Amplio paquete de líneas

Concepto en geometría algebraica

En matemáticas, una característica distintiva de la geometría algebraica es que algunos fibrados de líneas en una variedad proyectiva pueden considerarse "positivos", mientras que otros son "negativos" (o una mezcla de los dos). La noción más importante de positividad es la de fibrado de líneas amplio, aunque hay varias clases relacionadas de fibrados de líneas. En términos generales, las propiedades de positividad de un fibrado de líneas están relacionadas con tener muchas secciones globales . Comprender los fibrados de líneas amplios en una variedad dada X equivale a comprender las diferentes formas de mapear X en el espacio proyectivo . En vista de la correspondencia entre fibrados de líneas y divisores (construidos a partir de subvariedades de codimensión -1), existe una noción equivalente de divisor amplio .

En más detalle, un fibrado lineal se llama libre de puntos base si tiene suficientes secciones para dar un morfismo al espacio proyectivo. Un fibrado lineal es semiamplio si alguna potencia positiva de él está libre de puntos base; la semiamplitud es un tipo de "no negatividad". Más fuertemente, un fibrado lineal en una variedad completa X es muy amplio si tiene suficientes secciones para dar una inmersión cerrada (o "incrustación") de X en el espacio proyectivo. Un fibrado lineal es amplio si alguna potencia positiva es muy amplia.

Un fibrado lineal amplio en una variedad proyectiva X tiene grado positivo en cada curva en X. Lo inverso no es del todo cierto, pero existen versiones corregidas del inverso, los criterios de amplitud de Nakai-Moishezon y Kleiman.

Introducción

Retroceso de un fibrado lineal y divisores de hiperplanos

Dado un morfismo de esquemas , un fibrado vectorial (o más generalmente un haz coherente en Y ) tiene un pullback a X , donde la proyección es la proyección en la primera coordenada (ver Haz de módulos#Operaciones ). El pullback de un fibrado vectorial es un fibrado vectorial del mismo rango. En particular, el pullback de un fibrado lineal es un fibrado lineal. (Brevemente, la fibra de en un punto x en X es la fibra de E en f ( x ).) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle p\colon E\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}}$ ${\displaystyle p'\colon f^{*}E\to X}$ ${\displaystyle f^{*}E}$

Las nociones descritas en este artículo están relacionadas con esta construcción en el caso de un morfismo al espacio proyectivo.

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},}$

con E = O (1) el fibrado lineal en el espacio proyectivo cuyas secciones globales son los polinomios homogéneos de grado 1 (es decir, funciones lineales) en variables . El fibrado lineal O (1) también puede describirse como el fibrado lineal asociado a un hiperplano en (porque el conjunto cero de una sección de O (1) es un hiperplano). Si f es una inmersión cerrada, por ejemplo, se sigue que el pullback es el fibrado lineal en X asociado a una sección de hiperplano (la intersección de X con un hiperplano en ). ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Paquetes de líneas sin puntos de base

Sea X un esquema sobre un cuerpo k (por ejemplo, una variedad algebraica) con un fibrado lineal L . (Un fibrado lineal también puede llamarse haz invertible .) Sean elementos del espacio vectorial k de secciones globales de L . El conjunto cero de cada sección es un subconjunto cerrado de X ; sea U el subconjunto abierto de puntos en los que al menos uno de no es cero. Entonces estas secciones definen un morfismo ${\displaystyle a_{0},...,a_{n}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

En más detalle: para cada punto x de U , la fibra de L sobre x es un espacio vectorial unidimensional sobre el cuerpo de residuos k ( x ). La elección de una base para esta fibra la convierte en una secuencia de n +1 números, no todos cero, y por lo tanto en un punto en el espacio proyectivo. Al cambiar la elección de la base, se escalan todos los números por la misma constante distinta de cero, por lo que el punto en el espacio proyectivo es independiente de la elección. ${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$

Además, este morfismo tiene la propiedad de que la restricción de L a U es isomorfa al pullback . ^[1] ${\displaystyle f^{*}O(1)}$

El lugar geométrico base de un fibrado lineal L en un esquema X es la intersección de los conjuntos cero de todas las secciones globales de L . Un fibrado lineal L se llama libre de puntos base si su lugar geométrico base está vacío. Es decir, para cada punto x de X hay una sección global de L que es distinta de cero en x . Si X es propio sobre un cuerpo k , entonces el espacio vectorial de secciones globales tiene dimensión finita; la dimensión se llama . ^[2] Por lo tanto, un fibrado lineal libre de puntos base L determina un morfismo sobre k , donde , dado al elegir una base para . Sin hacer una elección, esto puede describirse como el morfismo ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))}$

de X al espacio de hiperplanos en , asociado canónicamente al fibrado de líneas libre de punto base L . Este morfismo tiene la propiedad de que L es el pullback . ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Por el contrario, para cualquier morfismo f de un esquema X al espacio proyectivo sobre k , el fibrado de líneas de pullback es libre de punto base. De hecho, O (1) es libre de punto base en , porque para cada punto y en hay un hiperplano que no contiene a y . Por lo tanto, para cada punto x en X , hay una sección s de O (1) sobre que no es cero en f ( x ), y el pullback de s es una sección global de que no es cero en x . En resumen, los fibrados de líneas libres de punto base son exactamente aquellos que pueden expresarse como el pullback de O (1) por algún morfismo al espacio proyectivo. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Nef, semiamplificación global generada

El grado de un fibrado lineal L sobre una curva propia C sobre k se define como el grado del divisor ( s ) de cualquier sección racional distinta de cero s de L. Los coeficientes de este divisor son positivos en los puntos donde s se anula y negativos donde s tiene un polo. Por lo tanto, cualquier fibrado lineal L sobre una curva C tal que tiene grado no negativo (porque las secciones de L sobre C , a diferencia de las secciones racionales, no tienen polos). ^[3] En particular, cada fibrado lineal sin punto base sobre una curva tiene grado no negativo. Como resultado, un fibrado lineal sin punto base L sobre cualquier esquema propio X sobre un cuerpo es nef , lo que significa que L tiene grado no negativo en cada curva (irreducible) en X. ^[4 ] ${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$

De manera más general, se dice que un haz F de -módulos en un esquema X se genera globalmente si hay un conjunto I de secciones globales tales que el morfismo correspondiente ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

de haces es sobreyectivo. ^[5] Un fibrado de líneas se genera globalmente si y solo si no tiene puntos base.

Por ejemplo, cada haz cuasi-coherente en un esquema afín se genera globalmente. ^[6] De manera análoga, en geometría compleja , el teorema A de Cartan dice que cada haz coherente en una variedad de Stein se genera globalmente.

Un fibrado lineal L en un esquema propio sobre un cuerpo es semiamplio si existe un entero positivo r tal que la potencia tensorial no tiene punto base. Un fibrado lineal semiamplio es nef (por el hecho correspondiente para fibrados lineales sin punto base). ^[7] ${\displaystyle L^{\otimes r}}$

Paquetes de líneas muy amplios

Se dice que un fibrado lineal L en un esquema propio X sobre un cuerpo k es muy amplio si no tiene puntos de base y el morfismo asociado

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

es una inmersión cerrada. Aquí . Equivalentemente, L es muy amplia si X puede ser incrustado en un espacio proyectivo de alguna dimensión sobre k de tal manera que L es la restricción del fibrado lineal O (1) a X . ^[8] La última definición se utiliza para definir la amplitud para un fibrado lineal en un esquema propio sobre cualquier anillo conmutativo . ^[9] ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$

El nombre "muy amplio" fue introducido por Alexander Grothendieck en 1961. ^[10] Varios nombres se habían utilizado anteriormente en el contexto de sistemas lineales de divisores .

Para un fibrado lineal muy amplio L en un esquema propio X sobre un cuerpo con morfismo asociado f , el grado de L en una curva C en X es el grado de f ( C ) como una curva en . Por lo tanto, L tiene grado positivo en cada curva en X (porque cada subvariedad del espacio proyectivo tiene grado positivo). ^[11] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Definiciones

Amplios haces invertibles en esquemas cuasi compactos

Los haces de líneas amplias se utilizan con mayor frecuencia en esquemas adecuados, pero pueden definirse con una generalidad mucho más amplia.

Sea X un esquema, y ​​sea un haz invertible en X . Para cada , sea el haz ideal del subesquema reducido soportado solo en x . Para , defina De manera equivalente, si denota el cuerpo de residuos en x (considerado como un haz de rascacielos soportado en x ), entonces donde es la imagen de s en el producto tensorial. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.}$$ ${\displaystyle \kappa (x)}$ $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},}$$ ${\displaystyle {\bar {s}}_{x}}$

Solución . Para cada s , la restricción es un módulo libre trivializado por la restricción de s , lo que significa que el morfismo de multiplicación por s es un isomorfismo. El conjunto siempre es abierto y el morfismo de inclusión es un morfismo afín. A pesar de esto, no es necesario que sea un esquema afín. Por ejemplo, si , entonces es abierto en sí mismo y afín sobre sí mismo, pero generalmente no es afín. ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle X_{s}\to X}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X_{s}=X}$

Supongamos que X es cuasi-compacto. Entonces es amplio si, para cada , existe un y un tal que y es un esquema afín. ^[12] Por ejemplo, el fibrado de líneas trivial es amplio si y solo si X es cuasi-afín . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle x\in X_{s}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

En general, no es cierto que cada uno sea afín. Por ejemplo, si para algún punto O , y si es la restricción de a X , entonces y tienen las mismas secciones globales, y el lugar geométrico no nulo de una sección de es afín si y solo si la sección correspondiente de contiene O . ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$

Es necesario permitir potencias de en la definición. De hecho, para cada N , es posible que no sea afín para cada con . De hecho, supongamos que Z es un conjunto finito de puntos en , , y . Los lugares geométricos evanescentes de las secciones de son curvas planas de grado N . Al tomar Z como un conjunto suficientemente grande de puntos en posición general, podemos asegurar que ninguna curva plana de grado N (y, por lo tanto, cualquier grado inferior) contenga todos los puntos de Z . En particular, sus lugares geométricos no evanescentes son todos no afines. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\leq N}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes N}}$

Defina . Sea , el morfismo estructural. Existe un isomorfismo natural entre los homomorfismos y endomorfismos del álgebra de S del anillo graduado . El endomorfismo identidad de S corresponde a un homomorfismo . La aplicación del funtor produce un morfismo de un subesquema abierto de X , denotado , a . ${\displaystyle \textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ ${\displaystyle G(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

La caracterización básica de haces invertibles amplios establece que si X es un esquema cuasi-compacto cuasi-separado y es un haz invertible en X , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es suficiente
2. Los conjuntos abiertos , donde y , forman una base para la topología de X . ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
3. Los conjuntos abiertos con la propiedad de ser afines, donde y , forman una base para la topología de X . ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
4. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$y el morfismo es una inmersión abierta dominante. ${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
5. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$y el morfismo es un homeomorfismo del espacio topológico subyacente de X con su imagen. ${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
6. Para cada haz cuasi-coherente en X , la función canónica es sobreyectiva. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}}$
7. Para cada haz cuasi-coherente de ideales en X , la función canónica es sobreyectiva. ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
8. Para cada haz cuasi-coherente de ideales en X , la función canónica es sobreyectiva. ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
9. Para cada haz cuasi coherente de tipo finito en X , existe un entero tal que para , es generado por sus secciones globales. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$
10. Para cada haz cuasi-coherente de tipo finito en X , existen números enteros y tales que son isomorfos a un cociente de . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$
11. Para cada haz cuasi-coherente de ideales de tipo finito en X , existen números enteros y tales que son isomorfos a un cociente de . ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$

Sobre esquemas adecuados

Cuando X es separado y de tipo finito sobre un esquema afín, un haz invertible es amplio si y solo si existe un entero positivo r tal que la potencia tensorial es muy amplia. ^{[15] [16]} En particular, un esquema propio sobre R tiene un fibrado lineal amplio si y solo si es proyectivo sobre R . A menudo, esta caracterización se toma como la definición de amplitud. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes r}}$

El resto de este artículo se centrará en la amplitud en esquemas propios sobre un cuerpo, ya que este es el caso más importante. Un fibrado lineal amplio en un esquema propio X sobre un cuerpo tiene grado positivo en cada curva en X , por el enunciado correspondiente para fibrados lineales muy amplios.

Se dice que un divisor de Cartier D en un esquema propio X sobre un cuerpo k es amplio si el fibrado lineal correspondiente O ( D ) es amplio. (Por ejemplo, si X es suave sobre k , entonces un divisor de Cartier puede identificarse con una combinación lineal finita de subvariedades cerradas de codimensión 1 de X con coeficientes enteros).

Debilitar la noción de "muy amplio" a "amplio" da un concepto flexible con una amplia variedad de caracterizaciones diferentes. Un primer punto es que tensando altas potencias de un fibrado lineal amplio con cualquier haz coherente da un haz con muchas secciones globales. Más precisamente, un fibrado lineal L en un esquema propio X sobre un cuerpo (o más generalmente sobre un anillo noetheriano ) es amplio si y solo si para cada haz coherente F en X , hay un entero s tal que el haz se genera globalmente para todos . Aquí s puede depender de F . ^{[17] [18]} ${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$ ${\displaystyle r\geq s}$

Otra caracterización de la amplitud, conocida como el teorema de Cartan - Serre - Grothendieck , es en términos de cohomología de haces coherentes . Es decir, un fibrado lineal L en un esquema propio X sobre un cuerpo (o más generalmente sobre un anillo noetheriano) es amplio si y solo si para cada haz coherente F en X , existe un entero s tal que

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

para todos y todas . ^{[19] [18]} En particular, las altas potencias de un fibrado lineal amplio eliminan la cohomología en grados positivos. Esta implicación se llama teorema de desaparición de Serre , demostrado por Jean-Pierre Serre en su artículo de 1955 Faisceaux algébriques cohérents . ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle r\geq s}$

Ejemplos/No ejemplos

• El fibrado lineal trivial de una variedad proyectiva X de dimensión positiva no tiene punto base pero no es amplio. En términos más generales, para cualquier morfismo f de una variedad proyectiva X a algún espacio proyectivo sobre un cuerpo, el fibrado lineal de pullback siempre tiene punto base libre, mientras que L es amplio si y solo si el morfismo f es finito (es decir, todas las fibras de f tienen dimensión 0 o están vacías). ^[20] ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle L=f^{*}O(1)}$
• Para un entero d , el espacio de secciones del fibrado de líneas O ( d ) sobre es el espacio vectorial complejo de polinomios homogéneos de grado d en las variables x , y . En particular, este espacio es cero para d < 0. Para , el morfismo al espacio proyectivo dado por O ( d ) es ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}}$

por

${\displaystyle [x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots ,y^{d}].}$

Esta es una inmersión cerrada para , con imagen de una curva normal racional de grado d en . Por lo tanto, O ( d ) es libre de punto base si y solo si , y muy amplio si y solo si . De ello se deduce que O ( d ) es amplio si y solo si . ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$ ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle d\geq 1}$

• Para un ejemplo donde "amplio" y "muy amplio" son diferentes, sea X una curva proyectiva suave de género 1 (una curva elíptica ) sobre C , y sea p un punto complejo de X . Sea O ( p ) el fibrado lineal asociado de grado 1 en X . Entonces el espacio vectorial complejo de secciones globales de O ( p ) tiene dimensión 1, abarcado por una sección que se desvanece en p . ^[21] Por lo tanto, el lugar geométrico base de O ( p ) es igual a p . Por otro lado, O (2 p ) no tiene puntos base, y O ( dp ) es muy amplio para (dando una incrustación de X como una curva elíptica de grado d en ). Por lo tanto, O ( p ) es amplio pero no muy amplio. Además, O (2 p ) es amplio y no tiene puntos base pero no muy amplio; el morfismo asociado al espacio proyectivo es una doble cobertura ramificada . ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d-1}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$
• En curvas de género superior, hay fibrados lineales amplios L para los cuales cada sección global es cero. (Pero los múltiplos altos de L tienen muchas secciones, por definición.) Por ejemplo, sea X una curva cuártica plana suave (de grado 4 en ) sobre C , y sean p y q puntos complejos distintos de X . Entonces el fibrado lineal es amplio pero tiene . ^[22] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle L=O(2p-q)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)=0}$

Criterios de amplitud de haces de líneas

Teoría de la intersección

Para determinar si un fibrado de líneas dado en una variedad proyectiva X es amplio, los siguientes criterios numéricos (en términos de números de intersección) suelen ser los más útiles. Es equivalente a preguntar cuándo un divisor de Cartier D en X es amplio, lo que significa que el fibrado de líneas asociado O ( D ) es amplio. El número de intersección se puede definir como el grado del fibrado de líneas O ( D ) restringido a C . En la otra dirección, para un fibrado de líneas L en una variedad proyectiva, la primera clase de Chern significa el divisor de Cartier asociado (definido hasta la equivalencia lineal), el divisor de cualquier sección racional no nula de L . ${\displaystyle D\cdot C}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$

En una curva proyectiva suave X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , un fibrado lineal L es muy amplio si y solo si para todos los k puntos racionales x , y en X . [ ^23] Sea g el género de X . Por el teorema de Riemann-Roch , todo fibrado lineal de grado al menos 2 g  + 1 satisface esta condición y, por lo tanto, es muy amplio. Como resultado, un fibrado lineal en una curva es amplio si y solo si tiene grado positivo. ^[24] ${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$

Por ejemplo, el fibrado canónico de una curva X tiene grado 2 g  − 2, y por lo tanto es amplio si y solo si . Las curvas con fibrado canónico amplio forman una clase importante; por ejemplo, sobre los números complejos, estas son las curvas con una métrica de curvatura negativa . El fibrado canónico es muy amplio si y solo si y la curva no es hiperelíptica . ^[25] ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

El criterio de Nakai-Moishezon (nombrado así por Yoshikazu Nakai (1963) y Boris Moishezon (1964)) establece que un fibrado de líneas L en un esquema propio X sobre un cuerpo es amplio si y solo si para cada subvariedad cerrada ( irreducible ) Y de X ( no se permite que Y sea un punto). ^[26] En términos de divisores, un divisor de Cartier D es amplio si y solo si para cada subvariedad (de dimensión distinta de cero) Y de X . Para X una curva, esto dice que un divisor es amplio si y solo si tiene grado positivo. Para X una superficie, el criterio dice que un divisor D es amplio si y solo si su número de autointersección es positivo y cada curva C en X tiene . ${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$ ${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle D\cdot C>0}$

Criterio de Kleiman

Para enunciar el criterio de Kleiman (1966), sea X un esquema proyectivo sobre un cuerpo. Sea el espacio vectorial real de 1-ciclos (combinaciones lineales reales de curvas en X ) módulo equivalencia numérica, lo que significa que dos 1-ciclos A y B son iguales en si y solo si cada fibrado lineal tiene el mismo grado en A y en B . Por el teorema de Néron-Severi , el espacio vectorial real tiene dimensión finita. El criterio de Kleiman establece que un fibrado lineal L en X es amplio si y solo si L tiene grado positivo en cada elemento distinto de cero C del cierre del cono de curvas NE( X ) en . (Esto es ligeramente más fuerte que decir que L tiene grado positivo en cada curva). De manera equivalente, un fibrado lineal es amplio si y solo si su clase en el espacio vectorial dual está en el interior del cono nef . ^[27] ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

El criterio de Kleiman falla en general para esquemas propios (en lugar de proyectivos) X sobre un cuerpo, aunque se cumple si X es suave o, más generalmente, Q -factorial. ^[28]

Un fibrado lineal en una variedad proyectiva se llama estrictamente nef si tiene grado positivo en cada curva Nagata (1959). y David Mumford construyeron fibrados lineales en superficies proyectivas suaves que son estrictamente nef pero no amplios. Esto muestra que la condición no se puede omitir en el criterio de Nakai-Moishezon, y es necesario utilizar el cierre de NE( X ) en lugar de NE( X ) en el criterio de Kleiman. ^[29] Cada fibrado lineal nef en una superficie tiene , y los ejemplos de Nagata y Mumford tienen . ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$ ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$

CS Seshadri demostró que un fibrado de líneas L en un esquema propio sobre un campo algebraicamente cerrado es amplio si y sólo si hay un número real positivo ε tal que deg( L | _C ) ≥ ε m ( C ) para todas las curvas (irreducibles) C en X , donde m ( C ) es el máximo de las multiplicidades en los puntos de C . ^[30]

Varias caracterizaciones de amplitud se cumplen de manera más general para fibrados lineales en un espacio algebraico propio sobre un cuerpo k . En particular, el criterio de Nakai-Moishezon es válido en esa generalidad. ^[31] El criterio de Cartan-Serre-Grothendieck se cumple incluso de manera más general, para un espacio algebraico propio sobre un anillo noetheriano R . ^[32] (Si un espacio algebraico propio sobre R tiene un fibrado lineal amplio, entonces es de hecho un esquema proyectivo sobre R .) El criterio de Kleiman falla para espacios algebraicos propios X sobre un cuerpo, incluso si X es suave. ^[33]

Apertura de amplitud

En un esquema proyectivo X sobre un cuerpo, el criterio de Kleiman implica que la amplitud es una condición abierta en la clase de un R -divisor (una R -combinación lineal de divisores de Cartier) en , con su topología basada en la topología de los números reales. (Un R -divisor se define como amplio si puede escribirse como una combinación lineal positiva de divisores de Cartier amplios. ^[34] ) Un caso especial elemental es: para un divisor amplio H y cualquier divisor E , existe un número real positivo b tal que es amplio para todos los números reales a de valor absoluto menor que b . En términos de divisores con coeficientes enteros (o fibrados de líneas), esto significa que nH + E es amplio para todos los enteros positivos suficientemente grandes n . ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle H+aE}$

La amplitud es también una condición abierta en un sentido muy diferente, cuando la variedad o fibrado lineal varía en una familia algebraica. Es decir, sea un morfismo propio de esquemas, y sea L un fibrado lineal en X . Entonces el conjunto de puntos y en Y tales que L es amplio en la fibra es abierto (en la topología de Zariski ). Más fuertemente, si L es amplio en una fibra , entonces hay un entorno abierto afín U de y tal que L es amplio en sobre U . ^[35] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

Otras caracterizaciones de la amplitud de Kleiman

Kleiman también demostró las siguientes caracterizaciones de amplitud, que pueden considerarse como pasos intermedios entre la definición de amplitud y los criterios numéricos. Es decir, para un fibrado lineal L en un esquema propio X sobre un cuerpo, las siguientes son equivalentes: ^[36]

• L es suficiente.
• Para cada subvariedad (irreducible) de dimensión positiva, hay un entero positivo r y una sección que no es idénticamente cero sino que se desvanece en algún punto de Y. ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$
• Para cada subvariedad (irreducible) de dimensión positiva, las características de Euler holomórficas de las potencias de L sobre Y tienden al infinito: ${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$como . ${\displaystyle r\to \infty }$

Generalizaciones

Amplios paquetes de vectores

Robin Hartshorne definió un fibrado vectorial F en un esquema proyectivo X sobre un cuerpo como amplio si el fibrado lineal en el espacio de hiperplanos en F es amplio. ^[37] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$

Varias propiedades de los fibrados lineales amplios se extienden a los fibrados vectoriales amplios. Por ejemplo, un fibrado vectorial F es amplio si y solo si las altas potencias simétricas de F eliminan la cohomología de haces coherentes para todo . ^[38] Además, la clase Chern de un fibrado vectorial amplio tiene grado positivo en cada subvariedad r -dimensional de X , para . ^[39] ${\displaystyle H^{i}}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle c_{r}(F)}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$

Paquetes de líneas grandes

Un debilitamiento útil de la amplitud, en particular en geometría biracional , es la noción de un fibrado lineal grande . Se dice que un fibrado lineal L en una variedad proyectiva X de dimensión n sobre un cuerpo es grande si hay un número real positivo a y un entero positivo tal que para todo . Esta es la tasa de crecimiento máxima posible para los espacios de secciones de potencias de L , en el sentido de que para cada fibrado lineal L en X hay un número positivo b con para todo j > 0. ^[40] ${\displaystyle j_{0}}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$ ${\displaystyle j\geq j_{0}}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$

Existen otras caracterizaciones de los grandes fibrados lineales. En primer lugar, un fibrado lineal es grande si y solo si existe un entero positivo r tal que la función racional de X a dada por las secciones de es biracional sobre su imagen. ^[41] Además, un fibrado lineal L es grande si y solo si tiene una potencia tensorial positiva que es el producto tensorial de un fibrado lineal amplio A y un fibrado lineal efectivo B (lo que significa que ). ^[42] Finalmente, un fibrado lineal es grande si y solo si su clase en está en el interior del cono de divisores efectivos. ^[43] ${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$ ${\displaystyle L^{\otimes r}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

La grandeza puede verse como un análogo biracionalmente invariante de la amplitud. Por ejemplo, si es una función racional dominante entre variedades proyectivas suaves de la misma dimensión, entonces el pullback de un fibrado lineal grande en Y es grande en X. (A primera vista, el pullback es solo un fibrado lineal en el subconjunto abierto de X donde f es un morfismo, pero esto se extiende únicamente a un fibrado lineal en todo X. ) Para fibrados lineales amplios, solo se puede decir que el pullback de un fibrado lineal amplio por un morfismo finito es amplio. ^[20] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Ejemplo: Sea X la expansión del plano proyectivo en un punto sobre los números complejos. Sea H el retroceso a X de una línea en , y sea E la curva excepcional de la expansión . Entonces el divisor H + E es grande pero no amplio (o incluso nulo) en X , porque ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

Esta negatividad también implica que el lugar geométrico base de H + E (o de cualquier múltiplo positivo) contiene la curva E . De hecho, este lugar geométrico base es igual a E .

Amplitud relativa

Dado un morfismo cuasi-compacto de esquemas , se dice que un haz invertible L en X es amplio en relación con f o f -amplio si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes: ^{[44] [45]} ${\displaystyle f:X\to S}$

1. Para cada subconjunto afín abierto , la restricción de L a es amplia (en el sentido habitual). ${\displaystyle U\subset S}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$
2. f está cuasi-separado y hay una inmersión abierta inducida por el mapa de adjunción : ${\displaystyle X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)}$

   ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$.

3. La condición 2. sin "abierto".

La condición 2 dice (aproximadamente) que X puede compactificarse abiertamente a un esquema proyectivo con (no sólo a un esquema propio). ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=L}$

Véase también

Geometría algebraica general

• Geometría algebraica de espacios proyectivos
• Variedad Fano : variedad cuyo haz canónico es antiamplificado.
• El gran teorema de Matsusaka
• Esquema divisional : un esquema que admite una amplia familia de haces de líneas.

Amplitud en geometría compleja

• Paquete de vectores holomórficos
• Teorema de incrustación de Kodaira : en una variedad compleja compacta, la amplitud y la positividad coinciden.
• Teorema de desaparición de Kodaira
• Teorema del hiperplano de Lefschetz : un divisor amplio en una variedad proyectiva compleja X es topológicamente similar a X.

Notas

1. Hartshorne (1977), Teorema II.7.1.
2. Hartshorne (1977), Teorema III.5.2; (etiqueta 02O6).
3. Hartshorne (1977), Lema IV.1.2.
4. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.4.5.
5. etiqueta 01AM.
6. Hartshorne (1977), Ejemplo II.5.16.2.
7. Lazarsfeld (2004), Definición 2.1.26.
8. Hartshorne (1977), sección II.5.
9. etiqueta 02NP.
10. Grothendieck, EGA II, Definición 4.2.2.
11. Hartshorne (1977), Proposición I.7.6 y Ejemplo IV.3.3.2.
12. etiqueta 01PS.
13. etiqueta 01QE.
14. EGA II, Théorème 4.5.2 y Proposición 4.5.5.
15. EGA II, Proposición 4.5.10.
16. etiqueta 01VU.
17. Hartshorne (1977), Teorema II.7.6
18. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.6.
19. Hartshorne (1977), Proposición III.5.3
20. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.13.
21. Hartshorne (1977), Ejemplo II.7.6.3.
22. Hartshorne (1977), Ejercicio IV.3.2(b).
23. Hartshorne (1977), Proposición IV.3.1.
24. Hartshorne (1977), Corolario IV.3.3.
25. Hartshorne (1977), Proposición IV.5.2.
26. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.23, Observación 1.2.29; Kleiman (1966), Teorema III.1.
27. Lazarsfeld (2004), Teoremas 1.4.23 y 1.4.29; Kleiman (1966), Teorema IV.1.
28. Fujino (2005), Corolario 3.3; Lazarsfeld (2004), Observación 1.4.24.
29. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.5.2.
30. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.4.13; Hartshorne (1970), Teorema I.7.1.
31. Kollár (1990), Teorema 3.11.
32. etiqueta 0D38.
33. Kollár (1996), Capítulo VI, Apéndice, Ejercicio 2.19.3.
34. Lazarsfeld (2004), Definición 1.3.11.
35. Lazarsfeld (2004), Teorema 1.2.17 y su demostración.
36. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.2.32; Kleiman (1966), Teorema III.1.
37. Lazarsfeld (2004), Definición 6.1.1.
38. Lazarsfeld (2004), Teorema 6.1.10.
39. Lazarsfeld (2004), Teorema 8.2.2.
40. Lazarsfeld (2004), Corolario 2.1.38.
41. Lazarsfeld (2004), sección 2.2.A.
42. Lazarsfeld (2004), Corolario 2.2.7.
43. Lazarsfeld (2004), Teorema 2.2.26.
44. etiqueta 01VG.
45. Grothendieck y Dieudonné 1961, Proposición 4.6.3.

Fuentes

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• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961), "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques Classes de morphismes", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 8 , doi :10.1007/bf02699291, MR  0217084
• Hartshorne, Robin (1970), Amplias subvariedades de variedades algebraicas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 156, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067839, ISBN 978-3-540-05184-8, Sr.  0282977
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
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• Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, Sr.  1440180
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• "Sección 29.37 (01VG): Haces relativamente amplios: El proyecto Stacks"
• Proyecto Stacks, día 01:00 a. m.
• Proyecto Stacks, Etiqueta 01PS
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• Proyecto Stacks, etiqueta 02O6
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