Algunos ejemplos elementales de grupos en matemáticas se dan en Grupo (matemáticas) . Se enumeran más ejemplos aquí.
Considere tres bloques de colores (rojo, verde y azul), colocados inicialmente en el orden RGB. Sea a la operación "intercambiar el primer bloque y el segundo bloque", y b sea la operación "intercambiar el segundo bloque y el tercer bloque".
Podemos escribir xy para la operación "primero hacer y , luego hacer x "; de modo que ab es la operación RGB → RBG → BRG, que podría describirse como "mover los dos primeros bloques una posición a la derecha y colocar el tercer bloque en la primera posición". Si escribimos e para "dejar los bloques como están" (la operación de identidad ), entonces podemos escribir las seis permutaciones de los tres bloques de la siguiente manera:
Tenga en cuenta que aa tiene el efecto RGB → GRB → RGB; entonces podemos escribir aa = e . De manera similar, bb = ( aba ) ( aba ) = e ; ( ab )( ba ) = ( ba )( ab ) = mi ; entonces cada elemento tiene una inversa .
Por inspección, podemos determinar la asociatividad y el cierre ; tenga en cuenta en particular que ( ba ) b = bab = b ( ab ).
Dado que se construye a partir de las operaciones básicas a y b , decimos que el conjunto { a , b } genera este grupo. El grupo, llamado grupo simétrico S 3 , tiene orden 6 y no es abeliano (ya que, por ejemplo, ab ≠ ba ).
Una traslación del avión es un movimiento rígido de cada punto del avión a lo largo de una determinada distancia en una determinada dirección. Por ejemplo, "moverse en dirección noreste durante 2 kilómetros" es una traducción del avión. Se pueden componer dos traducciones como a y b para formar una nueva traducción a ∘ b de la siguiente manera: primero siga la prescripción de b , luego la de a . Por ejemplo, si
y
entonces
O si
y
entonces
(Ver el teorema de Pitágoras para saber por qué esto es así, geométricamente).
El conjunto de todas las traslaciones del plano con composición según la operación forma un grupo:
Este es un grupo abeliano y nuestro primer ejemplo (no discreto) de un grupo de Lie : un grupo que también es una variedad .
Los grupos son muy importantes para describir la simetría de objetos, ya sean geométricos (como un tetraedro ) o algebraicos (como un conjunto de ecuaciones). Como ejemplo, consideremos un cuadrado de vidrio de cierto espesor (con una letra "F" escrita en él, sólo para distinguir las diferentes posiciones).
Para describir su simetría formamos el conjunto de todos aquellos movimientos rígidos del cuadrado que no marcan una diferencia visible (excepto la "F"). Por ejemplo, si un objeto girado 90° en el sentido de las agujas del reloj sigue teniendo el mismo aspecto, el movimiento es un elemento del conjunto, por ejemplo un . También podríamos girarlo alrededor de un eje vertical para que su superficie inferior se convierta en su superficie superior, mientras que el borde izquierdo se convierte en el borde derecho. Nuevamente, después de realizar este movimiento, el cuadrado de vidrio luce igual, por lo que este también es un elemento de nuestro conjunto y lo llamamos b . El movimiento que no hace nada se denota por e .
Dados dos de estos movimientos x e y , es posible definir la composición x ∘ y como se indicó anteriormente: primero se realiza el movimiento y , seguido del movimiento x . El resultado dejará la losa como antes.
La cuestión es que el conjunto de todos esos movimientos, con la composición como operación, forma un grupo. Este grupo es la descripción más concisa de la simetría del cuadrado. Los químicos utilizan grupos de simetría de este tipo para describir la simetría de cristales y moléculas .
Investiguemos un poco más el grupo de simetría de nuestro cuadrado. Ahora mismo tenemos los elementos a , b y e , pero podemos formar más fácilmente: por ejemplo, a ∘ a , también escrito como a 2 , es un giro de 180°. un 3 es una rotación de 270° en el sentido de las agujas del reloj (o una rotación de 90° en el sentido contrario a las agujas del reloj). También vemos que b 2 = e y también a 4 = e . Aquí hay uno interesante: ¿qué hace a ∘ b ? Primero voltee horizontalmente y luego gírelo. Intenta visualizar que a ∘ b = b ∘ a 3 . Además, a 2 ∘ b es un giro vertical y es igual a b ∘ a 2 .
Decimos que los elementos a y b generan el grupo.
Este grupo de orden 8 tiene la siguiente tabla de Cayley :
Para dos elementos cualesquiera del grupo, la tabla registra cuál es su composición. Aquí escribimos " a 3 b " como abreviatura de a 3 ∘ b .
En matemáticas, este grupo se conoce como grupo diédrico de orden 8 y se denota como Dih 4 , D 4 o D 8 , según la convención. Este fue un ejemplo de un grupo no abeliano: la operación ∘ aquí no es conmutativa , como se puede ver en la tabla; la mesa no es simétrica con respecto a la diagonal principal.
;_subgroup_of_S4.svg/1280px-Dihedral_group_of_order_8;_Cayley_table_(element_orders_1,2,2,4,2,2,4,2);_subgroup_of_S4.svg.png)
Esta versión de la tabla de Cayley muestra que este grupo tiene un subgrupo normal que se muestra con un fondo rojo. En esta tabla, r significa rotaciones y f significa giros. Como el subgrupo es normal, la clase lateral izquierda es la misma que la clase lateral derecha.
El grupo libre con dos generadores a y b consta de todas las cadenas /palabras finitas que se pueden formar a partir de los cuatro símbolos a , a −1 , b y b −1 de manera que ninguna a aparece directamente al lado de una a −1 y ninguna b aparece directamente al lado de a b −1 . Dos de estas cadenas se pueden concatenar y convertir en una cadena de este tipo reemplazando repetidamente las subcadenas "prohibidas" con la cadena vacía. Por ejemplo: " abab −1 a −1 " concatenado con " abab −1 a " produce " abab −1 a −1 abab −1 a ", que se reduce a " abaab −1 a ". Se puede comprobar que el conjunto de esas cadenas con esta operación forma un grupo con la cadena vacía ε := "" siendo el elemento de identidad (normalmente se omiten las comillas; es por eso que se requiere el símbolo ε).
Este es otro grupo infinito no abeliano.
Los grupos libres son importantes en topología algebraica ; El grupo libre en dos generadores también se utiliza para demostrar la paradoja de Banach-Tarski .
Sea G un grupo y S un conjunto. El conjunto de aplicaciones M ( S , G ) es en sí mismo un grupo; es decir, para dos aplicaciones f , g de S en G definimos fg como la aplicación tal que ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x ) para cada x en S y f −1 como la aplicación tal que f −1 ( x ) = f ( x ) −1 .
Tome los mapas f , g y h en M ( S , G ). Para cada x en S , f ( x ) y g ( x ) están ambos en G , al igual que ( fg ) ( x ). Por lo tanto, fg también está en M ( S , G ), es decir, M ( S , G ) es cerrado. M ( S , G ) es asociativo porque (( fg ) h )( x ) = ( fg )( x ) h ( x ) = ( f ( x ) g ( x )) h ( x ) = f ( x )( g ( x ) h ( x )) = f ( x )( gh )( x ) = ( f ( gh ))( x ). Y hay una aplicación i tal que i ( x ) = e donde e es el elemento identidad de G . El mapa i es tal que para todo f en M ( S , G ) tenemos fi = if = f , es decir, i es el elemento identidad de M ( S , G ). Por tanto, M ( S , G ) es en realidad un grupo.
Si G es abeliano entonces ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x ) = g ( x ) f ( x ) = ( gf )( x ), y por lo tanto también lo es M ( S , G ).
Sea G el conjunto de aplicaciones biyectivas de un conjunto S sobre sí mismo. Entonces G forma un grupo bajo composición ordinaria de mapeos. Este grupo se llama grupo simétrico y comúnmente se denota Σ S o . El elemento de identidad de G es el mapa de identidad de S. Para dos mapas f , g en G son biyectivos, fg también es biyectivo. Por tanto, G es cerrado. La composición de los mapas es asociativa; por tanto G es un grupo. S puede ser finito o infinito .
Si n es un entero positivo , podemos considerar el conjunto de todas las matrices invertibles n por n con componentes de números reales , por ejemplo. Este es un grupo con multiplicación de matrices como operación. Se llama grupo lineal general y se denota GL n ( R ) o GL ( n , R ) (donde R es el conjunto de números reales). Geométricamente, contiene todas las combinaciones de rotaciones, reflexiones, dilataciones y transformaciones sesgadas del espacio euclidiano de n dimensiones que fijan un punto dado (el origen).
Si nos limitamos a matrices con determinante 1, obtenemos otro grupo, el grupo lineal especial , SL n ( R ) o SL( n , R ). Geométricamente, consta de todos los elementos de GL n ( R ) que preservan tanto la orientación como el volumen de los diversos sólidos geométricos en el espacio euclidiano.
Si, en cambio, nos limitamos a matrices ortogonales , obtenemos el grupo ortogonal O n ( R ) u O ( n , R ). Geométricamente, esto consta de todas las combinaciones de rotaciones y reflexiones que fijan el origen. Éstas son precisamente las transformaciones que preservan longitudes y ángulos.
Finalmente, si imponemos ambas restricciones, obtenemos el grupo ortogonal especial SO n ( R ) o SO ( n , R ), que consta únicamente de rotaciones.
Estos grupos son nuestros primeros ejemplos de infinitos grupos no abelianos. También resultan ser grupos de Lie . De hecho, la mayoría de los grupos de Lie importantes (pero no todos) se pueden expresar como grupos matriciales .
Si esta idea se generaliza a matrices con números complejos como entradas, entonces obtenemos grupos de Lie más útiles, como el grupo unitario U( n ). También podemos considerar matrices con cuaterniones como entradas; en este caso, no existe una noción bien definida de determinante (y por lo tanto no hay una buena manera de definir un "volumen" cuaterniónico), pero aún podemos definir un grupo análogo al grupo ortogonal, el grupo simpléctico Sp( n ).
Además, la idea se puede tratar de forma puramente algebraica con matrices sobre cualquier campo , pero los grupos no son grupos de Lie.
