Gravedad superficial

Gravedad superficial estándar

La gravedad superficial , g , de un objeto astronómico es la aceleración gravitacional que experimenta su superficie en el ecuador, incluidos los efectos de la rotación. La gravedad superficial puede considerarse como la aceleración debida a la gravedad que experimenta una partícula de prueba hipotética que está muy cerca de la superficie del objeto y que, para no perturbar el sistema, tiene una masa despreciable. Para los objetos cuya superficie está en lo profundo de la atmósfera y cuyo radio no se conoce, la gravedad superficial se da en el nivel de presión de 1 bar en la atmósfera.

La gravedad superficial se mide en unidades de aceleración, que, en el sistema SI , son metros por segundo al cuadrado . También se puede expresar como un múltiplo de la gravedad superficial estándar de la Tierra , que es igual a ^[1]

sol =9.806 65  m/ ^s2

En astrofísica , la gravedad superficial puede expresarse comolog g , que se obtiene expresando primero la gravedad enunidades cgs, donde la unidad de aceleración y gravedad superficial escentímetrospor segundo al cuadrado (cm/s²logaritmobase 10del valor cgs de la gravedad superficial.^[2]Por lo tanto, la gravedad superficial de la Tierra podría expresarse en unidades cgs como980,665 cm/s ² , y luego tomando el logaritmo de base 10 ("log  g ") de 980,665, obteniendo 2,992 como "log  g ".

La gravedad superficial de una enana blanca es muy alta, y la de una estrella de neutrones aún más alta. La gravedad superficial de una enana blanca es de alrededor de 100.000 g (10 ⁶  m/s ² ) mientras que la compacidad de la estrella de neutrones le da una gravedad superficial de hasta7 × 10 ¹²  m/s ² con valores típicos de orden10 ¹²  m/s ² (es decir, más de 10 ¹¹ veces la de la Tierra). Una medida de esta inmensa gravedad es que las estrellas de neutrones tienen una velocidad de escape de alrededor de 100.000 km/s , aproximadamente un tercio de la velocidad de la luz . En el caso de los agujeros negros, la gravedad superficial debe calcularse de forma relativista.

Relación de la gravedad superficial con la masa y el radio

En la teoría de la gravedad newtoniana , la fuerza gravitatoria ejercida por un objeto es proporcional a su masa: un objeto con el doble de masa produce el doble de fuerza. La gravedad newtoniana también sigue una ley del cuadrado inverso , de modo que alejar un objeto el doble de lejos divide su fuerza gravitatoria por cuatro, y alejarlo diez veces más la divide por 100. Esto es similar a la intensidad de la luz , que también sigue una ley del cuadrado inverso: con relación a la distancia, la luz se vuelve menos visible. En términos generales, esto puede entenderse como una dilución geométrica correspondiente a la radiación de una fuente puntual en el espacio tridimensional.

Un objeto grande, como un planeta o una estrella , normalmente será aproximadamente redondo, acercándose al equilibrio hidrostático (donde todos los puntos de la superficie tienen la misma cantidad de energía potencial gravitatoria ). A pequeña escala, las partes más altas del terreno se erosionan, y el material erosionado se deposita en las partes más bajas del terreno. A gran escala, el propio planeta o estrella se deforma hasta que se alcanza el equilibrio. ^[4] Para la mayoría de los objetos celestes, el resultado es que el planeta o la estrella en cuestión puede tratarse como una esfera casi perfecta cuando la velocidad de rotación es baja. Sin embargo, para las estrellas jóvenes y masivas, la velocidad azimutal ecuatorial puede ser bastante alta, hasta 200 km/s o más, lo que provoca una cantidad significativa de abultamiento ecuatorial . Ejemplos de tales estrellas que giran rápidamente incluyen Achernar , Altair , Regulus A y Vega .

El hecho de que muchos objetos celestes de gran tamaño sean aproximadamente esferas facilita el cálculo de su gravedad superficial. Según el teorema de las capas , la fuerza gravitatoria en el exterior de un cuerpo esféricamente simétrico es la misma que si toda su masa estuviera concentrada en el centro, como estableció Sir Isaac Newton . ^[5] Por lo tanto, la gravedad superficial de un planeta o estrella con una masa dada será aproximadamente inversamente proporcional al cuadrado de su radio , y la gravedad superficial de un planeta o estrella con una densidad media dada será aproximadamente proporcional a su radio. Por ejemplo, el planeta recientemente descubierto , Gliese 581 c , tiene al menos 5 veces la masa de la Tierra, pero es poco probable que tenga 5 veces su gravedad superficial. Si su masa no es más de 5 veces la de la Tierra, como se espera, ^[6] y si es un planeta rocoso con un gran núcleo de hierro, debería tener un radio aproximadamente un 50% mayor que el de la Tierra. ^{[7] [8]} La gravedad en la superficie de un planeta así sería aproximadamente 2,2 veces más fuerte que en la Tierra. Si se trata de un planeta helado o acuoso, su radio podría ser hasta el doble del de la Tierra, en cuyo caso su gravedad superficial podría no ser más de 1,25 veces más fuerte que la de la Tierra. ^[8]

Estas proporcionalidades pueden expresarse mediante la fórmula: donde g es la gravedad superficial de un objeto, expresada como múltiplo de la de la Tierra , m es su masa, expresada como múltiplo de la masa de la Tierra ( $${\displaystyle g\propto {\frac {m}{r^{2}}}}$$5,976 × 10 ²⁴  kg ) y r su radio, expresado como un múltiplo del radio (medio) de la Tierra (6371 km). ^[9] Por ejemplo, Marte tiene una masa de6,4185 × 10 ²³  kg  = 0,107 masas terrestres y un radio medio de 3390 km = 0,532 radios terrestres. ^[10] Por lo tanto, la gravedad superficial de Marte es aproximadamente 10 veces la de la Tierra. Sin usar la Tierra como cuerpo de referencia, la gravedad superficial también se puede calcular directamente a partir de la ley de gravitación universal de Newton , que da la fórmula donde M es la masa del objeto, r es su radio y G es la constante gravitacional . Si ρ = ​​M / V denota la densidad media del objeto, esto también se puede escribir como de modo que, para una densidad media fija, la gravedad superficial g es proporcional al radio  r . Resolviendo para la masa, esta ecuación se puede escribir como Pero la densidad no es constante, sino que aumenta a medida que el planeta crece en tamaño, ya que no son cuerpos incompresibles. Por eso la relación experimental entre la gravedad superficial y la masa no crece como 1/3 sino como 1/2 ^[11] : aquí con g en veces la gravedad superficial de la Tierra y M en veces la masa de la Tierra. De hecho, se ha descubierto que los exoplanetas que cumplen la primera relación son planetas rocosos ^[11] . Por lo tanto, para los planetas rocosos, la densidad crece con la masa como . $${\displaystyle {\frac {0.107}{0.532^{2}}}=0.38}$$ $${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}}$$ $${\displaystyle g={\frac {4\pi }{3}}G\rho r}$$ $${\displaystyle g=G\left({\frac {4\pi \rho }{3}}\right)^{2/3}M^{1/3}}$$ $${\displaystyle g=M^{1/2}}$$ ${\displaystyle \rho \propto M^{1/4}}$

Gigantes gaseosos

Para los planetas gigantes gaseosos como Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, la gravedad superficial se da en el nivel de presión de 1 bar en la atmósfera. ^[12] Se ha descubierto que para los planetas gigantes con masas en el rango de hasta 100 veces la masa de la Tierra, su superficie de gravedad es, sin embargo, muy similar y cercana a 1 g , una región denominada meseta de gravedad ^[11] .

Objetos no simétricos esféricamente

La mayoría de los objetos astronómicos reales no son perfectamente simétricos desde el punto de vista esférico. Una de las razones de ello es que suelen estar rotando, lo que significa que se ven afectados por los efectos combinados de la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga . Esto hace que las estrellas y los planetas sean achatados , lo que significa que su gravedad superficial es menor en el ecuador que en los polos. Este efecto fue explotado por Hal Clement en su novela de ciencia ficción Misión de gravedad , que trata de un planeta masivo que gira rápidamente y en el que la gravedad es mucho mayor en los polos que en el ecuador.

En la medida en que la distribución interna de masa de un objeto difiere de un modelo simétrico, la gravedad superficial medida puede utilizarse para deducir cosas sobre la estructura interna del objeto. Este hecho se ha puesto en práctica desde 1915-1916, cuando la balanza de torsión de Roland Eötvös se utilizó para buscar petróleo cerca de la ciudad de Egbell (ahora Gbely , Eslovaquia ). ^{[13] : 1663  [14] : 223} En 1924, la balanza de torsión se utilizó para localizar los yacimientos petrolíferos de Nash Dome en Texas . ^{[14] : 223}

A veces resulta útil calcular la gravedad superficial de objetos hipotéticos simples que no se encuentran en la naturaleza. La gravedad superficial de planos infinitos, tubos, líneas, cascarones huecos, conos e incluso estructuras más irreales puede utilizarse para obtener información sobre el comportamiento de estructuras reales.

Agujeros negros

En relatividad, el concepto newtoniano de aceleración resulta no ser tan claro. Para un agujero negro, que debe ser tratado relativistamente, no se puede definir una gravedad superficial como la aceleración experimentada por un cuerpo de prueba en la superficie del objeto porque no hay superficie, aunque el horizonte de eventos es un candidato alternativo natural, pero esto aún presenta un problema porque la aceleración de un cuerpo de prueba en el horizonte de eventos de un agujero negro resulta ser infinita en relatividad. Debido a esto, se utiliza un valor renormalizado que corresponde al valor newtoniano en el límite no relativista. El valor utilizado es generalmente la aceleración local propia (que diverge en el horizonte de eventos) multiplicada por el factor de dilatación del tiempo gravitacional (que tiende a cero en el horizonte de eventos). Para el caso de Schwarzschild, este valor se comporta matemáticamente bien para todos los valores distintos de cero de r y  M .

Cuando se habla de la gravedad superficial de un agujero negro, se define una noción que se comporta de manera análoga a la gravedad superficial newtoniana, pero que no es lo mismo. De hecho, la gravedad superficial de un agujero negro en general no está bien definida. Sin embargo, se puede definir la gravedad superficial de un agujero negro cuyo horizonte de sucesos es un horizonte de Killing.

La gravedad superficial de un horizonte de Killing estático es la aceleración, ejercida en el infinito, necesaria para mantener un objeto en el horizonte. Matemáticamente, si es un vector de Killing adecuadamente normalizado , entonces la gravedad superficial se define por donde la ecuación se evalúa en el horizonte. Para un espacio-tiempo estático y asintóticamente plano, la normalización debe elegirse de modo que como , y de modo que . Para la solución de Schwarzschild, tome como el vector de Killing de traslación temporal , y más generalmente para la solución de Kerr-Newman tome , la combinación lineal de los vectores de Killing de traslación temporal y axisimetría que es nula en el horizonte, donde es la velocidad angular. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle k^{a}}$ $${\displaystyle k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b},}$$ ${\displaystyle k^{a}k_{a}\to -1}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \kappa \geq 0}$ ${\displaystyle k^{a}}$ ${\textstyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\textstyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Solución de Schwarzschild

Dado que es un vector de Killing, implica . En coordenadas . Realizar un cambio de coordenadas a las coordenadas avanzadas de Eddington-Finklestein hace que la métrica adopte la forma ${\displaystyle k^{a}}$ ${\displaystyle k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$ ${\displaystyle -k^{a}\,\nabla ^{b}k_{a}=\kappa k^{b}}$ ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle k^{a}=(1,0,0,0)}$ ${\textstyle v=t+r+2M\ln |r-2M|}$ $${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dv^{2}+\left(dv\,dr+\,dr\,dv\right)+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).}$$

Bajo un cambio general de coordenadas el vector de Killing se transforma dando los vectores y ${\displaystyle k^{v}=A_{t}^{v}k^{t}}$ ${\displaystyle k^{a'}=\delta _{v}^{a'}=(1,0,0,0)}$ ${\textstyle k_{a'}=g_{a'v}=\left(-1+{\frac {2M}{r}},1,0,0\right).}$

Considerando la entrada b = ${\displaystyle v}$ se obtiene la ecuación diferencial ${\displaystyle k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-1+{\frac {2M}{r}}\right)=\kappa .}$

Por lo tanto, la gravedad superficial para la solución de Schwarzschild con masa es ( en unidades SI). ^[15] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{4M}}}$ ${\displaystyle \kappa ={c^{4}}/{4GM}}$

Solución Kerr

La gravedad superficial del agujero negro giratorio sin carga es, simplemente, donde es la gravedad superficial de Schwarzschild y es la constante de resorte del agujero negro giratorio. es la velocidad angular en el horizonte de sucesos. Esta expresión da una temperatura de Hawking simple de . ^[16] $${\displaystyle \kappa =g-k,}$$ ${\textstyle g={\frac {1}{4M}}}$ ${\displaystyle k:=M\Omega _{+}^{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{+}}$ ${\displaystyle 2\pi T=g-k}$

Solución de Kerr-Newman

La gravedad superficial para la solución de Kerr-Newman es donde es la carga eléctrica, es el momento angular, se definen como las ubicaciones de los dos horizontes y . $${\displaystyle \kappa ={\frac {r_{+}-r_{-}}{2\left(r_{+}^{2}+a^{2}\right)}}={\frac {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}{2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}},}$$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle J}$ ${\textstyle r_{\pm }:=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}$ ${\displaystyle a:=J/M}$

Agujeros negros dinámicos

La gravedad superficial de los agujeros negros estacionarios está bien definida. Esto se debe a que todos los agujeros negros estacionarios tienen un horizonte que es Killing. ^[17] Recientemente ha habido un cambio hacia la definición de la gravedad superficial de los agujeros negros dinámicos cuyo espacio-tiempo no admite un vector (campo) Killing similar al tiempo . ^[18] Varias definiciones han sido propuestas a lo largo de los años por varios autores, como la gravedad superficial descascarada y la gravedad superficial Kodama. ^[19] En la actualidad, no hay consenso o acuerdo sobre qué definición, si es que hay alguna, es correcta. ^{[20] Los resultados} semiclásicos indican que la gravedad superficial descascarada está mal definida para objetos transitorios formados en tiempo finito de un observador distante. ^[21]

Referencias

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4. "¿Por qué la Tierra es redonda?". Pregúntele a un científico . Laboratorio Nacional Argonne, División de Programas Educativos. Archivado desde el original el 21 de septiembre de 2008.
5. Libro I, §XII, págs. 218-226, Newton's Principia: The Mathematical Principles of Natural Philosophy , Sir Isaac Newton, trad. Andrew Motte, ed. NW Chittenden. Nueva York: Daniel Adee, 1848. Primera edición estadounidense.
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Enlaces externos

• Gravedad superficial newtoniana
• Exploratorium – Tu peso en otros mundos