Campo de traza de una representación

En matemáticas, el campo de trazas de un grupo lineal es el campo generado por las trazas de sus elementos. Se estudia principalmente para los grupos kleinianos y fuchsianos , aunque se utilizan objetos relacionados en la teoría de redes en los grupos de Lie, a menudo bajo el nombre de campo de definición .

Grupos fucsianos y kleinianos

Campo de traza y campos de traza invariantes para grupos fucsianos

Los grupos fucsianos son subgrupos discretos de . La traza de un elemento en está bien definida hasta el signo (tomando la traza de una preimagen arbitraria en ) y el campo de trazas de es el campo generado por las trazas de todos los elementos de (véase, por ejemplo, en Maclachlan & Reid (2003)). ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

El campo traza invariante es igual al campo traza del subgrupo generado por todos los cuadrados de los elementos de (un subgrupo de índice finito de ). ^[1] ${\displaystyle \Gamma ^{(2)}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

El campo de trazas invariante de los grupos fuchsianos es estable en relación con los grupos conmensurables . No es el caso del campo de trazas; ^[2] en particular, el campo de trazas es en general diferente del campo de trazas invariante.

Álgebras de cuaterniones para grupos fuchsianos

Sea un grupo fuchsiano y su cuerpo de trazas. Sea la subálgebra del álgebra matricial generada por las preimágenes de elementos de . El álgebra es entonces lo más simple posible, más precisamente: ^[3] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Si es del primer o segundo tipo entonces es un álgebra de cuaterniones sobre . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

El álgebra se denomina álgebra de cuaterniones de . El álgebra de cuaterniones de se denomina álgebra de cuaterniones invariante de , denotada por . En cuanto a los campos de trazas, el primero no es el mismo para todos los grupos en la misma clase de conmensurabilidad, pero el segundo sí lo es. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{(2)}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A\Gamma }$

Si es un grupo fuchsiano aritmético, entonces y juntos son un cuerpo de números y un álgebra de cuaterniones de los cuales se puede derivar un grupo conmensurable a . ^[4] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k\Gamma }$ ${\displaystyle A\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Grupos kleinianos

La teoría para los grupos kleinianos (subgrupos discretos de ) es en su mayor parte similar a la de los grupos fuchsianos. ^[5] Una gran diferencia es que el campo de trazas de un grupo de covolumen finito es siempre un campo numérico. ^[6] ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Campos de traza y campos de definición para subgrupos de grupos de Lie

Definición

Al considerar subgrupos de grupos de Lie generales (que no necesariamente se definen como grupos matriciales ) se debe utilizar una representación lineal del grupo para tomar trazas de elementos. La más natural es la representación adjunta . Resulta que para las aplicaciones es mejor, incluso para grupos que tienen una representación lineal natural de menor dimensión (como los grupos lineales especiales ), definir siempre el cuerpo de trazas utilizando la representación adjunta. Así tenemos la siguiente definición, originalmente debida a Ernest Vinberg ^[7] , quien utilizó la terminología "cuerpo de definición". ^[8] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Sea un grupo de Lie y un subgrupo. Sea la representación adjunta de . El cuerpo traza de es el cuerpo: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle k\Gamma =\mathbb {Q} (\{\operatorname {trace} (\rho (\gamma )):\gamma \in \Gamma \}).}$

Si dos subgrupos densos de Zariski son conmensurables, entonces tienen el mismo campo de trazas en este sentido. ${\displaystyle G}$

El campo de trazas para redes

Sea un grupo de Lie semisimple y una red . Supóngase además que cualquiera de ellos es irreducible y no es localmente isomorfo a , o que no tiene ningún factor localmente isomorfo a . Entonces la rigidez local implica el siguiente resultado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

El campo es un campo numérico . ${\displaystyle k\Gamma }$

Además, existe un grupo algebraico sobre tal que el grupo de puntos reales es isomorfo a y está contenido en un conjugado de . ^{[7] [9]} Por lo tanto, es un "campo de definición" para en el sentido de que es un campo de definición de su clausura de Zariski en la representación adjunta. ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle k\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle \rho (\Gamma )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} (k\Gamma )}$ ${\displaystyle k\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

En el caso donde es aritmético entonces es conmensurable al grupo aritmético definido por . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Para los grupos fuchsianos el cuerpo definido anteriormente es igual a su cuerpo traza invariante. Para los grupos kleinianos son iguales si utilizamos la representación adjunta sobre los números complejos. ^[10] ${\displaystyle k\Gamma }$

Notas

1. Maclachlan y Reid 2003, Capítulo 3.3.
2. Maclachlan y Reid 2003, Ejemplo 3.3.1.
3. Maclachlan y Reid 2003, Teorema 3.2.1.
4. Maclachlan y Reid 2003, Capítulo 8.4.
5. Maclachlan y Reid 2003, Capítulo 3.
6. Maclachlan y Reid 2003, Teorema 3.1.2.
7. Vinberg 1971.
8. Margulis 1991, Capítulo VIII.
9. Margulis 1991, Capítulo VIII, proposición 3.22.
10. Maclachlan y Reid 2003, pág. 321.

Referencias

• Vinberg, Ernest (1971). "Anillos de definición de subgrupos densos de grupos lineales semisimples". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (en ruso). Vol. 35. págs. 45–55. MR  0279206.
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan (2003). La aritmética de las 3-variedades hiperbólicas . Springer.
• Margulis, Grigory (1991). Subgrupos discretos de grupos de Lie semisimples . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . ISBN 3-540-12179-X.Sr. 1090825  .