conjugado armónico

Concepto en matemáticas

En matemáticas , se dice que una función con valor real definida en un conjunto abierto conexo tiene una (función) conjugada si y sólo si son, respectivamente, las partes real e imaginaria de una función holomorfa de la variable compleja . Es decir, es conjugada con si es holomorfa en Como primera consecuencia de la definición, ambas son funciones armónicas de valor real en . Además, el conjugado de si existe, es único hasta una constante aditiva. Además, es conjugado con si y solo si es conjugado con . ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega .}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle -u}$

Descripción

De manera equivalente, se conjuga con en si y solo si y satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en Como consecuencia inmediata de la última definición equivalente, si hay alguna función armónica en la función se conjuga con para entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann son justas y las simetría de las derivadas mixtas de segundo orden . Por lo tanto, una función armónica admite una función armónica conjugada si y solo si la función holomorfa tiene una primitiva , en cuyo caso un conjugado de es, por supuesto, Entonces cualquier función armónica siempre admite una función conjugada siempre que su dominio es simplemente conexo , y en cualquier caso admite un conjugado localmente en cualquier punto de su dominio. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Omega .}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle -u_{y}}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}.}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f(x+iy).}$

Hay un operador que toma una función armónica u en una región simplemente conectada a su conjugado armónico v (poniendo, por ejemplo, v ( x _{0 ) = 0 en un} x ₀ dado para fijar la indeterminación del conjugado hasta constantes). Esto es bien conocido en aplicaciones como (esencialmente) la transformada de Hilbert ; también es un ejemplo básico en análisis matemático , en relación con operadores integrales singulares . Las funciones armónicas conjugadas (y la transformada entre ellas) son también uno de los ejemplos más simples de transformada de Bäcklund (dos PDE y una transformada que relaciona sus soluciones), en este caso lineal; transformaciones más complejas son de interés en solitones y sistemas integrables . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Geométricamente , u y v están relacionados por tener trayectorias ortogonales , alejadas de los ceros de la función holomorfa subyacente; los contornos en los que u y v son constantes se cruzan en ángulo recto . En este sentido, u + iv sería el potencial complejo , donde u es la función potencial y v es la función corriente .

Ejemplos

Por ejemplo, considere la función $${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$$

Dado que y satisface ( es el operador de Laplace ) y, por tanto, es armónico. Ahora supongamos que tenemos tal que se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: $${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$$ $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$$ $${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v(x,y)}$

$${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$y $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$$

Simplificando, y que al resolverse da $${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ $${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$$ $${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$$

Observe que si las funciones relacionadas con u y v se intercambiaran, las funciones no serían conjugadas armónicas, ya que el signo menos en las ecuaciones de Cauchy-Riemann hace que la relación sea asimétrica.

La propiedad de mapeo conforme de funciones analíticas (en puntos donde la derivada no es cero) da lugar a una propiedad geométrica de los conjugados armónicos. Claramente, el conjugado armónico de x es y , y las rectas de x constante y de y constante son ortogonales. La conformidad dice que los contornos de las constantes u ( x , y ) y v ( x , y ) también serán ortogonales donde se cruzan (lejos de los ceros de f  ′( z ) ). Eso significa que v es una solución específica del problema de la trayectoria ortogonal para la familia de contornos dada por u (no es la única solución, naturalmente, ya que también podemos tomar funciones de v ): la cuestión, volviendo a las matemáticas del siglo XVII siglo, de encontrar las curvas que cruzan una familia dada de curvas que no se cruzan en ángulos rectos.

Conjugado armónico en geometría.

Existe una aparición adicional del término conjugado armónico en matemáticas, y más específicamente en geometría proyectiva . Se dice que dos puntos A y B son conjugados armónicos entre sí con respecto a otro par de puntos C, D si la relación cruzada ( ABCD ) es igual a −1.

Referencias

• Marrón, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Variables y aplicaciones complejas (6ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 61.ISBN​ 0-07-912147-0. Si dos funciones dadas u y v son armónicas en un dominio D y sus derivadas parciales de primer orden satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2) en todo D , se dice que v es un conjugado armónico de u .

enlaces externos

• Relación armónica
• "Funciones armónicas conjugadas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]