Lugar (matemáticas)

Conjunto de puntos que satisfacen algunas condiciones específicas.

Cada curva en este ejemplo es un lugar definido como la concoide del punto P y la línea l . En este ejemplo, P está a 8 cm de l .

En geometría , un locus (plural: loci ) (palabra latina para "lugar", "ubicación") es un conjunto de todos los puntos (comúnmente, una recta , un segmento de recta , una curva o una superficie ), cuya ubicación satisface o es determinado por una o más condiciones específicas. ^{[1] [2]}

El conjunto de puntos que satisfacen alguna propiedad a menudo se denomina lugar geométrico de un punto que satisface esta propiedad. El uso del singular en esta formulación es testimonio de que, hasta finales del siglo XIX, los matemáticos no consideraban conjuntos infinitos . En lugar de ver las líneas y curvas como conjuntos de puntos, las vieron como lugares donde un punto puede ubicarse o moverse.

Historia y filosofía

Hasta principios del siglo XX, una forma geométrica (por ejemplo una curva) no era considerada como un conjunto infinito de puntos; más bien, se lo consideró como una entidad en la que un punto puede ubicarse o sobre el cual se mueve. Así, un círculo en el plano euclidiano se definió como el lugar geométrico de un punto que se encuentra a una distancia dada de un punto fijo, el centro del círculo. En las matemáticas modernas, conceptos similares se reformulan con mayor frecuencia describiendo formas como conjuntos; por ejemplo, se dice que la circunferencia es el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia determinada del centro. ^[3]

En contraste con la visión de la teoría de conjuntos, la antigua formulación evita considerar colecciones infinitas, ya que evitar el infinito real era una posición filosófica importante de los matemáticos anteriores. ^{[4] [5]}

Una vez que la teoría de conjuntos se convirtió en la base universal sobre la que se construyen todas las matemáticas, ^[6] el término de locus quedó bastante pasado de moda. ^[7] Sin embargo, la palabra todavía se usa ampliamente, principalmente para una formulación concisa, por ejemplo:

• Locus crítico , el conjunto de los puntos críticos de una función diferenciable .
• Lugar cero o lugar geométrico de fuga , el conjunto de puntos donde una función se desvanece, en el sentido de que toma el valor cero.
• Locus singular , el conjunto de los puntos singulares de una variedad algebraica .
• Locus de conectividad , el subconjunto del conjunto de parámetros de una familia de funciones racionales para el cual el conjunto de Julia de la función está conectado.

Más recientemente, técnicas como la teoría de esquemas y el uso de la teoría de categorías en lugar de la teoría de conjuntos para dar una base a las matemáticas, han regresado a nociones más parecidas a la definición original de un locus como un objeto en sí mismo que como un conjunto. de puntos. ^[5]

Ejemplos en geometría plana.

Ejemplos de geometría plana incluyen:

• El conjunto de puntos equidistantes de dos puntos es una bisectriz perpendicular al segmento de recta que conecta los dos puntos. ^[8]
• El conjunto de puntos que equidistan de dos rectas que se cortan es la unión de sus dos bisectrices .
• Todas las secciones cónicas son loci: ^[9]
  • Círculo : el conjunto de puntos a una distancia constante (el radio ) de un punto fijo (el centro ).
  • Parábola : el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo (el foco ) y de una recta (la directriz ).
  • Hipérbola : el conjunto de puntos para cada uno de los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos dados es una constante.
  • Elipse : conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma de las distancias a dos focos dados es constante

Otros ejemplos de loci aparecen en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en dinámica compleja , el conjunto de Mandelbrot es un subconjunto del plano complejo que puede caracterizarse como el lugar de conectividad de una familia de mapas polinomiales.

Prueba de un lugar

Para demostrar que una forma geométrica es el lugar geométrico correcto para un conjunto dado de condiciones, generalmente se divide la prueba en dos etapas: la prueba de que todos los puntos que satisfacen las condiciones están en la forma dada, y la prueba de que todos los puntos en la la forma dada satisface las condiciones. ^[10]

Ejemplos

(distancia PA ) = 3.(distancia PB )

Primer ejemplo

Encuentre el lugar geométrico de un punto P que tiene una relación dada de distancias k = d ₁ / d ₂ a dos puntos dados.

En este ejemplo k = 3, A (−1, 0) y B (0, 2) se eligen como puntos fijos.

P ( x ,  y ) es un punto del lugar geométrico

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

Esta ecuación representa un círculo con centro (1/8, 9/4) y radio . Es el círculo de Apolonio definido por estos valores de k , A y B. ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$

Segundo ejemplo

Lugar geométrico del punto C

Un triángulo ABC tiene un lado fijo [ AB ] de longitud c . Determine el lugar geométrico del tercer vértice C de modo que las medianas de A y C sean ortogonales .

Elija un sistema de coordenadas ortonormal tal que A (− c /2, 0), B ( c /2, 0). C ( x ,  y ) es el tercer vértice variable. El centro de [ BC ] es M ((2 x  +  c )/4,  y /2). La mediana desde C tiene una pendiente y / x . La mediana AM tiene pendiente 2 y /(2 x  + 3 c ).

El lugar es un círculo.

C ( x ,  y ) es un punto del lugar geométrico

${\displaystyle \Leftrightarrow }$las medianas de A y C son ortogonales

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

El lugar geométrico del vértice C es un círculo con centro (−3 c /4, 0) y radio 3 c /4.

Tercer ejemplo

El punto de intersección de las líneas asociadas k y l describe el círculo.

Un lugar geométrico también puede definirse mediante dos curvas asociadas dependiendo de un parámetro común . Si el parámetro varía, los puntos de intersección de las curvas asociadas describen el lugar geométrico.

En la figura, los puntos K y L son puntos fijos en una recta m dada . La recta k es una recta variable que pasa por K . La recta l que pasa por L es perpendicular a k . El ángulo entre k y m es el parámetro. k y l son líneas asociadas según el parámetro común. El punto de intersección variable S de k y l describe un círculo. Este círculo es el lugar geométrico del punto de intersección de las dos líneas asociadas. ${\displaystyle \alpha }$

Cuarto ejemplo

Un lugar geométrico de puntos no tiene por qué ser unidimensional (como un círculo, una línea, etc.). Por ejemplo, ^[1] el lugar geométrico de la desigualdad 2 x + 3 y – 6 < 0 es la porción del plano que está debajo de la recta de la ecuación 2 x + 3 y – 6 = 0 .

Ver también

• Variedad algebraica
• Curva
• Línea (geometría)
• Notación de constructor de conjuntos
• Forma (geometría)

Referencias

1. James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Diccionario de matemáticas, Springer, pág. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
2. Whitehead, Alfred North (1911), Introducción a las matemáticas, H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
3. Cooke, Roger L. (2012), "Topología 38.3", La historia de las matemáticas: un curso breve (3.ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, La palabra locus es una que todavía usamos hoy para denotar el camino seguido por un punto que se mueve sujeto a restricciones establecidas, aunque, desde la introducción de la teoría de conjuntos, un locus se piensa más a menudo estáticamente como el conjunto de puntos que satisfacen un determinado recopilación.
4. Bourbaki, N. (2013), Elementos de la historia de las matemáticas, traducido por J. Meldrum, Springer, p. 26, ISBN 9783642616938, los matemáticos clásicos evitaron cuidadosamente introducir en su razonamiento el "infinito real".
5. Borovik, Alexandre (2010), "6.2.4 ¿Se puede vivir sin el infinito real?", Matemáticas bajo el microscopio: notas sobre los aspectos cognitivos de la práctica matemática, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, p. 124, ISBN 9780821847619.
6. Mayberry, John P. (2000), Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos, Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, vol. 82, Cambridge University Press, pág. 7, ISBN 9780521770347, la teoría de conjuntos proporciona las bases de todas las matemáticas.
7. Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatoria y Geometría, Parte 1 , Manual de Matemáticas Aplicables, vol. 5, Wiley, pág. 32, ISBN 9780471900238, Empezamos explicando un término un poco anticuado.
8. George E. Martin, Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano , Springer-Verlag, 1975.
9. Hamilton, Henry Parr (1834), Un sistema analítico de secciones cónicas: diseñado para el uso de estudiantes , Springer.
10. GP West, La nueva geometría: forma 1 .