Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales.

Interacción física en la física posclásica.

Los campos de fuerza estática son campos, como campos eléctricos , magnéticos o gravitacionales simples , que existen sin excitaciones. El método de aproximación más común que utilizan los físicos para los cálculos de dispersión puede interpretarse como fuerzas estáticas que surgen de las interacciones entre dos cuerpos mediadas por partículas virtuales , partículas que existen sólo durante un corto tiempo determinado por el principio de incertidumbre . ^[1] Las partículas virtuales, también conocidas como portadoras de fuerzas , son bosones , con diferentes bosones asociados a cada fuerza. ^{[2] : 16–37}

La descripción de fuerzas estáticas en partículas virtuales es capaz de identificar la forma espacial de las fuerzas, como el comportamiento del cuadrado inverso en la ley de gravitación universal de Newton y en la ley de Coulomb . También es capaz de predecir si las fuerzas son atractivas o repulsivas para cuerpos similares.

La formulación de integral de trayectoria es el lenguaje natural para describir a los portadores de fuerza. Este artículo utiliza la formulación de integral de trayectoria para describir los portadores de fuerza para los campos de espín 0, 1 y 2. Los piones , los fotones y los gravitones se incluyen en estas categorías respectivas.

Existen límites a la validez de la imagen de partículas virtuales. La formulación de partículas virtuales se deriva de un método conocido como teoría de la perturbación , que es una aproximación que supone que las interacciones no son demasiado fuertes y estaba destinada a problemas de dispersión, no a estados unidos como los átomos. Para la fuerza fuerte que une los quarks a los nucleones a bajas energías, nunca se ha demostrado que la teoría de la perturbación produzca resultados acordes con los experimentos, ^[3] por lo que la validez de la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas" es cuestionable. De manera similar, para estados ligados el método falla. ^[4] En estos casos, la interpretación física debe ser reexaminada. Por ejemplo, los cálculos de la estructura atómica en la física atómica o de la estructura molecular en la química cuántica no podrían repetirse fácilmente, si es que lo hacen, utilizando la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas". ^{[ cita necesaria ]}

El uso de la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas" (FMPP) es innecesario en la mecánica cuántica no relativista , y la ley de Coulomb se utiliza tal como se indica en la física atómica y la química cuántica para calcular tanto los estados ligados como los de dispersión. Se puede lograr una teoría cuántica relativista no perturbativa , en la que se conserva la invariancia de Lorentz, evaluando la ley de Coulomb como una interacción de 4 espacios utilizando el vector de posición de 3 espacios de un electrón de referencia que obedece a la ecuación de Dirac y la trayectoria cuántica de un segundo electrón que Depende sólo del tiempo escalado. La trayectoria cuántica de cada electrón en un conjunto se infiere a partir de la corriente de Dirac para cada electrón igualándola a un campo de velocidad multiplicado por una densidad cuántica, calculando un campo de posición a partir de la integral de tiempo del campo de velocidad y, finalmente, calculando una trayectoria cuántica. del valor esperado del campo de posición. Las trayectorias cuánticas, por supuesto, dependen del espín, y la teoría puede validarse comprobando que se obedece el principio de exclusión de Pauli para una colección de fermiones .

Fuerzas clásicas

La fuerza ejercida por una masa sobre otra y la fuerza ejercida por una carga sobre otra son sorprendentemente similares. Ambos caen como el cuadrado de la distancia entre los cuerpos. Ambos son proporcionales al producto de las propiedades de los cuerpos, masa en el caso de la gravitación y carga en el caso de la electrostática.

También tienen una diferencia sorprendente. Dos masas se atraen, mientras que dos cargas iguales se repelen.

En ambos casos, los cuerpos parecen actuar unos sobre otros a distancia. El concepto de campo fue inventado para mediar en la interacción entre cuerpos eliminando así la necesidad de acción a distancia . La fuerza gravitacional está mediada por el campo gravitacional y la fuerza de Coulomb está mediada por el campo electromagnético .

fuerza gravitacional

La fuerza gravitacional sobre una masa ejercida por otra masa es donde G es la constante de gravitación newtoniana , r es la distancia entre las masas y es el vector unitario de masa a masa . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {mM}{r^{2}}}\,{\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right),}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$

La fuerza también se puede escribir donde está el campo gravitacional descrito por la ecuación de campo donde está la densidad de masa en cada punto del espacio. $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right),}$$ ${\displaystyle \mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right)}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m},}$$ ${\displaystyle \rho _{m}}$

fuerza de culombio

La fuerza electrostática de Coulomb sobre una carga ejercida por una carga es ( unidades SI ), donde es la permitividad del vacío , es la separación de las dos cargas y es un vector unitario en la dirección de carga a carga . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q}$

La fuerza de Coulomb también se puede escribir en términos de un campo electrostático : siendo la densidad de carga en cada punto del espacio. $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right),}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{q}}{\varepsilon _{0}}};}$$ ${\displaystyle \rho _{q}}$

Intercambio de partículas virtuales

En la teoría de la perturbación, las fuerzas se generan por el intercambio de partículas virtuales . La mecánica del intercambio de partículas virtuales se describe mejor con la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica. Sin embargo, hay ideas que se pueden obtener sin entrar en la maquinaria de las integrales de trayectoria, como por ejemplo por qué las fuerzas gravitacionales y electrostáticas clásicas disminuyen como el cuadrado inverso de la distancia entre los cuerpos.

Formulación integral de ruta del intercambio de partículas virtuales.

Una partícula virtual se crea por una perturbación del estado de vacío , y la partícula virtual se destruye cuando otra perturbación la absorbe nuevamente al estado de vacío. Se supone que las perturbaciones se deben a cuerpos que interactúan con el campo de la partícula virtual.

amplitud de probabilidad

Usando unidades naturales , la amplitud de probabilidad para la creación, propagación y destrucción de una partícula virtual está dada, en la formulación integral de trayectoria por donde es el operador hamiltoniano , es el tiempo transcurrido, es el cambio de energía debido a la perturbación, es el El cambio de acción debido a la perturbación es el campo de la partícula virtual, la integral abarca todos los caminos y la acción clásica viene dada por donde está la densidad lagrangiana . ${\displaystyle \hbar =c=1}$ $${\displaystyle Z\equiv \langle 0|\exp \left(-i{\hat {H}}T\right)|0\rangle =\exp \left(-iET\right)=\int D\varphi \;\exp \left(i{\mathcal {S}}[\varphi ]\right)\;=\exp \left(iW\right)}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle W=-ET}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\;{{\mathcal {L}}[\varphi (x)]\,}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]}$

Aquí, la métrica del espacio-tiempo está dada por $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$$

La integral de ruta a menudo se puede convertir a la forma donde es un operador diferencial con y funciones del espaciotiempo . El primer término del argumento representa la partícula libre y el segundo término representa la perturbación del campo procedente de una fuente externa, como una carga o una masa. $${\displaystyle Z=\int \exp \left[i\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\varphi {\hat {O}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi }$$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle J}$

La integral se puede escribir (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integrales con operadores diferenciales en el argumento ) donde es el cambio en la acción debido a las perturbaciones y el propagador es la solución de $${\displaystyle Z\propto \exp \left(iW\left(J\right)\right)}$$ $${\displaystyle W\left(J\right)=-{\frac {1}{2}}\iint d^{4}x\;d^{4}y\;J\left(x\right)D\left(x-y\right)J\left(y\right)}$$ ${\displaystyle D\left(x-y\right)}$ $${\displaystyle {\hat {O}}D\left(x-y\right)=\delta ^{4}\left(x-y\right).}$$

Energía de interacción

Suponemos que hay dos perturbaciones puntuales que representan dos cuerpos y que las perturbaciones son inmóviles y constantes en el tiempo. Las perturbaciones se pueden escribir donde las funciones delta están en el espacio, las perturbaciones están ubicadas en y , y los coeficientes y son las intensidades de las perturbaciones. $${\displaystyle J(x)=\left(J_{1}+J_{2},0,0,0\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=a_{1}\delta ^{3}\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1}\right)\\J_{2}&=a_{2}\delta ^{3}\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{2}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Si descuidamos las autointeracciones de las perturbaciones, entonces W se convierte en $${\displaystyle W\left(J\right)=-\iint d^{4}x\;d^{4}y\;J_{1}\left(x\right){\frac {1}{2}}\left[D\left(x-y\right)+D\left(y-x\right)\right]J_{2}\left(y\right),}$$

que se puede escribir $${\displaystyle W\left(J\right)=-Ta_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right).}$$

Aquí está la transformada de Fourier de ${\displaystyle D\left(k\right)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[D\left(x-y\right)+D\left(y-x\right)\right].}$$

Finalmente, el cambio de energía debido a las perturbaciones estáticas del vacío es $${\displaystyle E=-{\frac {W}{T}}=a_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right).}$$

Si esta cantidad es negativa, la fuerza es atractiva. Si es positiva, la fuerza es repulsiva.

Ejemplos de corrientes estáticas, inmóviles e interactivas son el potencial de Yukawa, el potencial de Coulomb en el vacío y el potencial de Coulomb en un plasma simple o gas de electrones.

La expresión para la energía de interacción se puede generalizar a la situación en la que las partículas puntuales se mueven, pero el movimiento es lento en comparación con la velocidad de la luz. Algunos ejemplos son la interacción de Darwin en el vacío y en el plasma.

Finalmente, la expresión de la energía de interacción se puede generalizar a situaciones en las que las perturbaciones no son partículas puntuales, sino posiblemente cargas lineales, tubos de cargas o vórtices de corriente. Los ejemplos incluyen: dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones, el potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético y la interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o gas de electrones. Como se ve en el ejemplo de interacción de Coulomb entre tubos de carga, que se muestra a continuación, estas geometrías más complicadas pueden conducir a fenómenos tan exóticos como los números cuánticos fraccionarios .

Ejemplos seleccionados

Potencial de Yukawa: la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico

Considere la densidad lagrangiana de espín -0 ^{[2] : 21–29} $${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]={\frac {1}{2}}\left[\left(\partial \varphi \right)^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right].}$$

La ecuación de movimiento para este lagrangiano es la ecuación de Klein-Gordon. $${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +m^{2}\varphi =0.}$$

Si agregamos una perturbación, la amplitud de probabilidad se vuelve $${\displaystyle Z=\int D\varphi \;\exp \left\{i\int d^{4}\mathbf {x} \;\left[{\frac {1}{2}}\left(\left(\partial \varphi \right)^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)+J\varphi \right]\right\}.}$$

Si integramos por partes y descuidamos los términos límite en el infinito, la amplitud de probabilidad se convierte en $${\displaystyle Z=\int D\varphi \;\exp \left\{i\int d^{4}x\;\left[-{\frac {1}{2}}\varphi \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi +J\varphi \right]\right\}.}$$

Con la amplitud en esta forma se puede ver que el propagador es la solución de $${\displaystyle -\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D\left(x-y\right)=\delta ^{4}\left(x-y\right).}$$

De esto se puede ver que $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}.}$$

La energía debida a las perturbaciones estáticas se vuelve (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Potencial de Yukawa: El potencial de Coulomb con masa ) con la cual es atractiva y tiene un rango de $${\displaystyle E=-{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-mr\right)}$$ $${\displaystyle r^{2}=\left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)^{2}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{m}}.}$$

Yukawa propuso que este campo describe la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico. Le permitió predecir tanto el alcance como la masa de la partícula, ahora conocida como pión , asociada a este campo.

Electrostática

Potencial de Coulomb en el vacío

Considere el giro -1 Proca Lagrangiano con una perturbación ^{[2] : 30–31}

$${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\mu }A^{\mu }+A_{\mu }J^{\mu }}$$donde se conserva la carga y elegimos el ancho de Lorenz $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu },}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0,}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$

Además, suponemos que la perturbación sólo tiene un componente temporal . En lenguaje corriente, esto significa que hay carga en los puntos de perturbación, pero no hay corrientes eléctricas. ${\displaystyle J^{0}}$

Si seguimos el mismo procedimiento que hicimos con el potencial de Yukawa encontramos lo que implica y $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{4}}\int d^{4}xF_{\mu \nu }F^{\mu \nu }&=-{\frac {1}{4}}\int d^{4}x\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&={\frac {1}{2}}\int d^{4}x\;A_{\nu }\left(\partial ^{2}A^{\nu }-\partial ^{\nu }\partial _{\mu }A^{\mu }\right)\\&={\frac {1}{2}}\int d^{4}x\;A^{\mu }\left(\eta _{\mu \nu }\partial ^{2}\right)A^{\nu },\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \eta _{\mu \alpha }\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{\alpha \nu }\left(x-y\right)=\delta _{\mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(x-y\right)}$$ $${\displaystyle D_{\mu \nu }\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;\eta _{\mu \nu }{\frac {1}{-k^{2}+m^{2}}}.}$$

Esto resulta para el propagador temporal y que tiene el signo opuesto al caso Yukawa. $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$$ $${\displaystyle E=+{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-mr\right)}$$

En el límite de masa fotónica cero , el lagrangiano se reduce al lagrangiano para el electromagnetismo $${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}.}$$

Por lo tanto, la energía se reduce a la energía potencial para la fuerza de Coulomb y los coeficientes son proporcionales a la carga eléctrica. A diferencia del caso Yukawa, en este caso electrostático los cuerpos similares se repelen entre sí. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Potencial de Coulomb en un plasma simple o gas de electrones.

Ondas de plasma

La relación de dispersión para las ondas de plasma es ^{[5] : 75-82} donde es la frecuencia angular de la onda, es la frecuencia del plasma , es la magnitud de la carga del electrón , es la masa del electrón , es la temperatura del electrón (la constante de Boltzmann es igual a uno), y es un factor que varía con la frecuencia de uno a tres. A altas frecuencias, del orden de la frecuencia del plasma, la compresión del fluido de electrones es un proceso adiabático y es igual a tres. A bajas frecuencias, la compresión es un proceso isotérmico y es igual a uno. Los efectos de retardo se han despreciado al obtener la relación de dispersión de las ondas de plasma. $${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{p}^{2}+\gamma \left(\omega \right){\frac {T_{\text{e}}}{m}}\mathbf {k} ^{2}.}$$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}}$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$ ${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$ ${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$

Para bajas frecuencias, la relación de dispersión se convierte en donde está el número de Debye, que es el inverso de la longitud de Debye . Esto sugiere que el propagador es $${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}+\mathbf {k} _{\text{D}}^{2}=0}$$ $${\displaystyle k_{\text{D}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{T_{e}}}}$$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{k^{2}+k_{\text{D}}^{2}}}.}$$

De hecho, si no se desprecian los efectos de retardo, entonces la relación de dispersión es la que efectivamente produce el propagador estimado. Este propagador es el mismo que el propagador masivo de Coulomb con una masa igual a la longitud inversa de Debye. Por lo tanto, la energía de interacción es El potencial de Coulomb se tamiza en escalas de longitud de Debye. $${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+k_{\text{D}}^{2}-{\frac {m}{T_{\text{e}}}}k_{0}^{2}=0,}$$ $${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{D}}r\right).}$$

Plasmones

En un gas de electrones cuánticos , las ondas de plasma se conocen como plasmones . El cribado de Debye se reemplaza con el cribado de Thomas-Fermi para obtener ^[6] donde la inversa de la longitud del cribado de Thomas-Fermi es y es la energía de Fermi. $${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{s}}r\right)}$$ $${\displaystyle k_{\text{s}}^{2}={\frac {6\pi ne^{2}}{\varepsilon _{\text{F}}}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$ ${\textstyle \varepsilon _{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({3\pi ^{2}n}\right)^{2/3}.}$

Esta expresión se puede derivar del potencial químico de un gas de electrones y de la ecuación de Poisson . El potencial químico de un gas de electrones cerca del equilibrio es constante y está dado por dónde está el potencial eléctrico . Linealizar la energía de Fermi al primer orden en la fluctuación de densidad y combinarla con la ecuación de Poisson produce la longitud del cribado. El portador de fuerza es la versión cuántica de la onda de plasma . $${\displaystyle \mu =-e\varphi +\varepsilon _{\text{F}}}$$ ${\displaystyle \varphi }$

Dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones.

Consideramos una línea de carga con eje en la dirección z incrustada en un gas de electrones donde es la distancia en el plano xy desde la línea de carga, es el ancho del material en la dirección z. El superíndice 2 indica que la función delta de Dirac está en dos dimensiones. El propagador es donde está la longitud de cribado inversa de Debye-Hückel o la longitud de cribado inversa de Thomas-Fermi . $${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{B}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}\left(r\right)}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L_{B}}$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{\mathbf {k} ^{2}+k_{Ds}^{2}}}}$$ ${\displaystyle k_{Ds}}$

La energía de interacción es donde y son funciones de Bessel y es la distancia entre las dos cargas lineales. Para obtener la energía de interacción utilizamos las integrales (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración del propagador cilíndrico con masa ) y $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+k_{Ds}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr_{12})=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$ ${\displaystyle K_{0}(x)}$ ${\displaystyle r_{12}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}(p)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr)=K_{0}(mr).}$$

Para , tenemos ${\displaystyle k_{Ds}r_{12}\ll 1}$ $${\displaystyle K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)\to -\ln \left({\frac {k_{Ds}r_{12}}{2}}\right)+0.5772.}$$

Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético

Energía de interacción para vórtices.

Consideramos una densidad de carga en un tubo con eje a lo largo de un campo magnético incrustado en un gas de electrones donde es la distancia desde el centro guía , es el ancho del material en la dirección del campo magnético donde la frecuencia del ciclotrón es ( unidades gaussianas ) y es la velocidad de la partícula alrededor del campo magnético y B es la magnitud del campo magnético. La fórmula de la velocidad surge de igualar la energía cinética clásica al espacio entre los niveles de Landau en el tratamiento cuántico de una partícula cargada en un campo magnético. $${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{b}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L_{B}}$ $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m_{1}\omega _{c}}}}}$$ $${\displaystyle \omega _{c}={\frac {a_{1}B}{{\sqrt {4\pi }}m_{1}c}}}$$ $${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {2\hbar \omega _{c}}{m_{1}}}}}$$

En esta geometría, la energía de interacción se puede escribir donde es la distancia entre los centros de los bucles actuales y es una función de Bessel del primer tipo. Para obtener la energía de interacción utilizamos la integral $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$ ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)={\mathcal {J}}_{0}(p).}$$

Campo eléctrico debido a una perturbación de densidad.

El potencial químico cerca del equilibrio viene dado por donde está la energía potencial de un electrón en un potencial eléctrico y es el número de partículas en el gas de electrones en ausencia y en presencia de un potencial electrostático, respectivamente. $${\displaystyle \mu =-e\varphi +N\hbar \omega _{c}=N_{0}\hbar \omega _{c}}$$ ${\displaystyle -e\varphi }$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle N}$

La fluctuación de densidad es entonces el área del material en el plano perpendicular al campo magnético. $${\displaystyle \delta n={\frac {e\varphi }{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}}$$ ${\displaystyle A_{\text{M}}}$

La ecuación de Poisson produce donde $${\displaystyle \left(k^{2}+k_{B}^{2}\right)\varphi =0}$$ $${\displaystyle k_{B}^{2}={\frac {4\pi e^{2}}{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}.}$$

El propagador es entonces y la energía de interacción se convierte en donde en la segunda igualdad ( unidades gaussianas ) asumimos que los vórtices tenían la misma energía y la misma carga de electrones. $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}={\frac {1}{k^{2}+k_{B}^{2}}}}$$ $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}^{2}\left(k\right){\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}$$

En analogía con los plasmones , el portador de fuerza es la versión cuántica de la oscilación híbrida superior , que es una onda de plasma longitudinal que se propaga perpendicular al campo magnético.

Corrientes con momento angular.

Corrientes de función delta

Figura 1. Energía de interacción versus r para estados de momento angular de valor uno. Las curvas son idénticas a éstas para cualquier valor de . Las longitudes están en unidades en y la energía está en unidades de . Aquí . Tenga en cuenta que existen mínimos locales para valores grandes de . ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\displaystyle r_{\ell }}$ ${\textstyle {\frac {e^{2}}{L_{B}}}}$ ${\displaystyle r=r_{12}}$ ${\displaystyle k_{B}}$

Figura 2. Energía de interacción versus r para estados de momento angular de valor uno y cinco.

Figura 3. Energía de interacción versus r para varios valores de theta. La energía más baja es para o . La energía más alta representada es para . Las longitudes están en unidades de . ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}=1}$ ${\textstyle \theta =0.90{\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle r_{\ell \ell '}}$

Figura 4. Energías del estado fundamental para valores pares e impares de momentos angulares. La energía se representa en el eje vertical y r en el horizontal. Cuando el momento angular total es par, el mínimo de energía ocurre cuando o . Cuando el momento angular total es impar, no hay valores enteros de momentos angulares que se encuentren en el mínimo de energía. Por lo tanto, hay dos estados que se encuentran a cada lado del mínimo. Porque , la energía total es mayor que en el caso de un valor dado de . ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\textstyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \ell \neq \ell '}$ ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\displaystyle \ell ^{*}}$

A diferencia de las corrientes clásicas, los bucles de corriente cuántica pueden tener varios valores del radio de Larmor para una energía determinada. ^{[7] : 187-190} niveles de Landau , los estados de energía de una partícula cargada en presencia de un campo magnético, son múltiplesmente degenerados . Los bucles de corriente corresponden a estados de momento angular de la partícula cargada que pueden tener la misma energía. Específicamente, la densidad de carga alcanza su punto máximo alrededor de radios donde está el número cuántico del momento angular . Cuando recuperamos la situación clásica en la que el electrón orbita el campo magnético en el radio de Larmor . Si las corrientes de dos momentos angulares interactúan y asumimos que las densidades de carga son funciones delta en el radio , entonces la energía de interacción es $${\displaystyle r_{\ell }={\sqrt {\ell }}\;r_{B}\;\;\;\ell =0,1,2,\ldots }$$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell =1}$ ${\displaystyle \ell >0}$ ${\displaystyle \ell '\geq \ell }$ ${\displaystyle r_{\ell }}$ $${\displaystyle E=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{\ell }^{2}}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {\frac {\ell '}{\ell }}}\;k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac {r_{12}}{r_{\ell }}}\right).}$$

La energía de interacción para se da en la Figura 1 para varios valores de . La energía para dos valores diferentes se da en la Figura 2. ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\displaystyle k_{B}r_{\ell }}$

Cuasipartículas

Para valores grandes de momento angular, la energía puede tener mínimos locales a distancias distintas de cero e infinito. Se puede verificar numéricamente que los mínimos ocurren en $${\displaystyle r_{12}=r_{\ell \ell '}={\sqrt {\ell +\ell '}}\;r_{B}.}$$

Esto sugiere que el par de partículas que están unidas y separadas por una distancia actúan como una única cuasipartícula con momento angular . ${\displaystyle r_{\ell \ell '}}$ ${\displaystyle \ell +\ell '}$

Si escalamos las longitudes como , entonces la energía de interacción se convierte en donde ${\displaystyle r_{\ell \ell '}}$ $${\displaystyle E={\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{\ell \ell '}^{2}}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(\cos \theta \,k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}(\sin \theta \,k)\;{\mathcal {J}}_{0}{\left(k{\frac {r_{12}}{r_{\ell \ell '}}}\right)}}$$ $${\displaystyle \tan \theta ={\sqrt {\frac {\ell }{\ell '}}}.}$$

El valor de en el cual la energía es mínima, es independiente de la relación . Sin embargo, el valor de la energía mínima depende de la relación. El mínimo de energía más bajo ocurre cuando ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle r_{12}=r_{\ell \ell '}}$ ${\textstyle \tan \theta ={\sqrt {{\ell }/{\ell '}}}}$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}=1.}$$

Cuando la relación difiere de 1, entonces el mínimo de energía es mayor (Figura 3). Por lo tanto, para valores pares de momento angular total, la energía más baja ocurre cuando (Figura 4) o donde el momento angular total se escribe como $${\displaystyle \ell =\ell '=1}$$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle \ell ^{*}=\ell +\ell '.}$$

Cuando el momento angular total es impar, los mínimos no pueden ocurrir para Los estados de energía más bajos para el momento angular total impar ocurren cuando o y que también aparecen como series para el factor de llenado en el efecto Hall cuántico fraccionario . ${\displaystyle \ell =\ell '.}$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}=\;{\frac {\ell ^{*}\pm 1}{2\ell ^{*}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}},{\text{etc.,}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{7}},{\text{etc.,}}}$$

Densidad de carga repartida sobre una función de onda.

En realidad, la densidad de carga no está concentrada en una función delta. La carga se distribuye sobre una función de onda. En ese caso la densidad electrónica es ^{[7] : 189} $${\displaystyle {\frac {1}{\pi r_{B}^{2}L_{B}}}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {r}{r_{B}}}\right)^{2l}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{r_{B}^{2}}}\right).}$$

La energía de interacción se convierte en una función hipergeométrica confluente o función de Kummer . Para obtener la energía de interacción hemos utilizado la integral (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración sobre una función de onda magnética ) $${\displaystyle E=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}\;M{\left(\ell +1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right)}\;M{\left(\ell '+1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right)}\;{\mathcal {J}}_{0}{\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}}$$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\frac {2}{n!}}\int _{0}^{\infty }dr\;r^{2n+1}e^{-r^{2}}J_{0}(kr)=M\left(n+1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right).}$$

Al igual que con las cargas de función delta, el valor de en el que la energía es un mínimo local sólo depende del momento angular total, no de los momentos angulares de las corrientes individuales. Además, al igual que con las cargas de función delta, la energía mínima aumenta a medida que la relación de los momentos angulares varía de uno. Por tanto, las series y aparecen también en el caso de cargas repartidas por la función de onda. ${\displaystyle r_{12}}$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}},{\text{etc.,}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{7}},{\text{etc.,}}}$$

La función de onda de Laughlin es una alternativa a la función de onda de cuasipartícula. Si el valor esperado de la energía de interacción se toma sobre una función de onda de Laughlin , estas series también se conservan.

Magnetostática

Interacción de Darwin en el vacío

Una partícula cargada en movimiento puede generar un campo magnético que afecta el movimiento de otra partícula cargada. La versión estática de este efecto se llama interacción de Darwin . Para calcular esto, considere las corrientes eléctricas en el espacio generadas por una carga en movimiento con una expresión comparable para . $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}{\left(\mathbf {x} \right)}=a_{1}\mathbf {v} _{1}\delta ^{3}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1}\right)}}$$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

La transformada de Fourier de esta corriente es $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}{\left(\mathbf {k} \right)}=a_{1}\mathbf {v} _{1}\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{1}\right).}$$

La corriente se puede descomponer en una parte transversal y una longitudinal (ver descomposición de Helmholtz ). $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}{\left(\mathbf {k} \right)}=a_{1}\left[1-{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{1}\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{1}\right)+a_{1}\left[{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{1}\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{1}\right).}$$

El sombrero indica un vector unitario . El último término desaparece porque resulta de la conservación de la carga. Aquí desaparece porque estamos considerando fuerzas estáticas. $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} =-k_{0}J^{0}\to 0,}$$ ${\displaystyle k_{0}}$

Con la corriente en esta forma la energía de interacción se puede escribir $${\displaystyle E=a_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1-{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right).}$$

La ecuación del propagador del Proca Lagrangiano es $${\displaystyle \eta _{\mu \alpha }\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{\alpha \nu }\left(x-y\right)=\delta _{\mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(x-y\right).}$$

La solución espacial es cuál produce dónde . La integral se evalúa como (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Potencial transversal con masa ), lo que se reduce hasta el límite de m pequeño . La energía de interacción es la negativa de la interacción lagrangiana. Para dos partículas similares que viajan en la misma dirección, la interacción es atractiva, que es lo opuesto a la interacción de Coulomb. $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}},}$$ $${\displaystyle E=-a_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}}}\;\;{\frac {\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1-{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}{k^{2}+m^{2}}}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right),}$$ ${\textstyle k=|\mathbf {k} |}$ $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}e^{-mr}\left\{{\frac {2}{\left(mr\right)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)-{\frac {2}{mr}}\right\}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1+{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$$ $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1+{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$$

Interacción de Darwin en plasma.

En un plasma, la relación de dispersión de una onda electromagnética es ^{[5] : 100–103} ( ) lo que implica ${\displaystyle c=1}$ $${\displaystyle k_{0}^{2}=\omega _{p}^{2}+k^{2},}$$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {1}{k^{2}+\omega _{p}^{2}}}.}$$

Aquí está la frecuencia del plasma . Por lo tanto, la energía de interacción es ${\displaystyle \omega _{p}}$ $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1+{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\;e^{-\omega _{p}r}\left\{{\frac {2}{\left(\omega _{p}r\right)^{2}}}\left(e^{\omega _{p}r}-1\right)-{\frac {2}{\omega _{p}r}}\right\}.}$$

Interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o gas de electrones.

Energía de interacción

Considere un tubo de corriente que gira en un campo magnético incrustado en un plasma simple o gas de electrones. La corriente que se encuentra en el plano perpendicular al campo magnético se define como donde y es el vector unitario en la dirección del campo magnético. Aquí se indica la dimensión del material en la dirección del campo magnético. La corriente transversal, perpendicular al vector de onda , impulsa la onda transversal . $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(\mathbf {x} )=a_{1}v_{1}{\frac {1}{2\pi rL_{B}}}\;\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}\left({\hat {\mathbf {b} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\right)}$$ $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$ ${\displaystyle L_{B}}$

La energía de interacción es donde está la distancia entre los centros de los bucles actuales y es una función de Bessel del primer tipo. Para obtener la energía de interacción utilizamos las integrales y $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v_{1}\,v_{2}\,\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B1}\right)}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B2}\right)}{\mathcal {J}}_{0}{\left(kr_{12}\right)}}$$ ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\cos \left(\varphi \right)\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)=i{\mathcal {J}}_{1}\left(p\right).}$$

Ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración angular en coordenadas cilíndricas .

Una corriente en un plasma confinado al plano perpendicular al campo magnético genera una onda extraordinaria . ^{[5] : 110–112} Esta onda genera corrientes Hall que interactúan y modifican el campo electromagnético. La relación de dispersión para ondas extraordinarias es ^{[5] : 112,} lo que da para el propagador una analogía con el propagador de Darwin. Aquí, la frecuencia híbrida superior está dada por la frecuencia del ciclotrón ( unidades gaussianas ) y la frecuencia del plasma ( unidades gaussianas ). $${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+\omega _{p}^{2}{\frac {k_{0}^{2}-\omega _{p}^{2}}{k_{0}^{2}-\omega _{H}^{2}}}=0,}$$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}\;=\;-\left({\frac {1}{k^{2}+k_{X}^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle k_{X}\equiv {\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{H}}}}$$ $${\displaystyle \omega _{H}^{2}=\omega _{p}^{2}+\omega _{c}^{2},}$$ $${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{mc}},}$$ $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}.}$$

Aquí n es la densidad del electrón, e es la magnitud de la carga del electrón y m es la masa del electrón.

La energía de interacción se vuelve, para corrientes similares, $${\displaystyle E=-\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+k_{X}^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr_{B}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$

Límite de pequeña distancia entre bucles actuales.

En el límite en el que la distancia entre bucles de corriente es pequeña, donde y y I y K son funciones de Bessel modificadas. Hemos supuesto que las dos corrientes tienen la misma carga y velocidad. $${\displaystyle E=-E_{0}\;I_{1}{\left(\mu \right)}K_{1}{\left(\mu \right)}}$$ $${\displaystyle E_{0}=\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}}$$ $${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}}}=k_{X}\;r_{B}}$$

Hemos hecho uso de la integral (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración del propagador cilíndrico con masa ) $${\displaystyle \int _{o}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr\right)=I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right).}$$

Para mr pequeño la integral se convierte en $${\displaystyle I_{1}{\left(mr\right)}K_{1}{\left(mr\right)}\to {\frac {1}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\left(mr\right)^{2}\right].}$$

Para mr grande la integral se convierte en $${\displaystyle I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right)\rightarrow {\frac {1}{2}}\;\left({\frac {1}{mr}}\right).}$$

Relación con el efecto Hall cuántico

El número de onda de apantallamiento se puede escribir ( unidades gaussianas ), donde es la constante de estructura fina y el factor de llenado es , N es el número de electrones en el material y A es el área del material perpendicular al campo magnético. Este parámetro es importante en el efecto Hall cuántico y en el efecto Hall cuántico fraccionario . El factor de llenado es la fracción de los estados de Landau ocupados en la energía del estado fundamental. $${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}c}}=\left({\frac {2e^{2}r_{B}}{L_{B}\hbar c}}\right){\frac {\nu }{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}=2\alpha \left({\frac {r_{B}}{L_{B}}}\right)\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}\right)\nu }$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \nu ={\frac {2\pi N\hbar c}{eBA}}}$$

Para casos de interés en el efecto Hall cuántico, es pequeño. En ese caso, la energía de interacción es donde ( unidades gaussianas ) es la energía de interacción para un factor de llenado cero. Hemos fijado la energía cinética clásica en energía cuántica. ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle E=-{\frac {E_{0}}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\mu ^{2}\right]}$$ $${\displaystyle E_{0}={4\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}={8\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}\left({\frac {\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=\hbar \omega _{c}.}$$

Gravitación

El tensor tensión-energía genera una perturbación gravitacional ; en consecuencia, el lagrangiano del campo gravitacional es espín -2. Si las perturbaciones están en reposo, entonces el único componente del tensor tensión-energía que persiste es el componente. Si usamos el mismo truco de darle algo de masa al gravitón y luego llevar la masa a cero al final del cálculo, el propagador se vuelve atractivo en lugar de repulsivo. Los coeficientes son proporcionales a las masas de las perturbaciones. En el límite de masa del gravitón pequeño, recuperamos el comportamiento del cuadrado inverso de la Ley de Newton. ^{[2] : 32–37} ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle 00}$ $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {4}{3}}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}}$$ $${\displaystyle E=-{\frac {4}{3}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-mr\right),}$$

Sin embargo, a diferencia del caso electrostático, tomar el límite de masa pequeña del bosón no produce el resultado correcto. Un tratamiento más riguroso produce un factor de uno en la energía en lugar de 4/3. ^{[2] : 35}

Referencias

1. Jaeger, Gregg (2019). "¿Son las partículas virtuales menos reales?". Entropía . 21 (2): 141. Bibcode : 2019Entrp..21..141J. doi : 10.3390/e21020141 . PMC  7514619 . PMID  33266857.
2. Zee, A. (2003). La teoría cuántica de campos en pocas palabras . Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01019-6.
3. "Grupo de Física de Altas Energías - Física Hadrónica". Archivado desde el original el 17 de julio de 2011 . Consultado el 31 de agosto de 2010 .
4. "Teoría de la perturbación independiente del tiempo". virginia.edu .
5. Chen, Francis F. (1974). Introducción a la Física del Plasma . Prensa del Pleno. ISBN 0-306-30755-3.
6. C. Kittel (1976). Introducción a la Física del Estado Sólido (Quinta ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-49024-5.págs. 296-299.
7. Ezewa, Zyun F. (2008). Efectos Hall cuánticos: enfoque teórico de campo y temas relacionados (Segunda ed.). Científico mundial. ISBN 978-981-270-032-2.