Superficie de traducción

En matemáticas, una superficie de traslación es una superficie que se obtiene al identificar los lados de un polígono en el plano euclidiano mediante traslaciones. Una definición equivalente es una superficie de Riemann junto con una 1-forma holomorfa .

Estas superficies surgen en sistemas dinámicos donde se pueden utilizar para modelar el billar y en la teoría de Teichmüller . Una subclase particularmente interesante es la de las superficies de Veech (nombradas en honor a William A. Veech ), que son las más simétricas.

Definiciones

Definición geométrica

Una superficie de traslación es el espacio que se obtiene al identificar por pares mediante traslaciones los lados de una colección de polígonos planos.

He aquí una definición más formal. Sea una colección de polígonos (no necesariamente convexos) en el plano euclidiano y supongamos que para cada lado de cualquier hay un lado de algún con y para algún vector distinto de cero (y de modo que . Consideremos el espacio obtenido al identificar todos con sus correspondientes a través del mapa . ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle P_{l}}$ ${\displaystyle j\not =i}$ ${\displaystyle s_{j}=s_{i}+{\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{j}=-{\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle x\mapsto x+{\vec {v}}_{i}}$

La forma canónica de construir una superficie de este tipo es la siguiente: se parte de vectores y una permutación en , y se forman las líneas discontinuas y comenzando en un punto elegido arbitrariamente. En el caso en que estas dos líneas formen un polígono (es decir, no se intersecan fuera de sus puntos finales), existe un emparejamiento natural de los lados. ${\displaystyle {\vec {w}}_{1},\ldots ,{\vec {w}}_{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle L=x,x+{\vec {w}}_{1},\ldots ,x+{\vec {w}}_{1}+\cdots +{\vec {w}}_{n}}$ ${\displaystyle L'=x,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)},\ldots ,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)}+\cdots +{\vec {w}}_{\sigma (n)}}$

El espacio cociente es una superficie cerrada. Tiene una métrica plana fuera de las imágenes fijas de los vértices. En un punto, la suma de los ángulos de los polígonos alrededor de los vértices que se asignan a él es un múltiplo positivo de , y la métrica es singular a menos que el ángulo sea exactamente . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Definición analítica

Sea una superficie de traslación como la definida anteriormente y el conjunto de puntos singulares. Al identificar el plano euclidiano con el plano complejo se obtienen gráficos de coordenadas en con valores en . Además, los cambios de gráficos son mapas holomorfos, más precisamente mapas de la forma para algunos . Esto da la estructura de una superficie de Riemann, que se extiende a toda la superficie por el teorema de Riemann sobre singularidades removibles . Además, la diferencial donde es cualquier gráfico definido anteriormente, no depende del gráfico. Por lo tanto, estos diferenciales definidos en los dominios del gráfico se pegan para dar una 1-forma holomorfa bien definida en . Los vértices del polígono donde los ángulos del cono no son iguales a son ceros de (un ángulo del cono de corresponde a un cero de orden ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S\setminus \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\mapsto z+w}$ ${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S\setminus \Sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle dz}$ ${\displaystyle z:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 2k\pi }$ ${\displaystyle (k-1)}$

En la otra dirección, dado un par donde es una superficie de Riemann compacta y una 1-forma holomórfica, se puede construir un polígono utilizando los números complejos donde son caminos disjuntos entre cuyos ceros forman una base integral para la cohomología relativa. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\textstyle \int _{\gamma _{j}}\omega }$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$ ${\displaystyle \omega }$

Ejemplos

El ejemplo más simple de una superficie de traslación se obtiene pegando los lados opuestos de un paralelogramo. Se trata de un toro plano sin singularidades.

Si es un -gono regular entonces la superficie de traslación obtenida al pegar lados opuestos es de género con un solo punto singular, con ángulo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 4g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (2g-1)2\pi }$

Si se obtiene colocando lado a lado una colección de copias del cuadrado unitario, entonces cualquier superficie de traslación obtenida a partir de se llama superficie de mosaico cuadrado . La función de la superficie al toro plano obtenida al identificar todos los cuadrados es una cubierta ramificada con puntos de ramificación que son las singularidades (el ángulo del cono en una singularidad es proporcional al grado de ramificación). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Riemann-Roch y Gauss-Bonnet

Supongamos que la superficie es una superficie de Riemann cerrada de género y que es una 1-forma holomorfa distinta de cero en , con ceros de orden . Entonces el teorema de Riemann-Roch implica que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{m}}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}d_{j}=2g-2.}$

Si la superficie de traslación está representada por un polígono , entonces triangularlo y sumar los ángulos sobre todos los vértices permite recuperar la fórmula anterior (usando la relación entre los ángulos del cono y el orden de ceros), de la misma manera que en la prueba de la fórmula de Gauss-Bonnet para superficies hiperbólicas o la prueba de la fórmula de Euler a partir del teorema de Girard . ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle P}$

Superficies de traducción como superficies foliadas

Si es una superficie de traslación existe una foliación natural medida en . Si se obtiene a partir de un polígono es simplemente la imagen de líneas verticales, y la medida de un arco es simplemente la longitud euclidiana del segmento horizontal homotópico al arco. La foliación también se obtiene a partir de las líneas de nivel de la parte imaginaria de una primitiva (local) para y la medida se obtiene integrando la parte real. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$

Espacios de módulos

Estratos

Sea el conjunto de superficies de traslación de género (donde dos de ellas se consideran iguales si existe un difeomorfismo holomorfo tal que ). Sea el espacio de módulos de superficies de Riemann de género ; existe una función natural que asigna una superficie de traslación a la superficie de Riemann subyacente. Esto se convierte en un fibrado localmente trivial sobre el espacio de módulos. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (X,\omega ),(X',\omega ')}$ ${\displaystyle \phi :X\to X'}$ ${\displaystyle \phi ^{*}\omega '=\omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}\to {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

A una superficie de traslación compacta se asocian los datos donde son los órdenes de los ceros de . Si es cualquier partición entera de entonces el estrato es el subconjunto de las superficies de traslación que tienen una forma holomorfa cuyos ceros coinciden con la partición. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$ ${\displaystyle k_{1}\leq k_{2}\leq \cdots }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha =(k_{1},\ldots ,k_{m})}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

El estrato es naturalmente un orbifold complejo de dimensión compleja (nótese que es el espacio de módulos de toros, que es bien sabido que es un orbifold; en géneros superiores, el hecho de que no sea una variedad es aún más dramático). Las coordenadas locales se dan por ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ ${\displaystyle 2g+m-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(0)}$

${\displaystyle (X,\omega )\mapsto \left(\int _{\gamma _{1}}\omega ,\ldots ,\int _{\gamma _{n}}\omega \right)}$

donde y es como arriba una base simpléctica de este espacio. ${\displaystyle n=\dim(H_{1}(S,\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}))=2g+m-1}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k}}$

Volúmenes de Masur-Veech

El estrato admite una -acción y por tanto una proyectivización real y compleja . La proyectivización real admite una sección natural si la definimos como el espacio de superficies de traslación de área 1. ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{*}}$ ${\displaystyle {{\mathcal {H}}(\alpha )}\to {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}(\alpha )}$

La existencia de las coordenadas del período anterior permite dotar al estrato de una estructura afín integral y, por lo tanto, de una forma de volumen natural . También obtenemos una forma de volumen en por desintegración de . El volumen de Masur-Veech es el volumen total de para . William A. Veech ^[1] y Howard Masur demostraron que este volumen era finito de forma independiente . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu _{1}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Vol(\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$ ${\displaystyle \nu _{1}(\alpha )}$

En los años 90, Maxim Kontsevich y Anton Zorich evaluaron numéricamente estos volúmenes contando los puntos de la red de . Observaron que debería tener la forma multiplicada por un número racional. A partir de esta observación, esperaban la existencia de una fórmula que expresara los volúmenes en términos de números de intersección en espacios de módulos de curvas. ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ ${\displaystyle Vol(\alpha )}$ ${\displaystyle \pi ^{2g}}$

Alex Eskin y Andrei Okounkov propusieron el primer algoritmo para calcular estos volúmenes. Demostraron que las series generadoras de estos números son q-expansiones de formas cuasimodulares computables. Mediante este algoritmo pudieron confirmar la observación numérica de Kontsevich y Zorich. ^[3]

Más recientemente, Chen, Möller, Sauvaget y Don Zagier demostraron que los volúmenes se pueden calcular como números de intersección en una compactificación algebraica de . Actualmente, el problema sigue abierto para extender esta fórmula a estratos de superficies de semitraslación. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$

El SL2(R)-acción

Si es una superficie de traslación obtenida al identificar las caras de un polígono y entonces la superficie de traslación es la asociada al polígono . Esto define una acción continua de sobre el espacio de módulos que preserva los estratos . Esta acción desciende a una acción sobre que es ergódica con respecto a . ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$ ${\displaystyle g(P)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$ ${\displaystyle \nu _{1}}$

Superficies de media traslación

Definiciones

Una superficie de media traslación se define de manera similar a una superficie de traslación, pero permitiendo que las aplicaciones de pegado tengan una parte lineal no trivial que es una media vuelta. Formalmente, una superficie de traslación se define geométricamente tomando una colección de polígonos en el plano euclidiano e identificando las caras mediante aplicaciones de la forma (una "media traslación"). Nótese que una cara se puede identificar consigo misma. La estructura geométrica obtenida de esta manera es una métrica plana fuera de un número finito de puntos singulares con ángulos de cono múltiplos positivos de . ${\displaystyle z\mapsto \pm z+w}$ ${\displaystyle \pi }$

Como en el caso de las superficies de traslación, existe una interpretación analítica: una superficie de semitraslación puede interpretarse como un par donde es una superficie de Riemann y una diferencial cuadrática en . Para pasar de la imagen geométrica a la imagen analítica, simplemente se toma la diferencial cuadrática definida localmente por (que es invariante bajo semitraslaciones), y para la otra dirección se toma la métrica de Riemann inducida por , que es suave y plana fuera de los ceros de . ${\displaystyle (X,\phi )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (dz)^{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Relación con la geometría de Teichmüller

Si es una superficie de Riemann entonces el espacio vectorial de diferenciales cuadráticas en se identifica naturalmente con el espacio tangente al espacio de Teichmüller en cualquier punto por encima de . Esto se puede demostrar por medios analíticos utilizando la incrustación de Bers . Se pueden utilizar superficies de semitraslación para dar una interpretación más geométrica de esto: si son dos puntos en el espacio de Teichmüller entonces por el teorema de aplicación de Teichmüller existen dos polígonos cuyas caras se pueden identificar por semitraslaciones para dar superficies planas con superficies de Riemann subyacentes isomorfas a respectivamente, y una aplicación afín del plano que envía a que tiene la menor distorsión entre las aplicaciones cuasiconformales en su clase de isotopía, y que es isotópica a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,g),(Y,h)}$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle h\circ g^{-1}}$

Todo está determinado de manera única hasta la escala si pedimos que sea de la forma , donde , para algún ; denotamos por la superficie de Riemann obtenida del polígono . Ahora el camino en el espacio de Teichmüller se une a , y diferenciándolo en da un vector en el espacio tangente; como era arbitrario obtenemos una biyección. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle f_{t}:(x,y)\mapsto (e^{t}x,e^{-t}y)}$ ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle f_{t}(P)}$ ${\displaystyle t\mapsto (X_{t},f_{t}\circ g)}$ ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle (Y,h)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle (Y,g)}$

En realidad, las trayectorias utilizadas en esta construcción son geodésicas de Teichmüller. Un hecho interesante es que, mientras que el rayo geodésico asociado a una superficie plana corresponde a una foliación medida y, por lo tanto, las direcciones en el espacio tangente se identifican con el límite de Thurston , el rayo geodésico de Teichmüller asociado a una superficie plana no siempre converge al punto correspondiente en el límite, ^[5] aunque casi todos estos rayos lo hacen. ^[6]

Superficies Veech

El grupo Veech

Si es una superficie de traslación su grupo de Veech es el grupo Fuchsiano que es la imagen en del subgrupo de transformaciones tal que es isomorfo (como superficie de traslación) a . Equivalentemente, es el grupo de derivados de difeomorfismos afines (donde afín se define localmente fuera de las singularidades, con respecto a la estructura afín inducida por la estructura de traslación). Los grupos de Veech tienen las siguientes propiedades: ^[7] ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )}$ ${\displaystyle (X,\omega )\to (X,\omega )}$

• Son subgrupos discretos en ; ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$
• Nunca son compactos.

Los grupos de Veech pueden generarse de forma finita o no. ^[8]

Superficies Veech

Una superficie de Veech es por definición una superficie de traslación cuyo grupo de Veech es una red en , equivalentemente su acción sobre el plano hiperbólico admite un dominio fundamental de volumen finito. Como no es cocompacto debe entonces contener elementos parabólicos. ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Ejemplos de superficies de Veech son las superficies de teselas cuadradas, cuyos grupos de Veech son conmensurables al grupo modular . ^{[9] [10]} El cuadrado puede ser reemplazado por cualquier paralelogramo (las superficies de traslación obtenidas son exactamente las obtenidas como cubiertas ramificadas de un toro plano). De hecho, el grupo de Veech es aritmético (lo que equivale a ser conmensurable al grupo modular) si y solo si la superficie está teselada por paralelogramos. ^[10] ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Existen superficies de Veech cuyo grupo de Veech no es aritmético, por ejemplo la superficie obtenida a partir de dos pentágonos regulares pegados a lo largo de una arista: en este caso el grupo de Veech es un grupo de triángulos de Hecke no aritmético. ^[9] Por otro lado, todavía existen algunas restricciones aritméticas en el grupo de Veech de una superficie de Veech: por ejemplo, su cuerpo traza es un cuerpo numérico ^[10] que es totalmente real . ^[11]

Flujo geodésico en superficies de traslación

Geodésicas

Una geodésica en una superficie de traslación (o una superficie de semitraslación) es una curva parametrizada que es, fuera de los puntos singulares, localmente la imagen de una línea recta en el espacio euclidiano parametrizada por la longitud de arco. Si una geodésica llega a una singularidad, se requiere que se detenga allí. Por lo tanto, una geodésica máxima es una curva definida en un intervalo cerrado, que es la línea real completa si no se encuentra con ningún punto singular. Una geodésica es cerrada o periódica si su imagen es compacta, en cuyo caso es un círculo si no se encuentra con ninguna singularidad, o un arco entre dos singularidades (posiblemente iguales). En este último caso, la geodésica se llama conexión de silla de montar .

Si (o en el caso de una superficie de semitraslación) entonces las geodésicas con dirección theta están bien definidas en : son aquellas curvas que satisfacen (o en el caso de una superficie de semitraslación ). El flujo geodésico en con dirección es el flujo en donde la geodésica comienza en con dirección si no es singular. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \omega ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \phi ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle (X,\phi )}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$

Propiedades dinámicas

En un toro plano, el flujo geodésico en una dirección dada tiene la propiedad de ser periódico o ergódico . En general, esto no es cierto: puede haber direcciones en las que el flujo sea mínimo (es decir, cada órbita es densa en la superficie) pero no ergódico. ^[12] Por otro lado, en una superficie de traslación compacta, el flujo conserva del caso más simple del toro plano la propiedad de que es ergódico en casi todas las direcciones. ^[13]

Otra cuestión natural es establecer estimaciones asintóticas para el número de geodésicas cerradas o conexiones de silla de una longitud dada. En un toro plano no hay conexiones de silla y el número de geodésicas cerradas de longitud es equivalente a . En general, solo se pueden obtener límites: si es una superficie de traslación compacta de género , entonces existen constantes (que dependen solo del género) tales que tanto las geodésicas cerradas como las conexiones de silla de longitud satisfacen ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \leq L}$ ${\displaystyle L^{2}/\operatorname {volume} (T)}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle N_{cg}(L)}$ ${\displaystyle N_{sc}(L)}$ ${\displaystyle \leq L}$

${\displaystyle {\frac {c_{1}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}\leq N_{\mathrm {cg} }(L),N_{\mathrm {sc} }(L)\leq {\frac {c_{2}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.}$

Limitándonos a resultados probabilísticos es posible obtener mejores estimaciones: dado un género , una partición de y un componente conexo del estrato existen constantes tales que para casi todos se cumple el equivalente asintótico: ^[13] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$ ${\displaystyle c_{\mathrm {cg} }c_{\mathrm {sc} }}$ ${\displaystyle (X,\omega )\in {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle N_{\mathrm {cg} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {cg} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}}$, ${\displaystyle N_{\mathrm {sc} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {sc} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.}$

Las constantes se denominan constantes de Siegel-Veech . Utilizando la ergodicidad de la acción sobre , se demostró que estas constantes se pueden calcular explícitamente como proporciones de ciertos volúmenes de Masur-Veech. ^[14] ${\displaystyle c_{\mathrm {cg} },c_{\mathrm {sc} }}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$

Dicotomía de Veech

El flujo geodésico en una superficie de Veech se comporta mucho mejor que en general. Esto se expresa mediante el siguiente resultado, llamado dicotomía de Veech : ^[15]

Sea una superficie de Veech y una dirección. Entonces, o bien todas las trayectorias recorridas son periódicas o el flujo en la dirección es ergódico. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta }$

Relación con el billar

Si es un polígono en el plano euclidiano y una dirección existe un sistema dinámico continuo llamado billar . La trayectoria de un punto en el interior del polígono se define de la siguiente manera: mientras no toca el límite avanza en línea recta a velocidad unitaria; cuando toca el interior de una arista rebota (es decir, su dirección cambia con una reflexión ortogonal en la perpendicular de la arista), y cuando toca un vértice se detiene. ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

Este sistema dinámico es equivalente al flujo geodésico sobre una superficie plana: basta con duplicar el polígono a lo largo de los bordes y poner una métrica plana en todas partes excepto en los vértices, que se convierten en puntos singulares con un ángulo de cono dos veces el ángulo del polígono en el vértice correspondiente. Esta superficie no es una superficie de traslación ni una superficie de semitraslación, pero en algunos casos está relacionada con una. Es decir, si todos los ángulos del polígono son múltiplos racionales de hay una cubierta ramificada de esta superficie que es una superficie de traslación, que se puede construir a partir de una unión de copias de . La dinámica del flujo de billar se puede estudiar entonces a través del flujo geodésico sobre la superficie de traslación. ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle P_{0}}$

Por ejemplo, el billar en un cuadrado se relaciona de esta manera con el billar en el toro plano construido a partir de cuatro copias del cuadrado; el billar en un triángulo equilátero da lugar al toro plano construido a partir de un hexágono. El billar en forma de "L" construido a partir de cuadrados se relaciona con el flujo geodésico en una superficie de baldosas cuadradas; el billar en el triángulo con ángulos se relaciona con la superficie de Veech construida a partir de dos pentágonos regulares construidos arriba. ${\displaystyle \pi /5,\pi /5,3\pi /5}$

Relación con las transformaciones de intercambio de intervalos

Sea una superficie de traslación y una dirección, y sea el flujo geodésico en con dirección . Sea un segmento geodésico en la dirección ortogonal a , y se define la primera recurrencia, o mapa de Poincaré , de la siguiente manera: es igual a donde para . Entonces este mapa es una transformación de intercambio de intervalos y se puede utilizar para estudiar la dinámica del flujo geodésico. ^[16] ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma :I\to I}$ ${\displaystyle \sigma (p)}$ ${\displaystyle \phi _{t}(p)}$ ${\displaystyle \phi _{s}(p)\not \in I}$ ${\displaystyle 0<s<t}$

Notas

1. Veech, William A. (1982). "Medidas de Gauss para transformaciones en el espacio de mapas de intercambio de intervalos". Anales de Matemáticas . 115 (2): 201–242. doi :10.2307/1971391. JSTOR  1971391.
2. Masur, Howard (1982). "Transformaciones de intercambio de intervalos y foliaciones medidas". Anales de Matemáticas . 115 (1): 169–200. doi :10.2307/1971341. JSTOR  1971341.
3. Eskin, Alex; Okounkov, Andrei (2001). "Asintótica de números de recubrimientos ramificados de un toro y volúmenes de espacios de módulos de diferenciales holomorfas". Inventiones Mathematicae . 145 (1): 59–103. arXiv : math/0006171 . Bibcode :2001InMat.145...59E. doi :10.1007/s002220100142. S2CID  14125769.
4. Chen, Dawei; Möller, Martín; Sauvaget, Adrián; Zagier, Don Bernhard (2019). "Volumenes de Masur-Veech y teoría de la intersección en espacios de módulos de diferenciales abelianos". Invenciones Mathematicae . 222 (1): 283. arXiv : 1901.01785 . Código Bib : 2020InMat.222..283C. doi :10.1007/s00222-020-00969-4. S2CID  119655348.
5. Lenzhen, Anna (2008). "Geodésicas de Teichmüller que no tienen un límite en PMF". Geometría y topología . 12 : 177–197. arXiv : math/0511001 . doi :10.2140/gt.2008.12.177. S2CID  16047629.
6. Masur, Howard (1982). "Dos límites del espacio de TeichmÛller". Duke Math. J. 49 : 183–190. doi :10.1215/s0012-7094-82-04912-2. MR  0650376.
7. Hubert y Schmidt 2006, Sección 1.3, Estructura de los grupos Veech, págs. 12-15.
8. McMullen, Curtis T. (2003). "Geodésicas de Teichmüller de complejidad infinita". Acta Math . 191 (2): 191–223. doi : 10.1007/bf02392964 .
9. Veech 1989.
10. Gutkin y Judge 2000.
11. Hubert, Pascal; Lanneau, Erwan (2006). "Grupos de Veech sin elementos parabólicos". Duke Mathematical Journal . 133 (2): 335–346. arXiv : math/0503047 . doi :10.1215/s0012-7094-06-13326-4. S2CID  14274833.
12. Masur 2006, Teorema 2.
13. Zorich 2006, 6.1.
14. Eskin, Alex; Masur, Howard; Zorich, Antón (2003). "Espacios de módulos de diferenciales abelianos: el límite principal, problemas de conteo y las constantes de Siegel-Veech". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 97 : 61-179. arXiv : matemáticas/0202134 . doi :10.1007/s10240-003-0015-1. S2CID  119713402.
15. Veech 1989, Teorema 1.
16. Zorich 2006, Capítulo 5.

Referencias

• Hubert, Pascal; Schmidt, Thomas A. (2006), "Introducción a las superficies de Veech" (PDF) , Manual de sistemas dinámicos. Vol. 1B , Manual de sistemas dinámicos, vol. 1, Elsevier BV, Ámsterdam, págs. 501–526, doi :10.1016/S1874-575X(06)80031-7, ISBN 9780444520555, MR  2186246, archivado desde el original (PDF) el 14 de noviembre de 2012
• Gutkin, Eugene; Judge, Chris. (2000), "Mapeos afines de superficies de traslación: geometría y aritmética", Duke Math. J. , 103 (3): 191–213, doi :10.1215/S0012-7094-00-10321-3
• Masur, Howard (2006), "Teoría ergódica de superficies de traslación", Handbook of dynamical systems, vol. 1B , Handbook of Dynamical Systems, vol. 1, Elsevier BV, Ámsterdam, págs. 527–547, doi :10.1016/S1874-575X(06)80032-9, ISBN 9780444520555, Sr.  2186247
• Veech, WA (1989), "Curvas de Teichmüller en el espacio de módulos, series de Eisenstein y una aplicación al billar triangular", Inventiones Mathematicae , 97 (3): 553–583, Bibcode :1989InMat..97..553V, doi :10.1007/BF01388890, ISSN  0020-9910, MR  1005006, S2CID  189831945
• Zorich, Anton (2006). "Superficies planas". En Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P. (eds.). Fronteras en teoría de números, física y geometría. Volumen 1: Sobre matrices aleatorias, funciones zeta y sistemas dinámicos . Springer-Verlag. arXiv : math/0609392 . Bibcode :2006math......9392Z.