La función de dispersión de puntos ( PSF ) describe la respuesta de un sistema de imágenes ópticas enfocadas a una fuente puntual o un objeto puntual. Un término más general para la PSF es la respuesta al impulso del sistema ; la PSF es la respuesta al impulso o función de respuesta al impulso (IRF) de un sistema de imágenes ópticas enfocadas. La PSF en muchos contextos puede considerarse como la mancha extendida en una imagen que representa un solo objeto puntual, que se considera como un impulso espacial. En términos funcionales, es la versión del dominio espacial (es decir, la transformada de Fourier inversa) de la función de transferencia óptica (OTF) de un sistema de imágenes . Es un concepto útil en óptica de Fourier , imágenes astronómicas , imágenes médicas , microscopía electrónica y otras técnicas de imágenes como la microscopía 3D (como en la microscopía confocal de barrido láser ) y la microscopía de fluorescencia .
El grado de dispersión (borrosidad) en la imagen de un objeto puntual para un sistema de formación de imágenes es una medida de la calidad del sistema de formación de imágenes. En sistemas de formación de imágenes no coherentes , como microscopios fluorescentes , telescopios o microscopios ópticos, el proceso de formación de imágenes es lineal en la intensidad de la imagen y se describe mediante una teoría de sistemas lineales . Esto significa que cuando dos objetos A y B son fotografiados simultáneamente por un sistema de formación de imágenes no coherente, la imagen resultante es igual a la suma de los objetos fotografiados independientemente. En otras palabras: la formación de imágenes de A no se ve afectada por la formación de imágenes de B y viceversa , debido a la propiedad de no interacción de los fotones. En sistemas invariantes en el espacio, es decir, aquellos en los que la PSF es la misma en todas partes en el espacio de formación de imágenes, la imagen de un objeto complejo es entonces la convolución de ese objeto y la PSF. La PSF se puede derivar de integrales de difracción. [1]
En virtud de la propiedad de linealidad de los sistemas de imágenes ópticas no coherentes , es decir,
La imagen de un objeto en un microscopio o telescopio como un sistema de imágenes no coherente se puede calcular expresando el campo del plano del objeto como una suma ponderada de funciones de impulso 2D y luego expresando el campo del plano de la imagen como una suma ponderada de las imágenes de estas funciones de impulso. Esto se conoce como el principio de superposición , válido para sistemas lineales . Las imágenes de las funciones de impulso del plano del objeto individuales se denominan funciones de dispersión de puntos (PSF), lo que refleja el hecho de que un punto matemático de luz en el plano del objeto se extiende para formar un área finita en el plano de la imagen. (En algunas ramas de las matemáticas y la física, estas pueden denominarse funciones de Green o funciones de respuesta al impulso . Las PSF se consideran funciones de respuesta al impulso para sistemas de imágenes.
Cuando el objeto se divide en objetos puntuales discretos de intensidad variable, la imagen se calcula como una suma de la PSF de cada punto. Como la PSF suele estar determinada en su totalidad por el sistema de obtención de imágenes (es decir, microscopio o telescopio), la imagen completa se puede describir conociendo las propiedades ópticas del sistema. Este proceso de obtención de imágenes suele formularse mediante una ecuación de convolución . En el procesamiento de imágenes de microscopio y en astronomía , conocer la PSF del dispositivo de medición es muy importante para restaurar el objeto (original) con deconvolución . En el caso de los rayos láser, la PSF se puede modelar matemáticamente utilizando los conceptos de rayos gaussianos . [3] Por ejemplo, la deconvolución de la PSF modelada matemáticamente y la imagen mejora la visibilidad de las características y elimina el ruido de la imagen. [2]
La función de dispersión de puntos puede ser independiente de la posición en el plano del objeto, en cuyo caso se denomina invariante de desplazamiento . Además, si no hay distorsión en el sistema, las coordenadas del plano de la imagen están relacionadas linealmente con las coordenadas del plano del objeto a través del aumento M como:
Si el sistema de imágenes produce una imagen invertida, podemos simplemente considerar que los ejes de coordenadas del plano de la imagen están invertidos con respecto a los ejes del plano del objeto. Con estas dos suposiciones, es decir, que la PSF es invariante al desplazamiento y que no hay distorsión, calcular la integral de convolución del plano de la imagen es un proceso sencillo.
Matemáticamente, podemos representar el campo del plano objeto como:
es decir, como una suma sobre funciones de impulso ponderadas, aunque esto también es realmente solo una declaración de la propiedad de desplazamiento de las funciones delta 2D (que se analiza más adelante). Reescribir la función de transmitancia del objeto en la forma anterior nos permite calcular el campo del plano de la imagen como la superposición de las imágenes de cada una de las funciones de impulso individuales, es decir, como una superposición sobre funciones de dispersión de puntos ponderadas en el plano de la imagen utilizando la misma función de ponderación que en el plano del objeto, es decir, . Matemáticamente, la imagen se expresa como:
en la que se encuentra la imagen de la función impulso .
La función de impulso 2D puede considerarse como el límite (cuando la dimensión lateral w tiende a cero) de la función del "poste cuadrado", que se muestra en la figura siguiente.
Imaginamos que el plano del objeto se descompone en áreas cuadradas como esta, cada una con su propia función de poste cuadrada asociada. Si la altura, h , del poste se mantiene en 1/w 2 , entonces, a medida que la dimensión lateral w tiende a cero, la altura, h , tiende a infinito de tal manera que el volumen (integral) permanece constante en 1. Esto le da al impulso 2D la propiedad de desplazamiento (que está implícita en la ecuación anterior), que dice que cuando la función de impulso 2D, δ( x − u , y − v ), se integra contra cualquier otra función continua, f ( u , v ) , "separa" el valor de f en la ubicación del impulso, es decir, en el punto ( x , y ) .
El concepto de un objeto de fuente puntual perfecto es central para la idea de PSF. Sin embargo, no existe en la naturaleza algo así como un radiador de fuente puntual matemático perfecto; el concepto es completamente no físico y es más bien una construcción matemática utilizada para modelar y comprender los sistemas de imágenes ópticas. La utilidad del concepto de fuente puntual proviene del hecho de que una fuente puntual en el plano del objeto 2D solo puede radiar una onda esférica de amplitud uniforme perfecta: una onda que tiene frentes de fase que se propagan hacia afuera perfectamente esféricos con intensidad uniforme en todas partes de las esferas (ver principio de Huygens-Fresnel ). Una fuente de ondas esféricas uniformes de este tipo se muestra en la figura siguiente. También observamos que un radiador de fuente puntual perfecto no solo radiará un espectro uniforme de ondas planas que se propagan, sino también un espectro uniforme de ondas que decaen exponencialmente ( evanescentes ), y son estas las responsables de la resolución más fina que una longitud de onda (ver óptica de Fourier ). Esto se desprende de la siguiente expresión de transformada de Fourier para una función de impulso 2D,
La lente cuadrática intercepta una porción de esta onda esférica y la reenfoca sobre un punto borroso en el plano de la imagen. Para una sola lente , una fuente puntual en el eje en el plano del objeto produce una PSF de disco de Airy en el plano de la imagen. Se puede demostrar (ver óptica de Fourier , principio de Huygens-Fresnel , difracción de Fraunhofer ) que el campo irradiado por un objeto plano (o, por reciprocidad, el campo que converge sobre una imagen plana) está relacionado con su distribución del plano de fuente (o imagen) correspondiente a través de una relación de transformada de Fourier (FT). Además, una función uniforme sobre un área circular (en un dominio de FT) corresponde a J 1 ( x )/ x en el otro dominio de FT, donde J 1 ( x ) es la función de Bessel de primer orden del primer tipo. Es decir, una apertura circular uniformemente iluminada que pasa por una onda esférica uniforme convergente produce una imagen de disco de Airy en el plano focal. En la figura adjunta se muestra un gráfico de un ejemplo de disco de Airy .
Por lo tanto, la onda esférica convergente ( parcial ) que se muestra en la figura anterior produce un disco de Airy en el plano de la imagen. El argumento de la función J 1 ( x )/ x es importante, porque determina la escala del disco de Airy (en otras palabras, qué tan grande es el disco en el plano de la imagen). Si Θ max es el ángulo máximo que forman las ondas convergentes con el eje de la lente, r es la distancia radial en el plano de la imagen y el número de onda k = 2π/λ donde λ = longitud de onda, entonces el argumento de la función es: kr tan(Θ max ) . Si Θ max es pequeño (solo una pequeña porción de la onda esférica convergente está disponible para formar la imagen), entonces la distancia radial, r, tiene que ser muy grande antes de que el argumento total de la función se aleje del punto central. En otras palabras, si Θ max es pequeño, el disco de Airy es grande (lo cual es simplemente otra declaración del principio de incertidumbre de Heisenberg para pares de transformadas de Fourier, es decir, que una extensión pequeña en un dominio corresponde a una extensión amplia en el otro dominio, y los dos están relacionados a través del producto espacio-ancho de banda ). En virtud de esto, los sistemas de alto aumento , que típicamente tienen valores pequeños de Θ max (por la condición del seno de Abbe ), pueden tener más borrosidad en la imagen, debido a la PSF más amplia. El tamaño de la PSF es proporcional al aumento , de modo que la borrosidad no es peor en un sentido relativo, pero definitivamente es peor en un sentido absoluto.
La figura anterior ilustra el truncamiento de la onda esférica incidente por la lente. Para medir la función de dispersión puntual (o función de respuesta al impulso) de la lente, no se necesita una fuente puntual perfecta que irradie una onda esférica perfecta en todas las direcciones del espacio. Esto se debe a que la lente solo tiene un ancho de banda (angular) finito, o un ángulo de intersección finito. Por lo tanto, cualquier ancho de banda angular contenido en la fuente, que se extienda más allá del ángulo del borde de la lente (es decir, que se encuentre fuera del ancho de banda del sistema), es esencialmente ancho de banda de fuente desperdiciado porque la lente no puede interceptarlo para procesarlo. Como resultado, no se requiere una fuente puntual perfecta para medir una función de dispersión puntual perfecta. Todo lo que necesitamos es una fuente de luz que tenga al menos tanto ancho de banda angular como la lente que se está probando (y, por supuesto, que sea uniforme en ese sector angular). En otras palabras, solo necesitamos una fuente puntual que sea producida por una onda esférica convergente (uniforme) cuyo semiángulo sea mayor que el ángulo del borde de la lente.
Debido a la resolución limitada intrínseca de los sistemas de imágenes, las PSF medidas no están libres de incertidumbre. [4] En la formación de imágenes, se desea suprimir los lóbulos laterales del haz de imágenes mediante técnicas de apodización . En el caso de los sistemas de imágenes de transmisión con distribución de haz gaussiano, la PSF se modela mediante la siguiente ecuación: [5]
donde el factor k depende de la relación de truncamiento y del nivel de irradiancia, NA es la apertura numérica, c es la velocidad de la luz, f es la frecuencia del fotón del haz de imágenes, Ir es la intensidad del haz de referencia, a es un factor de ajuste y es la posición radial desde el centro del haz en el plano z correspondiente .
La teoría de difracción de funciones de dispersión de puntos fue estudiada por primera vez por Airy en el siglo XIX. Desarrolló una expresión para la amplitud e intensidad de la función de dispersión de puntos de un instrumento perfecto, libre de aberraciones (el llamado disco de Airy ). La teoría de funciones de dispersión de puntos aberradas cerca del plano focal óptimo fue estudiada por Zernike y Nijboer en los años 1930-40. Un papel central en su análisis lo desempeñan los polinomios circulares de Zernike que permiten una representación eficiente de las aberraciones de cualquier sistema óptico con simetría rotacional. Resultados analíticos recientes han hecho posible extender el enfoque de Nijboer y Zernike para la evaluación de la función de dispersión de puntos a un gran volumen alrededor del punto focal óptimo. Esta teoría extendida de Nijboer-Zernike (ENZ) permite estudiar la formación de imágenes imperfectas de objetos tridimensionales en microscopía confocal o astronomía en condiciones de formación de imágenes no ideales. La teoría ENZ también se ha aplicado a la caracterización de instrumentos ópticos con respecto a su aberración midiendo la distribución de intensidad a través del foco y resolviendo un problema inverso apropiado .
En microscopía, la determinación experimental de la PSF requiere fuentes radiantes de subresolución (como puntos). Los puntos cuánticos y las perlas fluorescentes se consideran generalmente para este propósito. [6] [7] Por otro lado, los modelos teóricos como los descritos anteriormente permiten el cálculo detallado de la PSF para varias condiciones de imagen. La forma limitada por difracción más compacta de la PSF suele ser la preferida. Sin embargo, al utilizar elementos ópticos apropiados (por ejemplo, un modulador de luz espacial ), la forma de la PSF se puede diseñar para diferentes aplicaciones.
En astronomía observacional , la determinación experimental de una PSF suele ser muy sencilla debido a la amplia oferta de fuentes puntuales ( estrellas o cuásares ). La forma y la fuente de la PSF pueden variar ampliamente según el instrumento y el contexto en el que se utilice.
En el caso de los radiotelescopios y los telescopios espaciales con limitación de difracción , los términos dominantes en la PSF pueden inferirse a partir de la configuración de la apertura en el dominio de Fourier . En la práctica, puede haber múltiples términos aportados por los diversos componentes de un sistema óptico complejo. Una descripción completa de la PSF también incluirá la difusión de la luz (o fotoelectrones) en el detector, así como los errores de seguimiento en la nave espacial o el telescopio.
En el caso de los telescopios ópticos terrestres, la turbulencia atmosférica (conocida como seeling astronómico ) predomina en la contribución a la PSF. En las imágenes terrestres de alta resolución, la PSF suele variar con la posición en la imagen (un efecto llamado anisoplanatismo). En los sistemas de óptica adaptativa terrestres , la PSF es una combinación de la apertura del sistema con términos atmosféricos residuales no corregidos. [8]
La PSF también es un límite fundamental para la obtención de imágenes enfocadas convencionales de un orificio, [9] con un tamaño de impresión mínimo que se encuentra en el rango de 0,6-0,7 longitud de onda/AN, siendo AN la apertura numérica del sistema de obtención de imágenes. [10] [11] Por ejemplo, en el caso de un sistema EUV con una longitud de onda de 13,5 nm y AN=0,33, el tamaño mínimo de orificio individual que se puede obtener en imágenes se encuentra en el rango de 25-29 nm. Una máscara de cambio de fase tiene bordes de fase de 180 grados que permiten una resolución más fina. [9]
Las funciones de dispersión de puntos se han convertido recientemente en una herramienta de diagnóstico útil en la oftalmología clínica . Los pacientes se miden con un sensor de frente de onda Shack-Hartmann y un software especial calcula la PSF para el ojo de ese paciente. Este método permite a un médico simular tratamientos potenciales en un paciente y estimar cómo esos tratamientos alterarían la PSF del paciente. Además, una vez medido, el PSF se puede minimizar utilizando un sistema de óptica adaptativa. Esto, en conjunción con una cámara CCD y un sistema de óptica adaptativa, se puede utilizar para visualizar estructuras anatómicas que de otro modo no serían visibles in vivo , como los fotorreceptores cónicos. [12]
![{\displaystyle \mathrm {PSF} (f,z)=I_{r}(0,z,f)\exp \left[-z\alpha (f)-{\dfrac {2\rho ^{2}}{0,36{\frac {cka}{{\text{NA}}f}}{\sqrt {{1+\left({\frac {2\ln 2}{c\pi }}\left({\frac {\text{NA}}{0,56k}}\right)^{2}fz\right)}^{2}}}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a99718e5f38c64ae7d567b6d9f0bd40d3781f92)
