grupo de Grothendieck es un grupo abeliano generado por símbolos para cualquier K - espacio vectorial V de dimensión finita . De hecho, es isomorfo a cuyo generador es el elemento . Aquí, el símbolo para un espacio vectorial K V de dimensión finita se define como , la dimensión del espacio vectorial V . Supongamos que se tiene la siguiente secuencia corta y exacta de K espacios vectoriales. ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle [V]=\dim _{K}V}$

${\displaystyle 0\to V\to T\to W\to 0}$

Dado que cualquier secuencia corta y exacta de espacios vectoriales se divide, se cumple que . De hecho, para dos espacios vectoriales cualesquiera de dimensión finita V y W se cumple lo siguiente: ${\displaystyle T\cong V\oplus W}$

${\displaystyle \dim _{K}(V\oplus W)=\dim _{K}(V)+\dim _{K}(W)}$

Por tanto, la igualdad anterior satisface la condición del símbolo en el grupo de Grothendieck. ${\displaystyle [V]}$

${\displaystyle [T]=[V\oplus W]=[V]+[W]}$

Tenga en cuenta que dos espacios vectoriales K isomórficos de dimensión finita tienen la misma dimensión. Además, dos espacios vectoriales K cualesquiera de dimensión finita V y W de la misma dimensión son isomorfos entre sí. De hecho, todo espacio vectorial K finito de n dimensiones V es isomorfo a . La observación del párrafo anterior demuestra, por tanto, la siguiente ecuación: ${\displaystyle K^{\oplus n}}$

${\displaystyle [V]=\left[K^{\oplus n}\right]=n[K]}$

Por lo tanto, cada símbolo es generado por el elemento con coeficientes enteros, lo que implica que es isomorfo con el generador . ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [K]}$

De manera más general, sea el conjunto de los números enteros. El grupo de Grothendieck es un grupo abeliano generado por símbolos para cualquier grupo abeliano A generado finitamente . Primero se observa que cualquier grupo abeliano finito G satisface eso . Se cumple la siguiente secuencia corta y exacta, donde el mapa es la multiplicación por n . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [G]=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to 0}$

La secuencia exacta implica que , por lo que cada grupo cíclico tiene su símbolo igual a 0. Esto a su vez implica que cada grupo abeliano finito G satisface el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. ${\displaystyle [\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ]=[\mathbb {Z} ]-[\mathbb {Z} ]=0}$ ${\displaystyle [G]=0}$

Observe que según el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente , cada grupo abeliano A es isomorfo a una suma directa de un subgrupo de torsión y un grupo abeliano libre de torsión isomorfo a algún entero no negativo r , llamado rango de A y denotado por . Defina el símbolo como . Entonces el grupo de Grothendieck es isomorfo a con generador. De hecho, la observación hecha en el párrafo anterior muestra que todo grupo abeliano A tiene su símbolo igual al símbolo donde . Además, el rango del grupo abeliano satisface las condiciones del símbolo del grupo de Grothendieck. Supongamos que uno tiene la siguiente secuencia corta exacta de grupos abelianos: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$ ${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [A]={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ^{r}]=r[\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle [A]}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

Entonces tensorizar con los números racionales implica la siguiente ecuación. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0\to A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to 0}$

Dado que lo anterior es una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales, la secuencia se divide. Por lo tanto, se tiene la siguiente ecuación. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }(B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Por otro lado, se tiene también la siguiente relación; Para obtener más información, consulte Rango de un grupo abeliano .

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Por lo tanto, se cumple la siguiente ecuación:

${\displaystyle [B]=\operatorname {rank} (B)=\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (C)=[A]+[C]}$

Por lo tanto se ha demostrado que es isomorfo a con generador ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$

Propiedad universal

El grupo de Grothendieck satisface una propiedad universal. Se hace una definición preliminar: una función del conjunto de clases de isomorfismo para un grupo abeliano se llama aditiva si, para cada secuencia exacta , se tiene Entonces, para cualquier función aditiva , existe un homomorfismo de grupo único tal que factorice a través de y el mapa que lleva cada objeto al elemento que representa su clase de isomorfismo en Concretamente, esto significa que satisface la ecuación para cada módulo finitamente generado y es el único homomorfismo de grupo que hace eso. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ ${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0.}$ ${\displaystyle \chi :R{\text{-mod}}\to X}$ ${\displaystyle f:G_{0}(R)\to X}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle G_{0}(R).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f([V])=\chi (V)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos de funciones aditivas son la función de carácter de la teoría de la representación : si es un álgebra de dimensión finita, entonces se puede asociar el carácter a cada módulo de dimensión finita que se define como la traza del mapa lineal que se obtiene mediante la multiplicación. con el elemento encendido . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \chi _{V}:R\to k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V:\chi _{V}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle V}$

Al elegir una base adecuada y escribir las matrices correspondientes en forma triangular de bloques, se ve fácilmente que las funciones de caracteres son aditivas en el sentido anterior. Por la propiedad universal esto nos da un "carácter universal" tal que . ${\displaystyle \chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)}$ ${\displaystyle \chi ([V])=\chi _{V}}$

Si y es el anillo de grupo de un grupo finito , entonces este mapa de caracteres proporciona incluso un isomorfismo natural de y el anillo de caracteres . En la teoría de representación modular de grupos finitos, un campo puede ser el cierre algebraico del campo finito con p elementos. En este caso, el mapa definido de manera análoga que asocia a cada módulo su carácter Brauer es también un isomorfismo natural en el anillo de caracteres Brauer. De esta manera los grupos de Grothendieck aparecen en la teoría de la representación. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {C} [G])}$ ${\displaystyle Ch(G)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}},}$ ${\displaystyle k[G]}$ ${\displaystyle G_{0}({\overline {\mathbb {F} _{p}}}[G])\to \mathrm {BCh} (G)}$

Esta propiedad universal también lo convierte en el "receptor universal" de las características generalizadas de Euler . En particular, para cada complejo acotado de objetos en ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle R{\text{-mod}}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots }$

uno tiene un elemento canónico

${\displaystyle [A^{*}]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]\in G_{0}(R).}$

De hecho, el grupo de Grothendieck se introdujo originalmente para el estudio de las características de Euler.

Grupos de Grothendieck de categorías exactas

Una generalización común de estos dos conceptos la da el grupo de Grothendieck de una categoría exacta . En pocas palabras, una categoría exacta es una categoría aditiva junto con una clase de secuencias cortas distinguidas A → B → C. Las secuencias distinguidas se denominan "secuencias exactas", de ahí el nombre. Los axiomas precisos de esta distinguida clase no importan para la construcción del grupo de Grothendieck. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El grupo de Grothendieck se define de la misma manera que antes que el grupo abeliano con un generador [ M  ] para cada (clase de isomorfismo de) objeto(s) de la categoría y una relación ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0}$

para cada secuencia exacta

${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$.

De manera alternativa y equivalente, se puede definir el grupo de Grothendieck usando una propiedad universal: una aplicación de un grupo abeliano X se llama "aditiva" si para cada secuencia exacta que se tiene ; un grupo abeliano G junto con un mapeo aditivo se llama grupo de Grothendieck de si cada mapeo aditivo se factoriza de manera única a través de . ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$ ${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0}$ ${\displaystyle \phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$ ${\displaystyle \phi }$

Cada categoría abeliana es una categoría exacta si se usa simplemente la interpretación estándar de "exacto". Esto da la noción de un grupo de Grothendieck en la sección anterior si uno elige la categoría de módulos R generados finitamente como . Esto es realmente abeliano porque en la sección anterior se supuso que R era artiniano (y por tanto noetheriano ). ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=R{\text{-mod}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Por otro lado, toda categoría aditiva también es exacta si se declaran exactas aquellas y sólo aquellas secuencias que tienen la forma con los morfismos canónicos de inclusión y proyección. Este procedimiento produce el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo en el primer sentido (aquí significa el "conjunto" [ignorando todas las cuestiones fundamentales] de clases de isomorfismo en .) ${\displaystyle A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B}$ ${\displaystyle (\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}$ ${\displaystyle \mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Grupos de Grothendieck de categorías trianguladas.

Generalizando aún más, también es posible definir el grupo de Grothendieck para categorías trianguladas . La construcción es esencialmente similar pero utiliza las relaciones [ X ] − [ Y ] + [ Z ] = 0 siempre que se distingue un triángulo X → Y → Z → X [1].

Más ejemplos

• En la categoría abeliana de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo k , dos espacios vectoriales son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión. Por tanto, para un espacio vectorial V

${\displaystyle [V]={\big [}k^{\dim(V)}{\big ]}\in K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} }).}$

Además, para una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to k^{l}\to k^{m}\to k^{n}\to 0}$

m = l + n , entonces

${\displaystyle \left[k^{l+n}\right]=\left[k^{l}\right]+\left[k^{n}\right]=(l+n)[k].}$

De este modo

${\displaystyle [V]=\dim(V)[k],}$

y es isomorfo a y es generado por Finalmente para un complejo acotado de espacios vectoriales de dimensión finita V  *, ${\displaystyle K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [k].}$

${\displaystyle [V^{*}]=\chi (V^{*})[k]}$

¿Dónde está la característica estándar de Euler definida por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (V^{*})=\sum _{i}(-1)^{i}\dim V=\sum _{i}(-1)^{i}\dim H^{i}(V^{*}).}$

• Para un espacio anillado , se puede considerar la categoría de todas las gavillas localmente libres sobre X. Luego se define como el grupo de Grothendieck de esta categoría exacta y nuevamente esto da un funtor. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$

• Para un espacio anillado , también se puede definir la categoría como la categoría de todos los haces coherentes en X. Esto incluye el caso especial (si el espacio anillado es un esquema afín ) de ser la categoría de módulos generados finitamente sobre un anillo noetheriano R. En ambos casos es una categoría abeliana y, a fortiori, una categoría exacta, por lo que se aplica la construcción anterior. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• En el caso de que R sea un álgebra de dimensión finita sobre algún campo, los grupos de Grothendieck (definidos mediante secuencias cortas exactas de módulos generados finitamente) y (definidos mediante suma directa de módulos proyectivos generados finitamente) coinciden. De hecho, ambos grupos son isomorfos al grupo abeliano libre generado por las clases de isomorfismo de R -módulos simples . ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$

• Hay otro grupo de Grothendieck de un anillo o un espacio anillado que a veces resulta útil. La categoría en el caso se elige para que sea la categoría de todas las gavillas cuasi coherentes en el espacio anillado, lo que se reduce a la categoría de todos los módulos sobre algún anillo R en el caso de esquemas afines. No es un funtor, pero aun así contiene información importante. ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}}$

• Dado que la categoría derivada (limitada) está triangulada, también existe un grupo de Grothendieck para categorías derivadas. Esto tiene aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de la representación. En la categoría ilimitada, sin embargo, el grupo Grothendieck desaparece. Para una categoría derivada de algún álgebra compleja de dimensión finita graduada positivamente , hay una subcategoría en la categoría derivada ilimitada que contiene la categoría abeliana A de módulos graduados de dimensión finita cuyo grupo de Grothendieck es la terminación q -ádica del grupo de Grothendieck de A.

Ver también

• Campo de fracciones
• Localización
• Teoría K topológica
• Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch para calcular la teoría K topológica

Referencias

1. Bruns, Winfried; Gubeladze, José (2009). Politopos, anillos y teoría K. Saltador. pag. 50.ISBN​ 978-0-387-76355-2.

• Michael F. Atiyah , K-Theory , (Notas tomadas por DWAnderson, otoño de 1964), publicado en 1967, WA Benjamin Inc., Nueva York.
• Achar, Pramod N.; Stroppel, Catharina (2013), "Compleciones de grupos de Grothendieck", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 45 (1): 200–212, arXiv : 1105.2715 , doi :10.1112/blms/bds079, MR  3033967, S2CID  260493607.
• "Grupo Grothendieck", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Grupo Grothendieck". PlanetMath .
• El grupo Grothendieck de haces de vectores algebraicos; Cálculos del espacio afín y proyectivo
• Grupo de Grothendieck de una curva compleja proyectiva suave