Fuerza centrípeta

Fuerza dirigida al centro de rotación.

Una partícula es perturbada de su movimiento lineal uniforme por una serie de patadas cortas (1, 2,…), dando a su trayectoria una forma casi circular. La fuerza se denomina fuerza centrípeta en el límite de una fuerza que actúa continuamente y se dirige hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

Una fuerza centrípeta (del latín centrum , "centro" y petere , "buscar" ^[1] ) es una fuerza que hace que un cuerpo siga una trayectoria curva . La dirección de la fuerza centrípeta es siempre ortogonal al movimiento del cuerpo y hacia el punto fijo del centro instantáneo de curvatura de la trayectoria. Isaac Newton la describió como "una fuerza por la cual los cuerpos son atraídos o impulsados, o de alguna manera tienden, hacia un punto como hacia un centro". ^[2] En la teoría de la mecánica newtoniana , la gravedad proporciona la fuerza centrípeta que provoca las órbitas astronómicas .

Un ejemplo común de fuerza centrípeta es el caso en el que un cuerpo se mueve con velocidad uniforme a lo largo de una trayectoria circular. La fuerza centrípeta se dirige perpendicularmente al movimiento y también a lo largo del radio hacia el centro de la trayectoria circular. ^{[3] [4]} La descripción matemática fue derivada en 1659 por el físico holandés Christiaan Huygens . ^[5]

Fórmula

De la cinemática del movimiento curvo se sabe que un objeto que se mueve con velocidad tangencial v a lo largo de una trayectoria con radio de curvatura r acelera hacia el centro de curvatura a una velocidad

a c = lím Δ t → 0 | Δ v | Δ t , a c = v 2 r {\displaystyle {\textbf {a}}_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|} {\Delta t}},\quad a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}}

aceleración centrípetadiferencia ${\displaystyle a_{c}}$ ${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$ ${\displaystyle t+\Delta {t}}$ ${\displaystyle t}$

Según la segunda ley de Newton , la causa de la aceleración es una fuerza neta que actúa sobre el objeto, que es proporcional a su masa m y su aceleración. La fuerza, generalmente denominada fuerza centrípeta , tiene una magnitud ^[6]

F c = m a c = m v 2 r {\displaystyle F_{c}=ma_{c}=m{\frac {v^{2}}{r}}}

Derivación

La aceleración centrípeta se puede deducir del diagrama de los vectores de velocidad en dos casos. En el caso de un movimiento circular uniforme, las velocidades tienen magnitud constante. Debido a que cada uno es perpendicular a su respectivo vector de posición, la resta de vectores simple implica dos triángulos isósceles similares con ángulos congruentes: uno que comprende una base de y una longitud de cateto de , y el otro una base de ( diferencia de vector de posición ) y una longitud de cateto de : ^[7] ${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{v}}={\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{r}}}$$

$${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|={\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$$

^[7] ${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|}$ ${\displaystyle {\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$

$${\displaystyle a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}={\frac {v}{r}}\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=\omega \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$$

círculo osculador^[8]

Esta fuerza también a veces se escribe en términos de la velocidad angular ω del objeto alrededor del centro del círculo, relacionada con la velocidad tangencial mediante la fórmula

$${\displaystyle v=\omega r}$$

$${\displaystyle F_{c}=mr\omega ^{2}\,.}$$

Expresado usando el período orbital T para una revolución del círculo,

ω = 2 π T {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}

^[9]

$${\displaystyle F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.}$$

En los aceleradores de partículas, la velocidad puede ser muy alta (cerca de la velocidad de la luz en el vacío), por lo que la misma masa en reposo ahora ejerce una mayor inercia (masa relativista), lo que requiere una mayor fuerza para la misma aceleración centrípeta, por lo que la ecuación se convierte en: ^[10]

$${\displaystyle F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}}$$

γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

factor de Lorentz

Así, la fuerza centrípeta viene dada por:

$${\displaystyle F_{c}=\gamma mv\omega }$$

impulso relativista ${\displaystyle \gamma mv}$

Fuentes

Un cuerpo que experimenta un movimiento circular uniforme requiere una fuerza centrípeta, hacia el eje como se muestra, para mantener su trayectoria circular.

En el caso de un objeto que se balancea sobre el extremo de una cuerda en un plano horizontal, la fuerza centrípeta sobre el objeto es suministrada por la tensión de la cuerda. El ejemplo de la cuerda es un ejemplo que involucra una fuerza de "tracción". La fuerza centrípeta también se puede suministrar como una fuerza de "empuje", como en el caso en que la reacción normal de una pared suministra la fuerza centrípeta para una pared de la muerte o un jinete de Rotor .

La idea de Newton de una fuerza centrípeta corresponde a lo que hoy se conoce como fuerza central . Cuando un satélite se encuentra en órbita alrededor de un planeta , la gravedad se considera una fuerza centrípeta aunque en el caso de órbitas excéntricas, la fuerza gravitacional se dirige hacia el foco, y no hacia el centro instantáneo de curvatura. ^[11]

Otro ejemplo de fuerza centrípeta surge en la hélice que se traza cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme en ausencia de otras fuerzas externas. En este caso, la fuerza magnética es la fuerza centrípeta que actúa hacia el eje de la hélice.

Análisis de varios casos.

A continuación se muestran tres ejemplos de complejidad creciente, con derivaciones de las fórmulas que gobiernan la velocidad y la aceleración.

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme se refiere al caso de velocidad de rotación constante. Aquí hay dos enfoques para describir este caso.

Derivación de cálculo

En dos dimensiones, el vector de posición , que tiene magnitud (longitud) y está dirigido en un ángulo por encima del eje x, se puede expresar en coordenadas cartesianas utilizando los vectores unitarios y : ^[12] ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$

$${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}.}$$

El supuesto de movimiento circular uniforme requiere tres cosas:

1. El objeto se mueve sólo en círculo.
2. El radio del círculo no cambia con el tiempo. ${\displaystyle r}$
3. El objeto se mueve con velocidad angular constante alrededor del círculo. Por tanto, ¿ dónde está el tiempo? ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta =\omega t}$ ${\displaystyle t}$

La velocidad y la aceleración del movimiento son las derivadas primera y segunda de la posición con respecto al tiempo: ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}}$

$${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}$$

v = r ˙ = − r ω pecado ⁡ ( ω t ) x ^ + r ω porque ⁡ ( ω t ) y ^ , {\displaystyle {\textbf {v}}={\dot {\textbf {r}}} =-r\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}

a = r ¨ = − ω 2 ( r cos ⁡ ( ω t ) x ^ + r pecado ⁡ ( ω t ) y ^ ). {\displaystyle {\textbf {a}}={\ddot {\textbf {r}}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }} +r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}).}

El término entre paréntesis es la expresión original de en coordenadas cartesianas . Como consecuencia, ${\displaystyle {\textbf {r}}}$

$${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$$

la inercia

Derivación usando vectores

Relaciones vectoriales para movimiento circular uniforme; el vector Ω que representa la rotación es normal al plano de la órbita con polaridad determinada por la regla de la mano derecha y magnitud dθ / dt .

La imagen de la derecha muestra las relaciones vectoriales para el movimiento circular uniforme. La rotación en sí está representada por el vector de velocidad angular Ω , que es normal al plano de la órbita (usando la regla de la mano derecha ) y tiene una magnitud dada por:

${\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \ ,}$

con θ la posición angular en el momento t . En esta subsección, d θ /d t se supone constante, independiente del tiempo. La distancia recorrida dℓ de la partícula en el tiempo d t a lo largo de la trayectoria circular es

${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\mathrm {d} t\ ,}$

que, por propiedades del producto vectorial vectorial , tiene magnitud r d θ y está en la dirección tangente a la trayectoria circular.

Como consecuencia,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+{\Delta }t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta }t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}\ .}$

En otras palabras,

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell }} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\ .}$

Diferenciando con respecto al tiempo,

$${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$$

La fórmula de Lagrange establece:

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$$

Aplicando la fórmula de Lagrange con la observación de que Ω • r ( t ) = 0 en todo momento,

$${\displaystyle \mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .}$$

En palabras, la aceleración apunta directamente opuesta al desplazamiento radial r en todo momento y tiene una magnitud:

$${\displaystyle |\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}}$$

rtr

Cuando la velocidad de rotación se hace constante en el análisis del movimiento circular no uniforme, ese análisis concuerda con este.

Un mérito del método vectorial es que es manifiestamente independiente de cualquier sistema de coordenadas.

Ejemplo: el giro peraltado

Panel superior: Bola sobre una pista circular peraltada que se mueve con velocidad constante v ; Panel inferior: Fuerzas sobre la pelota

El panel superior de la imagen de la derecha muestra una bola en movimiento circular en una curva peraltada. La curva está peraltada en un ángulo θ con respecto a la horizontal y la superficie de la carretera se considera resbaladiza. El objetivo es encontrar qué ángulo debe tener el banco para que la bola no se salga del camino. ^[13] La intuición nos dice que, en una curva plana sin peralte alguno, la pelota simplemente se deslizará fuera de la carretera; mientras que con un peralte muy pronunciado, la bola se deslizará hacia el centro a menos que recorra la curva rápidamente.

Aparte de cualquier aceleración que pueda ocurrir en la dirección del camino, el panel inferior de la imagen de arriba indica las fuerzas sobre la pelota. Hay dos fuerzas; uno es la fuerza de gravedad verticalmente hacia abajo a través del centro de masa de la pelota mg , donde m es la masa de la pelota y g es la aceleración gravitacional ; la segunda es la fuerza normal hacia arriba ejercida por la carretera en ángulo recto con respecto a la superficie _de la carretera . La fuerza centrípeta demandada por el movimiento curvo también se muestra arriba. Esta fuerza centrípeta no es una tercera fuerza aplicada a la pelota, sino que debe ser proporcionada por la fuerza neta sobre la pelota resultante de la suma vectorial de la fuerza normal y la fuerza de gravedad . La fuerza resultante o neta sobre la pelota encontrada mediante la suma vectorial de la fuerza normal ejercida por el camino y la fuerza vertical debida a la gravedad debe ser igual a la fuerza centrípeta dictada por la necesidad de recorrer una trayectoria circular. El movimiento curvo se mantiene mientras esta fuerza neta proporcione la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento.

La fuerza neta horizontal sobre la pelota es la componente horizontal de la fuerza del camino, que tiene magnitud | F _·h | = metro | una _norte | pecado θ . La componente vertical de la fuerza de la carretera debe contrarrestar la fuerza gravitacional: | F _v | = metro | una _norte | porque θ = m | gramo | , lo que implica | una _norte | = | gramo | / porque θ . Sustituyendo en la fórmula anterior por | F _·h | produce una fuerza horizontal que es:

| F·h | = metro | gramo | pecado ⁡ θ porque ⁡ θ = m | gramo | bronceado ⁡ θ . {\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {g} |{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=m|\mathbf {g } |\tan \theta \,.}

Por otro lado, a velocidad | v | en una trayectoria circular de radio r , la cinemática dice que la fuerza necesaria para hacer girar la bola continuamente es la fuerza centrípeta radialmente hacia adentro F _c de magnitud:

$${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {c} }|={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,.}$$

En consecuencia, la pelota se encuentra en una trayectoria estable cuando el ángulo del camino se ajusta para satisfacer la condición:

$${\displaystyle m|\mathbf {g} |\tan \theta ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,,}$$

$${\displaystyle \tan \theta ={\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{|\mathbf {g} |r}}\,.}$$

A medida que el ángulo del banco θ se acerca a 90°, la función tangente se acerca al infinito, lo que permite valores mayores para | v | ² / r . En palabras, esta ecuación establece que para velocidades mayores (mayor | v |) la carretera debe tener una peralte más pronunciada (un valor mayor para θ ), y para giros más cerrados ( r más pequeño ) la carretera también debe tener una peralte más pronunciada, lo que concuerda con intuición. Cuando el ángulo θ no satisface la condición anterior, la componente horizontal de la fuerza ejercida por la carretera no proporciona la fuerza centrípeta correcta y se requiere una fuerza de fricción adicional tangencial a la superficie de la carretera para proporcionar la diferencia. Si la fricción no puede hacer esto (es decir, se excede el coeficiente de fricción ), la bola se desliza a un radio diferente donde se puede lograr el equilibrio. ^{[14] [15]}

Estas ideas también se aplican a los vuelos aéreos. Consulte el manual del piloto de la FAA. ^[dieciséis]

Movimiento circular no uniforme

/ R .

Como generalización del caso del movimiento circular uniforme, supongamos que la velocidad angular de rotación no es constante. La aceleración ahora tiene un componente tangencial, como se muestra en la imagen de la derecha. Este caso se utiliza para demostrar una estrategia de derivación basada en un sistema de coordenadas polares .

Sea r ( t ) un vector que describe la posición de una masa puntual en función del tiempo. Como estamos asumiendo un movimiento circular , sea r ( t ) = R · u _r , donde R es una constante (el radio del círculo) y u _r es el vector unitario que apunta desde el origen hasta la masa puntual. La dirección de u _r se describe mediante θ , el ángulo entre el eje x y el vector unitario, medido en sentido antihorario desde el eje x. El otro vector unitario para coordenadas polares, u _θ, es perpendicular a u _r y apunta en la dirección de θ creciente . Estos vectores unitarios polares se pueden expresar en términos de vectores unitarios cartesianos en las direcciones xey , denotados y respectivamente : ^[17] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{r}=\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{\theta }=-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}.}$$

Se puede diferenciar para encontrar la velocidad:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=r{\frac {d\mathbf {u} _{r}}{dt}}\\&=r{\frac {d}{dt}}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\left(-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }\\&=\omega r\mathbf {u} _{\theta }\end{aligned}}}$$

ωdθ / dt

Este resultado para la velocidad coincide con las expectativas de que la velocidad debería dirigirse tangencialmente al círculo y que la magnitud de la velocidad debería ser rω . Diferenciando nuevamente, y observando que

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{r}=-\omega \mathbf {u} _{r}\ ,}$$

a

$${\displaystyle \mathbf {a} =r\left({\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}\mathbf {u} _{r}\right)\ .}$$

Así, las componentes radial y tangencial de la aceleración son:

$${\displaystyle \mathbf {a} _{r}=-\omega ^{2}r\ \mathbf {u} _{r}=-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ \mathbf {u} _{r}}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} _{\theta }=r\ {\frac {d\omega }{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }={\frac {d|\mathbf {v} |}{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }\ ,}$$

| v | = r ω

Estas ecuaciones expresan matemáticamente que, en el caso de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria circular con una velocidad cambiante, la aceleración del cuerpo se puede descomponer en una componente perpendicular que cambia la dirección del movimiento (la aceleración centrípeta) y una componente paralela que cambia la dirección del movimiento (la aceleración centrípeta). , o componente tangencial , que cambia la velocidad.

Movimiento plano general

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no se limita al espacio 2D, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

Vectores unitarios polares en dos tiempos t y t + dt para una partícula con trayectoria r ( t ); a la izquierda, los vectores unitarios u _ρ y u _θ en los dos momentos se mueven de modo que todas sus colas se encuentren y se muestra que trazan un arco de un círculo de radio unitario. Su rotación en el tiempo dt es d θ, exactamente el mismo ángulo que la rotación de la trayectoria r ( t ).

Coordenadas polares

Los resultados anteriores pueden derivarse quizás de manera más simple en coordenadas polares y, al mismo tiempo, extenderse al movimiento general dentro de un plano, como se muestra a continuación. Las coordenadas polares en el plano emplean un vector unitario radial u _ρ y un vector unitario angular u _θ , como se muestra arriba. ^[18] Una partícula en la posición r se describe mediante:

$${\displaystyle \mathbf {r} =\rho \mathbf {u} _{\rho }\ ,}$$

donde se usa la notación ρ para describir la distancia del camino desde el origen en lugar de R para enfatizar que esta distancia no es fija, sino que varía con el tiempo. El vector unitario u _ρ viaja con la partícula y siempre apunta en la misma dirección que r ( t ). El vector unitario u _θ también viaja con la partícula y permanece ortogonal a u _ρ . Por tanto, u _ρ y u _θ forman un sistema de coordenadas cartesianas local adjunto a la partícula y vinculado a la trayectoria recorrida por la partícula. ^[19] Al mover los vectores unitarios para que sus colas coincidan, como se ve en el círculo a la izquierda de la imagen de arriba, se ve que u _ρ y u _θ forman un par en ángulo recto con puntas en el círculo unitario que se remontan y adelante en el perímetro de este círculo con el mismo ángulo θ ( t ) que r ( t ).

Cuando la partícula se mueve, su velocidad es

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}\,.}$

Para evaluar la velocidad, se necesita la derivada del vector unitario u _{ρ .} Debido a que u _ρ es un vector unitario, su magnitud es fija y sólo puede cambiar en dirección, es decir, su cambio d u _ρ tiene una componente sólo perpendicular a u _ρ . Cuando la trayectoria r ( t ) gira una cantidad d θ , u _ρ , que apunta en la misma dirección que r ( t ), también gira d θ . Ver imagen de arriba. Por lo tanto, el cambio en u _ρ es

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }=\mathbf {u} _{\theta }\mathrm {d} \theta \,,}$

o

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,.}$

De manera similar, se encuentra la tasa de cambio de u _{θ .} Al igual que con u _ρ , u _θ es un vector unitario y solo puede rotar sin cambiar de tamaño. Para permanecer ortogonal a u _ρ mientras la trayectoria r ( t ) gira una cantidad d θ , u _θ , que es ortogonal a r ( t ), también gira d θ . Ver imagen de arriba. Por lo tanto, el cambio d u _θ es ortogonal a u _θ y proporcional a d θ (ver imagen arriba):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }\,.}$

La ecuación anterior muestra que el signo es negativo: para mantener la ortogonalidad, si d u _ρ es positivo con d θ , entonces d u _θ debe disminuir.

Sustituyendo la derivada de u _ρ en la expresión de velocidad:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\,.}$

Para obtener la aceleración se hace otra diferenciación temporal:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\,.}$

Sustituyendo las derivadas de u _ρ y u _θ , la aceleración de la partícula es: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}-\rho \mathbf {u} _{\rho }\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} v_{\rho }}{\mathrm {d} t}}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{\rho }}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {2}{\rho }}v_{\rho }v_{\theta }+\rho {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {v_{\theta }}{\rho }}\right]\,.\end{aligned}}}$

Como ejemplo particular, si la partícula se mueve en un círculo de radio constante R , entonces d ρ /d t = 0, v = v _θ , y:

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho }\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]=\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\ }$$

dónde ${\displaystyle v=v_{\theta }.}$

Estos resultados concuerdan con los anteriores para el movimiento circular no uniforme. Véase también el artículo sobre movimiento circular no uniforme . Si esta aceleración se multiplica por la masa de la partícula, el término principal es la fuerza centrípeta y el negativo del segundo término relacionado con la aceleración angular a veces se llama fuerza de Euler . ^[21]

Para trayectorias distintas al movimiento circular, por ejemplo, la trayectoria más general prevista en la imagen de arriba, el centro instantáneo de rotación y el radio de curvatura de la trayectoria están relacionados sólo indirectamente con el sistema de coordenadas definido por u ρ y _u θ y _con el longitud | r ( t )| = ρ . En consecuencia, en el caso general, no es sencillo desenredar los términos centrípeto y de Euler de la ecuación general de aceleración anterior. ^{[22] [23]} Para abordar directamente esta cuestión, son preferibles las coordenadas locales, como se analiza a continuación.

Coordenadas locales

Sistema de coordenadas local para movimiento plano en una curva. Se muestran dos posiciones diferentes para las distancias s y s + ds a lo largo de la curva. En cada posición s , el vector unitario u _n apunta a lo largo de la normal hacia afuera a la curva y el vector unitario u _t es tangencial a la trayectoria. El radio de curvatura de la trayectoria es ρ calculado a partir de la velocidad de rotación de la tangente a la curva con respecto a la longitud del arco, y es el radio del círculo osculador en la posición s . El círculo unitario de la izquierda muestra la rotación de los vectores unitarios con s .

Las coordenadas locales significan un conjunto de coordenadas que viajan con la partícula ^[24] y tienen una orientación determinada por la trayectoria de la partícula. ^[25] Los vectores unitarios se forman como se muestra en la imagen de la derecha, tanto tangenciales como normales a la trayectoria. Este sistema de coordenadas a veces se denomina coordenadas intrínsecas o de trayectoria ^{[26] [27]} o coordenadas nt , para normal-tangencial , en referencia a estos vectores unitarios. Estas coordenadas son un ejemplo muy especial de un concepto más general de coordenadas locales procedente de la teoría de formas diferenciales. ^[28]

La distancia a lo largo de la trayectoria de la partícula es la longitud del arco s , considerada una función conocida del tiempo.

${\displaystyle s=s(t)\ .}$

Se define un centro de curvatura en cada posición s ubicada a una distancia ρ (el radio de curvatura ) de la curva en una línea a lo largo de la normal u _n ( s ). La distancia requerida ρ ( s ) en una longitud de arco s se define en términos de la velocidad de rotación de la tangente a la curva, que a su vez está determinada por la trayectoria misma. Si la orientación de la tangente con respecto a alguna posición inicial es θ ( s ), entonces ρ ( s ) está definida por la derivada d θ /d s :

${\displaystyle {\frac {1}{\rho (s)}}=\kappa (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$

El radio de curvatura generalmente se toma como positivo (es decir, como valor absoluto), mientras que la curvatura κ es una cantidad con signo.

Un enfoque geométrico para encontrar el centro de curvatura y el radio de curvatura utiliza un proceso limitante que conduce al círculo osculador . ^{[29] [30]} Ver imagen de arriba.

Usando estas coordenadas, el movimiento a lo largo de la trayectoria se ve como una sucesión de trayectorias circulares de centro siempre cambiante, y en cada posición s constituye un movimiento circular no uniforme en esa posición con radio ρ . El valor local de la velocidad angular de rotación viene dado por:

${\displaystyle \omega (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\rho (s)}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {v(s)}{\rho (s)}}\ ,}$

con la velocidad local v dada por:

${\displaystyle v(s)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\ .}$

En cuanto a los otros ejemplos anteriores, debido a que los vectores unitarios no pueden cambiar la magnitud, su tasa de cambio siempre es perpendicular a su dirección (consulte el inserto de la izquierda en la imagen de arriba): ^[31]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\ ;}$ ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)}{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {1}{\rho }}\ .}$

En consecuencia, la velocidad y la aceleración son: ^{[30] [32] [33]}

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ;}$

y usando la regla de la cadena de diferenciación :

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$con la aceleración tangencial ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\mathrm {d} } v}{\mathrm {\mathrm {d} } t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ v\ .}$

En este sistema de coordenadas local, la aceleración se asemeja a la expresión del movimiento circular no uniforme con el radio local ρ ( s ), y la aceleración centrípeta se identifica como el segundo término. ^[34]

Ampliar este enfoque a curvas espaciales tridimensionales conduce a las fórmulas de Frenet-Serret . ^{[35] [36]}

Enfoque alternativo

Al observar la imagen de arriba, uno podría preguntarse si se ha tenido en cuenta adecuadamente la diferencia de curvatura entre ρ ( s ) y ρ ( s + d s ) al calcular la longitud del arco como d s = ρ ( s ) d θ . Se puede encontrar tranquilidad sobre este punto utilizando un enfoque más formal que se describe a continuación. Este enfoque también se relaciona con el artículo sobre la curvatura .

Para introducir los vectores unitarios del sistema de coordenadas local, un enfoque es comenzar en coordenadas cartesianas y describir las coordenadas locales en términos de estas coordenadas cartesianas. En términos de longitud de arco s , describamos el camino como: ^[37]

$${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right].}$$

Entonces un desplazamiento incremental a lo largo de la trayectoria d s se describe mediante:

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} (s)=\left[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s\ ,}$$

donde se introducen números primos para denotar derivadas con respecto a s . La magnitud de este desplazamiento es d s , lo que demuestra que: ^[38]

${\displaystyle \left[x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right]=1\ .}$ (Ecuación 1)

Este desplazamiento es necesariamente tangente a la curva en s , lo que muestra que el vector unitario tangente a la curva es:

$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right],}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right],}$$

La ortogonalidad se puede verificar mostrando que el producto escalar del vector es cero. La magnitud unitaria de estos vectores es consecuencia de la ecuación. 1. Usando el vector tangente, el ángulo θ de la tangente a la curva viene dado por:

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;}$$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .}$

El radio de curvatura se introduce de forma completamente formal (sin necesidad de interpretación geométrica) como:

$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$$

La derivada de θ se puede encontrar a partir de la del sen θ :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}=\cos \theta {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta \ ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .}$$

Ahora:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s)={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'(s)}}\ ,}$$

$${\displaystyle x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0\ .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (s)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {v} (s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\left(x''(s),\ y''(s)\right)\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\end{aligned}}}$$

u _tsu _nsρ

Este resultado para la aceleración concuerda con el encontrado anteriormente. Sin embargo, en este enfoque, la cuestión del cambio en el radio de curvatura con s se maneja de manera completamente formal, consistente con una interpretación geométrica, pero sin depender de ella, evitando así cualquier pregunta que la imagen de arriba pueda sugerir sobre despreciar la variación en ρ .

Ejemplo: movimiento circular

Para ilustrar las fórmulas anteriores, sean x , y dados como:

${\displaystyle x=\alpha \cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ y=\alpha \sin {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

Entonces:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2}\ ,}$

que puede reconocerse como una trayectoria circular alrededor del origen con radio α . La posición s = 0 corresponde a [ α , 0], o las 3 en punto. Para utilizar el formalismo anterior, se necesitan las derivadas:

${\displaystyle y^{\prime }(s)=\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime }(s)=-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,}$

${\displaystyle y^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\cos {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

Con estos resultados se puede comprobar que:

${\displaystyle x^{\prime }(s)^{2}+y^{\prime }(s)^{2}=1\ ;\ {\frac {1}{\rho }}=y^{\prime \prime }(s)x^{\prime }(s)-y^{\prime }(s)x^{\prime \prime }(s)={\frac {1}{\alpha }}\ .}$

Los vectores unitarios también se pueden encontrar:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ;\ \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ,}$

los cuales sirven para mostrar que s = 0 está ubicado en la posición [ ρ , 0] y s = ρ π/2 en [0, ρ ], lo que concuerda con las expresiones originales para x e y . En otras palabras, s se mide en sentido antihorario alrededor del círculo situado a las 3 en punto. Además, se pueden encontrar las derivadas de estos vectores:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]=-{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$

${\displaystyle \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)={\frac {1}{\alpha }}\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]={\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ .}$

Para obtener velocidad y aceleración, es necesaria una dependencia del tiempo para s . Para movimiento en sentido antihorario a velocidad variable v ( t ):

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\ dt^{\prime }\ v(t^{\prime })\ ,}$

donde v ( t ) es la velocidad y t es el tiempo, y s ( t = 0) = 0. Entonces:

${\displaystyle \mathbf {v} =v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ,}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+v{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-v{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ,}$

donde ya está establecido que α = ρ. Esta aceleración es el resultado estándar para el movimiento circular no uniforme .

Ver también

• Mecánica analítica
• Mecánica Aplicada
• Teorema de Bertrand
• fuerza central
• Fuerza centrífuga
• Movimiento circular
• Mecanica clasica
• fuerza Coriolis
• Dinámica (física)
• yo-yo esquimal
• Ejemplo: movimiento circular
• Fuerza ficticia
• Fórmulas de Frenet-Serret
• Historia de las fuerzas centrífugas y centrípetas.
• Cinemática
• Cinética
• Mecánica del movimiento de partículas planas.
• Coordenadas ortogonales
• Fuerza centrífuga reactiva
• estática

notas y referencias

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3. Russelkl C. Hibbeler (2009). "Ecuaciones de movimiento: coordenadas normales y tangenciales". Mecánica de ingeniería: dinámica (12 ed.). Prentice Hall. pag. 131.ISBN _ 978-0-13-607791-6.
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17. Nota: a diferencia de los vectores unitarios cartesianos y , que son constantes, en coordenadas polares la dirección de los vectores unitarios u _r y u _θ dependen de θ , por lo que en general tienen derivadas de tiempo distintas de cero. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$
18. Aunque el sistema de coordenadas polares se mueve con la partícula, el observador no. La descripción del movimiento de las partículas sigue siendo una descripción desde el punto de vista del observador estacionario.
19. Observe que este sistema de coordenadas local no es autónomo; por ejemplo, su rotación en el tiempo viene dictada por la trayectoria trazada por la partícula. El vector radial r ( t ) no representa el radio de curvatura del camino.
20. John Robert Taylor (2005). Mecanica clasica. Sausalito CA: Libros de ciencias universitarias. págs. 28 y 29. ISBN 978-1-891389-22-1.
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22. Véase, por ejemplo, Howard D. Curtis (2005). Mecánica Orbital para Estudiantes de Ingeniería . Butterworth-Heinemann. pag. 5.ISBN _ 978-0-7506-6169-0.
23. SY Lee (2004). Física de aceleradores (2ª ed.). Hackensack Nueva Jersey: World Scientific. pag. 37.ISBN _ 978-981-256-182-4.
24. El observador del movimiento a lo largo de la curva utiliza estas coordenadas locales para describir el movimiento desde el marco de referencia del observador , es decir, desde un punto de vista estacionario. En otras palabras, aunque el sistema de coordenadas local se mueve con la partícula, el observador no. Un cambio en el sistema de coordenadas utilizado por el observador es sólo un cambio en la descripción de sus observaciones y no significa que el observador haya cambiado su estado de movimiento, y viceversa .
25. Zhilin Li; Kazufumi Ito (2006). El método de la interfaz inmersa: soluciones numéricas de PDE que involucran interfaces y dominios irregulares. Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. pag. 16.ISBN _ 978-0-89871-609-2.
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29. El círculo osculador en un punto dado P de una curva es el círculo límite de una secuencia de círculos que pasan por P y otros dos puntos de la curva, Q y R , a cada lado de P , cuando Q y R se aproximan a P. Véase el texto en línea de Lamb: Horace Lamb (1897). Un curso elemental de cálculo infinitesimal. Prensa universitaria. pag. 406.ISBN _ 978-1-108-00534-0. círculo osculador.
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37. El artículo sobre curvatura trata un caso más general en el que la curva está parametrizada por una variable arbitraria (denotada por t ), en lugar de por la longitud del arco s .
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Otras lecturas

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Física para científicos e ingenieros (6ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica (5ª ed.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.
• Fuerza centrípeta versus fuerza centrífuga, de un tutorial de física en línea del examen Regents realizado por el distrito escolar de la ciudad de Oswego

enlaces externos

• Apuntes de Física y Astronomía Hiperfísica de la Universidad Estatal de Georgia