En matemáticas, la conjetura de geometrización de Thurston (ahora un teorema ) establece que cada uno de ciertos espacios topológicos tridimensionales tiene una estructura geométrica única que se le puede asociar. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a cada superficie de Riemann simplemente conexa se le puede dar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ).
En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a todo un espacio topológico. En cambio, la conjetura de geometrización establece que cada 3-variedad cerrada puede descomponerse de manera canónica en partes que tienen cada una uno de los ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston (1982), e implica varias otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston .
El teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades de Haken satisfacen la conjetura de geometrización. Thurston anunció una demostración en la década de 1980 y desde entonces han aparecido impresas varias demostraciones completas.
En 2003, Grigori Perelman anunció una prueba de la conjetura de geometrización completa utilizando el flujo de Ricci con cirugía en dos artículos publicados en el servidor de preimpresión arxiv.org. Los artículos de Perelman fueron estudiados por varios grupos independientes que produjeron libros y manuscritos en línea que completaban los detalles completos de sus argumentos. La verificación se completó esencialmente a tiempo para que Perelman recibiera la Medalla Fields de 2006 por su trabajo, y en 2010 el Instituto de Matemáticas Clay le otorgó su premio de 1 millón de dólares por resolver la conjetura de Poincaré, aunque Perelman rechazó ambos premios.
La conjetura de Poincaré y la conjetura de la forma esférica del espacio son corolarios de la conjetura de geometrización, aunque existen pruebas más breves de la primera que no conducen a la conjetura de geometrización.
Una variedad 3 se llama cerrada si es compacta y no tiene frontera .
Toda 3-variedad cerrada tiene una descomposición prima : esto significa que es la suma conexa de 3-variedades primas (esta descomposición es esencialmente única, excepto por un pequeño problema en el caso de las variedades no orientables ). Esto reduce gran parte del estudio de las 3-variedades al caso de las 3-variedades primas: aquellas que no se pueden escribir como una suma conexa no trivial.
He aquí una exposición de la conjetura de Thurston:
Hay 8 estructuras geométricas posibles en 3 dimensiones, que se describen en la siguiente sección. Existe una forma mínima única de cortar una variedad 3-orientada irreducible a lo largo de toros en piezas que son variedades de Seifert o atoroidales , llamada descomposición JSJ , que no es exactamente lo mismo que la descomposición en la conjetura de geometrización, porque algunas de las piezas en la descomposición JSJ podrían no tener estructuras geométricas de volumen finito. (Por ejemplo, el toro de mapeo de un mapa de Anosov de un toro tiene una estructura de solv de volumen finito, pero su descomposición JSJ lo corta a lo largo de un toro para producir un producto de un toro y un intervalo unitario, y el interior de este no tiene una estructura geométrica de volumen finito).
Para variedades no orientadas, la forma más fácil de formular una conjetura de geometrización es tomar primero la doble cubierta orientada . También es posible trabajar directamente con variedades no orientables, pero esto genera algunas complicaciones adicionales: puede ser necesario cortar a lo largo de planos proyectivos y botellas de Klein , así como esferas y toros, y las variedades con un componente de contorno de plano proyectivo generalmente no tienen estructura geométrica.
En dos dimensiones, toda superficie cerrada tiene una estructura geométrica que consiste en una métrica con curvatura constante; no es necesario cortar primero la variedad. En concreto, toda superficie cerrada es difeomorfa con respecto a un cociente de S 2 , E 2 o H 2 . [1]
Una geometría modelo es una variedad suave simplemente conexa X junto con una acción transitiva de un grupo de Lie G sobre X con estabilizadores compactos.
Una geometría de modelo se denomina máxima si G es máxima entre grupos que actúan de manera suave y transitiva sobre X con estabilizadores compactos. A veces, esta condición se incluye en la definición de una geometría de modelo.
Una estructura geométrica en una variedad M es un difeomorfismo de M a X /Γ para alguna geometría modelo X , donde Γ es un subgrupo discreto de G que actúa libremente sobre X ; este es un caso especial de una ( G , X )-estructura completa . Si una variedad dada admite una estructura geométrica, entonces admite una cuyo modelo es maximal.
Una geometría modelo tridimensional X es relevante para la conjetura de geometrización si es máxima y si hay al menos una variedad compacta con una estructura geométrica modelada en X. Thurston clasificó las 8 geometrías modelo que satisfacen estas condiciones; se enumeran a continuación y a veces se las llama geometrías de Thurston . (También hay innumerables geometrías modelo sin cocientes compactos).
Existe cierta conexión con los grupos de Bianchi : los grupos de Lie tridimensionales. La mayoría de las geometrías de Thurston se pueden realizar como una métrica invariante por la izquierda en un grupo de Bianchi. Sin embargo, S 2 × R no puede serlo, el espacio euclidiano corresponde a dos grupos de Bianchi diferentes y hay una cantidad incontable de grupos de Bianchi no unimodulares resolubles , la mayoría de los cuales dan geometrías modelo sin representantes compactos.
El estabilizador puntual es O(3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones O(4, R ), con 2 componentes. Las variedades correspondientes son exactamente las 3-variedades cerradas con grupo fundamental finito . Los ejemplos incluyen la 3-esfera , la esfera de homología de Poincaré , los espacios de Lens . Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo IX . Las variedades con esta geometría son todas compactas, orientables y tienen la estructura de un espacio de fibra de Seifert (a menudo de varias maneras). La lista completa de dichas variedades se da en el artículo sobre 3-variedades esféricas . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con esta geometría colapsan a un punto en tiempo finito.
El estabilizador puntual es O(3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones R 3 × O(3, R ), con 2 componentes. Algunos ejemplos son el 3-toro , y más generalmente el toro de aplicación de un automorfismo de orden finito del 2-toro; véase fibrado toroidal . Hay exactamente 10 3-variedades cerradas finitas con esta geometría, 6 orientables y 4 no orientables. Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en los grupos de Bianchi de tipo I o VII 0 . Las variedades de volumen finito con esta geometría son todas compactas y tienen la estructura de un espacio de fibra de Seifert (a veces de dos maneras). La lista completa de dichas variedades se da en el artículo sobre espacios de fibra de Seifert . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con geometría euclidiana permanecen invariantes.
El estabilizador puntual es O(3, R ), y el grupo G es el grupo de Lie de 6 dimensiones O + (1, 3, R ), con 2 componentes. Hay una enorme cantidad de ejemplos de estos, y su clasificación no se entiende completamente. El ejemplo con el volumen más pequeño es la variedad de Weeks . Otros ejemplos son dados por el espacio de Seifert-Weber , o cirugías de Dehn "suficientemente complicadas" en enlaces , o la mayoría de las variedades de Haken . La conjetura de geometrización implica que una 3-variedad cerrada es hiperbólica si y solo si es irreducible, atoroidal , y tiene un grupo fundamental infinito. Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo V o VII h≠0 . Bajo el flujo de Ricci, las variedades con geometría hiperbólica se expanden.
El estabilizador puntual es O(2, R ) × Z /2 Z , y el grupo G es O(3, R ) × R × Z /2 Z , con 4 componentes. Las cuatro variedades de volumen finito con esta geometría son: S 2 × S 1 , el toro de aplicación de la función antípoda de S 2 , la suma conexa de dos copias del espacio proyectivo tridimensional y el producto de S 1 con el espacio proyectivo bidimensional. Los dos primeros son toros de aplicación de la función identidad y la función antípoda de la 2-esfera, y son los únicos ejemplos de 3-variedades que son primos pero no irreducibles. El tercero es el único ejemplo de una suma conexa no trivial con una estructura geométrica. Esta es la única geometría modelo que no se puede realizar como una métrica invariante por la izquierda en un grupo de Lie tridimensional. Las variedades de volumen finito con esta geometría son todas compactas y tienen la estructura de un espacio de fibra de Seifert (a menudo de varias maneras). Bajo flujo de Ricci normalizado, las variedades con esta geometría convergen a una variedad unidimensional.
El estabilizador puntual es O(2, R ) × Z /2 Z , y el grupo G es O + (1, 2, R ) × R × Z /2 Z , con 4 componentes. Los ejemplos incluyen el producto de una superficie hiperbólica con un círculo, o más generalmente el toro de aplicación de una isometría de una superficie hiperbólica. Las variedades de volumen finito con esta geometría tienen la estructura de un espacio de fibra de Seifert si son orientables. (Si no son orientables, la fibración natural por círculos no es necesariamente una fibración de Seifert: el problema es que algunas fibras pueden "invertir la orientación"; en otras palabras, sus vecindarios parecen botellas de Klein sólidas fibradas en lugar de toros sólidos. [2] ) La clasificación de tales variedades (orientadas) se da en el artículo sobre espacios de fibra de Seifert . Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo III . Bajo el flujo de Ricci normalizado, las variedades con esta geometría convergen a una variedad bidimensional.
La cubierta universal de SL(2, R ) se denota . Se fibrila sobre H 2 , y el espacio a veces se denomina "H 2 × R retorcido". El grupo G tiene 2 componentes. Su componente identidad tiene la estructura . El estabilizador puntual es O(2, R ).
Ejemplos de estas variedades incluyen: la variedad de vectores unitarios del fibrado tangente de una superficie hiperbólica, y más generalmente las esferas de homología de Brieskorn (exceptuando la 3-esfera y el espacio dodecaédrico de Poincaré ). Esta geometría puede ser modelada como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo VIII o III . Las variedades de volumen finito con esta geometría son orientables y tienen la estructura de un espacio de fibra de Seifert . La clasificación de tales variedades se da en el artículo sobre espacios de fibra de Seifert . Bajo flujo de Ricci normalizado, las variedades con esta geometría convergen a una variedad bidimensional.
Esta fibra se extiende sobre E 2 , por lo que a veces se la conoce como " E 2 × R torcida". Es la geometría del grupo de Heisenberg . El estabilizador puntual es O(2, R ). El grupo G tiene 2 componentes y es un producto semidirecto del grupo de Heisenberg tridimensional por el grupo O(2, R ) de isometrías de un círculo. Las variedades compactas con esta geometría incluyen el toro de aplicación de un giro de Dehn de un 2-toro, o el cociente del grupo de Heisenberg por el "grupo de Heisenberg integral". Esta geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en el grupo de Bianchi de tipo II . Las variedades de volumen finito con esta geometría son compactas y orientables y tienen la estructura de un espacio de fibras de Seifert . La clasificación de dichas variedades se da en el artículo sobre espacios de fibras de Seifert . Bajo flujo Ricci normalizado, las variedades compactas con esta geometría convergen a R 2 con la métrica plana.
Esta geometría (también llamada geometría Solv ) se fibrila sobre la línea con el plano, y es la geometría del componente identidad del grupo G . El estabilizador puntual es el grupo diedro de orden 8. El grupo G tiene 8 componentes, y es el grupo de aplicaciones del espacio de Minkowski bidimensional a sí mismo que son isometrías o multiplican la métrica por −1. El componente identidad tiene un subgrupo normal R 2 con cociente R , donde R actúa sobre R 2 con 2 espacios propios (reales), con valores propios reales distintos de producto 1. Este es el grupo de Bianchi de tipo VI 0 y la geometría se puede modelar como una métrica invariante por la izquierda en este grupo. Todas las variedades de volumen finito con geometría solv son compactas. Las variedades compactas con geometría solv son o bien el toro de aplicación de una aplicación de Anosov del 2-toro (tal aplicación es un automorfismo del 2-toro dado por una matriz invertible 2 por 2 cuyos valores propios son reales y distintos, como ), o bien cocientes de estos por grupos de orden como máximo 8. Los valores propios del automorfismo del toro generan un orden de un cuerpo cuadrático real, y las variedades solv pueden clasificarse en términos de las unidades y clases ideales de este orden. [3] Bajo flujo de Ricci normalizado, las variedades compactas con esta geometría convergen (bastante lentamente) a R 1 .
Una variedad 3-cerrada tiene una estructura geométrica de como máximo uno de los 8 tipos anteriores, pero las variedades 3-no compactas de volumen finito pueden ocasionalmente tener más de un tipo de estructura geométrica. (Sin embargo, una variedad puede tener muchas estructuras geométricas diferentes del mismo tipo; por ejemplo, una superficie de género al menos 2 tiene un continuo de diferentes métricas hiperbólicas). Más precisamente, si M es una variedad con una estructura geométrica de volumen finito, entonces el tipo de estructura geométrica está casi determinado de la siguiente manera, en términos del grupo fundamental π 1 ( M ):
Las variedades de volumen infinito pueden tener muchos tipos diferentes de estructura geométrica: por ejemplo, R 3 puede tener 6 de las diferentes estructuras geométricas enumeradas anteriormente, ya que 6 de las 8 geometrías modelo son homeomorfas a ella. Además, si el volumen no tiene por qué ser finito, hay un número infinito de nuevas estructuras geométricas sin modelos compactos; por ejemplo, la geometría de casi cualquier grupo de Lie tridimensional no unimodular.
Puede haber más de una forma de descomponer una variedad 3 cerrada en partes con estructuras geométricas. Por ejemplo:
Es posible optar por una descomposición "canónica" en piezas con estructura geométrica, por ejemplo cortando primero la variedad en piezas primos de forma mínima y luego cortándolas utilizando el menor número posible de toros. Sin embargo, esta descomposición mínima no es necesariamente la que produce el flujo de Ricci; de hecho, el flujo de Ricci puede cortar una variedad en piezas geométricas de muchas formas desiguales, dependiendo de la elección de la métrica inicial.
La Medalla Fields fue otorgada a Thurston en 1982 parcialmente por su prueba de la conjetura de geometrización para las variedades de Haken .
En 1982, Richard S. Hamilton demostró que dada una variedad 3 cerrada con una métrica de curvatura de Ricci positiva , el flujo de Ricci colapsaría la variedad hasta un punto en tiempo finito, lo que prueba la conjetura de geometrización para este caso, ya que la métrica se vuelve "casi redonda" justo antes del colapso. Más tarde desarrolló un programa para probar la conjetura de geometrización mediante flujo de Ricci con cirugía . La idea es que el flujo de Ricci producirá en general singularidades, pero uno puede ser capaz de continuar el flujo de Ricci más allá de la singularidad mediante el uso de cirugía para cambiar la topología de la variedad. En términos generales, el flujo de Ricci contrae las regiones de curvatura positiva y expande las regiones de curvatura negativa, por lo que debería eliminar las piezas de la variedad con las geometrías de "curvatura positiva" S 3 y S 2 × R , mientras que lo que queda en tiempos grandes debería tener una descomposición gruesa-delgada en una pieza "gruesa" con geometría hiperbólica y una variedad gráfica "delgada" .
En 2003, Grigori Perelman anunció una prueba de la conjetura de geometrización al mostrar que el flujo de Ricci puede de hecho continuar más allá de las singularidades y tiene el comportamiento descrito anteriormente.
Un componente de la prueba de Perelman fue un novedoso teorema de colapso en la geometría de Riemann. Perelman no publicó ningún detalle sobre la prueba de este resultado (Teorema 7.4 en la preimpresión 'Flujo de Ricci con cirugía en tres variedades'). A partir de Shioya y Yamaguchi, ahora hay varias pruebas diferentes del teorema de colapso de Perelman, o variantes del mismo. [4] [5] [6] [7] La formulación de Shioya y Yamaguchi se utilizó en las primeras formulaciones completamente detalladas del trabajo de Perelman. [8]
Una segunda ruta hacia la última parte de la prueba de geometrización de Perelman es el método de Laurent Bessières y coautores, [9] [10] que utiliza el teorema de hiperbolización de Thurston para variedades de Haken y la norma de Gromov para 3-variedades. [11] [12] Un libro de los mismos autores con detalles completos de su versión de la prueba ha sido publicado por la Sociedad Matemática Europea . [13]
En cuatro dimensiones, sólo una clase bastante restringida de 4-variedades cerradas admiten una descomposición geométrica. [14] Sin embargo, todavía se pueden dar listas de geometrías de modelos máximos. [15]
Las geometrías del modelo máximo de cuatro dimensiones fueron clasificadas por Richard Filipkiewicz en 1983. Son dieciocho, más una familia infinita contable: [15] sus nombres habituales son E 4 , Nil 4 , Nil 3 × E 1 , Sol4
m , n(una familia infinitamente contable), Sol4
0, Sol4
1, H 3 × E 1 , × E 1 , H 2 × E 2 , H 2 × H 2 , H 4 , H 2 ( C ) (un espacio hiperbólico complejo ), F 4 (el fibrado tangente del plano hiperbólico), S 2 × E 2 , S 2 × H 2 , S 3 × E 1 , S 4 , CP 2 (el plano proyectivo complejo ), y S 2 × S 2 . [14] Ninguna variedad cerrada admite la geometría F 4 , pero hay variedades con descomposición propia que incluyen una pieza F 4 . [14]
Las geometrías del modelo máximo de cinco dimensiones fueron clasificadas por Andrew Geng en 2016. Hay 53 geometrías individuales y seis familias infinitas. Se producen algunos fenómenos nuevos que no se observan en dimensiones inferiores, incluidas dos familias incontables de geometrías y geometrías sin cocientes compactos. [1]
