Rigidez local

Clase de teoremas algebraicos

Los teoremas de rigidez local en la teoría de subgrupos discretos de grupos de Lie son resultados que muestran que pequeñas deformaciones de ciertos subgrupos de este tipo son siempre triviales. Es diferente de la rigidez de Mostow y más débil (pero se cumple con más frecuencia) que la superrigidez .

Historia

El primer teorema de este tipo fue demostrado por Atle Selberg para subgrupos discretos co-compactos de los grupos unimodulares . ^{[1] Poco después,} Eugenio Calabi demostró una afirmación similar en el contexto de los grupos fundamentales de variedades hiperbólicas compactas. Finalmente, André Weil extendió el teorema a todos los subgrupos co-compactos de los grupos de Lie semisimples . ^{[2] [3]} La extensión a redes no co-compactas fue realizada posteriormente por Howard Garland y Madabusi Santanam Raghunathan . ^[4] El resultado se conoce ahora a veces como rigidez de Calabi-Weil (o simplemente Weil). ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Declaración

Deformaciones de subgrupos

Sea un grupo generado por un número finito de elementos y un grupo de Lie. Entonces la función definida por es inyectiva y esto le confiere una topología inducida por la de . Si es un subgrupo de entonces una deformación de es cualquier elemento en . Se dice que dos representaciones son conjugadas si existe un tal que para todo . Véase también variedad de caracteres . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)\to G^{n}}$ ${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n}))}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$ ${\displaystyle \phi ,\psi }$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \phi (\gamma )=g\psi (\gamma )g^{-1}}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

Retículos en grupos simples no del tipo A1 o A1 × A1

La afirmación más simple es cuando es una red en un grupo de Lie simple y este último no es localmente isomorfo a o y (esto significa que su álgebra de Lie no es la de uno de estos dos grupos). ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Existe un vecindario en de la inclusión tal que cualquier está conjugado a . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$ ${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$ ${\displaystyle \phi \in U}$ ${\displaystyle i}$

Siempre que tal afirmación sea válida para un par, diremos que se cumple la rigidez local. ${\displaystyle G\supset \Gamma }$

Retículas en SL(2,C)

La rigidez local se cumple para redes co-compactas en . Una red en la que no es co-compacta tiene deformaciones no triviales que provienen de la teoría de la cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston . Sin embargo, si se agrega la restricción de que una representación debe enviar elementos parabólicos a elementos parabólicos, entonces se cumple la rigidez local. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Retículas en SL(2,R)

En este caso, la rigidez local nunca se cumple. En el caso de redes co-compactas, una pequeña deformación sigue siendo una red co-compacta, pero puede no estar conjugada con la original (véase el espacio de Teichmüller para más detalles). Las redes no co-compactas son prácticamente libres y, por lo tanto, tienen deformaciones no reticulares.

Grupos de Lie semisimples

La rigidez local se cumple para las redes en grupos de Lie semisimples siempre que estos últimos no tengan ningún factor de tipo A1 (es decir, sean localmente isomorfos a o ) o que los primeros sean irreducibles. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Otros resultados

También existen resultados de rigidez local en los que se modifica el grupo ambiental, incluso en el caso de que falle la superrigidez. Por ejemplo, si es una red en el grupo unitario y entonces la inclusión es localmente rígida. ^[5] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {SU} (n,1)\subset \mathrm {SU} (n+1,1)}$

Una red uniforme en cualquier grupo topológico generado de forma compacta es topológicamente rígida localmente , en el sentido de que cualquier deformación suficientemente pequeña de la inclusión es inyectiva y es una red uniforme en . Una red uniforme irreducible en el grupo de isometría de cualquier espacio geodésicamente completo propio no isométrico al plano hiperbólico y sin factores euclidianos es rígida localmente. ^[6] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$ ${\displaystyle \varphi (\Gamma )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {CAT} (0)}$

Pruebas del teorema

La prueba original de Weil consiste en relacionar las deformaciones de un subgrupo en con el primer grupo de cohomología de con coeficientes en el álgebra de Lie de , y luego demostrar que esta cohomología se anula para redes cocompactas cuando no tiene un factor simple de tipo absoluto A1. Una prueba más geométrica que también funciona en los casos no compactos utiliza la teoría de estructuras de Charles Ehresmann (y William Thurston ) . ^[7] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (G,X)}$

Referencias

1. Selberg, Atle (1960). "Sobre grupos discontinuos en espacios simétricos de dimensiones superiores". Contribuciones a la teoría funcional . Tata Institut, Bombay. pp. 100–110.
2. Weil, André (1960), "Sobre subgrupos discretos de grupos de Lie", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 72 (2): 369–384, doi :10.2307/1970140, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970140, MR  0137792
3. Weil, André (1962), "Sobre subgrupos discretos de grupos de Lie. II", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 75 (3): 578–602, doi :10.2307/1970212, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970212, MR  0137793
4. Garland, Howard ; Raghunathan, M.~S. (1970). "Dominios fundamentales para redes en grupos de Lie de rango R 1". Anales de Matemáticas . 92 : 279–326. doi :10.2307/1970838. JSTOR  1970838.
5. Goldman, William ; Millson, John (1987), "Rigidez local de grupos discretos que actúan en el espacio hiperbólico complejo", Inventiones Mathematicae , 88 (3): 495–520, Bibcode :1987InMat..88..495G, doi :10.1007/bf01391829, S2CID  15347622
6. Gelandro, Tsachik ; Levit, Arie (2017), "Rigidez local de celosías uniformes", Commentarii Mathematici Helvetici , arXiv : 1605.01693
7. Bergeron, Nicolás ; Gelander, Tsachik (2004). "Una nota sobre la rigidez local". Geometriae Dedicata . 107 . Kluwer: 111-131. arXiv : 1702.00342 . doi :10.1023/b:geom.0000049122.75284.06. S2CID  54064202.