Objeto libre

Adjunto izquierdo de un funtor olvidadizo a conjuntos

En matemáticas , la idea de un objeto libre es uno de los conceptos básicos del álgebra abstracta . De manera informal, un objeto libre sobre un conjunto A puede considerarse como una estructura algebraica "genérica" ​​sobre A : las únicas ecuaciones que se cumplen entre los elementos del objeto libre son las que se desprenden de los axiomas definitorios de la estructura algebraica. Algunos ejemplos son los grupos libres , las álgebras tensoriales o los retículos libres .

El concepto forma parte del álgebra universal , en el sentido de que se relaciona con todo tipo de estructura algebraica (con operaciones finitas ). También tiene una formulación en términos de teoría de categorías , aunque ésta en términos aún más abstractos.

Definición

Los objetos libres son la generalización directa a categorías de la noción de base en un espacio vectorial. Una función lineal u  : E ₁ → E ₂ entre espacios vectoriales está completamente determinada por sus valores en una base del espacio vectorial E ₁ . La siguiente definición traduce esto a cualquier categoría.

Una categoría concreta es una categoría que está dotada de un funtor fiel a Set , la categoría de los conjuntos . Sea C una categoría concreta con un funtor fiel U  : C → Set . Sea X un conjunto (es decir, un objeto en Set ), que será la base del objeto libre que se va a definir. Un objeto libre en X es un par formado por un objeto en C y una inyección (llamada inyección canónica ), que satisface la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i:X\to U(A)}$

Para cualquier objeto B en C y cualquier función entre conjuntos , existe un morfismo único en C tal que . Es decir, el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle g:X\to U(B)}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g=U(f)\circ i}$

incógnita

Si existen objetos libres en C , la propiedad universal implica que cada función entre dos conjuntos induce un morfismo único entre los objetos libres construidos sobre ellos, y esto define un funtor . De ello se deduce que, si existen objetos libres en C , el funtor F , llamado funtor libre , es un adjunto izquierdo del funtor fiel U ; es decir, existe una biyección. ${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,U(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).}$

Ejemplos

La creación de objetos libres se lleva a cabo en dos pasos. Para las álgebras que se ajustan a la ley asociativa , el primer paso es considerar la colección de todas las palabras posibles formadas a partir de un alfabeto . Luego se impone un conjunto de relaciones de equivalencia a las palabras, donde las relaciones son las relaciones definitorias del objeto algebraico en cuestión. El objeto libre consiste entonces en el conjunto de clases de equivalencia .

Consideremos, por ejemplo, la construcción del grupo libre en dos generadores . Se comienza con un alfabeto que consta de las cinco letras . En el primer paso, todavía no hay ningún significado asignado a las "letras" o ; estos se darán más adelante, en el segundo paso. Por lo tanto, se podría comenzar igualmente con el alfabeto de cinco letras que es . En este ejemplo, el conjunto de todas las palabras o cadenas incluirá cadenas como aebecede y abdc , y así sucesivamente, de longitud finita arbitraria, con las letras dispuestas en todos los órdenes posibles. ${\displaystyle \{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle b^{-1}}$ ${\displaystyle S=\{a,b,c,d,e\}}$ ${\displaystyle W(S)}$

En el siguiente paso, se impone un conjunto de relaciones de equivalencia. Las relaciones de equivalencia para un grupo son la de multiplicación por la identidad, , y la multiplicación de inversas: . Aplicando estas relaciones a las cadenas anteriores, se obtiene ${\displaystyle ge=eg=g}$ ${\displaystyle gg^{-1}=g^{-1}g=e}$

${\displaystyle aebecede=aba^{-1}b^{-1},}$

donde se entendió que es un sustituto de , y es un sustituto de , mientras que es el elemento de identidad. De manera similar, se tiene ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b^{-1}}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.}$

Denotando la relación de equivalencia o congruencia por , el objeto libre es entonces la colección de clases de equivalencia de palabras. Así, en este ejemplo, el grupo libre en dos generadores es el cociente ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle F_{2}=W(S)/\sim .}$

Esto a menudo se escribe como donde es el conjunto de todas las palabras y es la clase de equivalencia de la identidad, después de que se imponen las relaciones que definen un grupo. ${\displaystyle F_{2}=W(S)/E}$ ${\displaystyle W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$

Un ejemplo más simple son los monoides libres . El monoide libre sobre un conjunto X es el monoide de todas las cadenas finitas que utilizan X como alfabeto, con la operación de concatenación de cadenas. La identidad es la cadena vacía. En esencia, el monoide libre es simplemente el conjunto de todas las palabras, sin relaciones de equivalencia impuestas. Este ejemplo se desarrolla más en el artículo sobre la estrella de Kleene .

Caso general

En el caso general, las relaciones algebraicas no tienen por qué ser asociativas, en cuyo caso el punto de partida no es el conjunto de todas las palabras, sino cadenas puntuadas con paréntesis, que se utilizan para indicar las agrupaciones no asociativas de letras. Una cadena de este tipo puede representarse de forma equivalente mediante un árbol binario o un magma libre ; las hojas del árbol son las letras del alfabeto.

Las relaciones algebraicas pueden entonces ser aridades generales o relaciones finitas en las hojas del árbol. En lugar de comenzar con la colección de todas las posibles cadenas entre paréntesis, puede ser más conveniente comenzar con el universo de Herbrand . Describir o enumerar adecuadamente el contenido de un objeto libre puede ser fácil o difícil, dependiendo del objeto algebraico particular en cuestión. Por ejemplo, el grupo libre en dos generadores se describe fácilmente. Por el contrario, se sabe poco o nada sobre la estructura de las álgebras de Heyting libres en más de un generador. ^[1] El problema de determinar si dos cadenas diferentes pertenecen a la misma clase de equivalencia se conoce como el problema de palabras .

Como sugieren los ejemplos, los objetos libres parecen construcciones de sintaxis ; se puede revertir esto hasta cierto punto diciendo que los usos principales de la sintaxis se pueden explicar y caracterizar como objetos libres, de una manera que hace que la "puntuación" aparentemente pesada sea explicable (y más memorable). ^{[ aclaración necesaria ]}

Álgebras universales libres

Sea un conjunto y una estructura algebraica de tipo generado por . El conjunto subyacente de esta estructura algebraica , a menudo llamado su universo, se denota por . Sea una función. Decimos que (o informalmente simplemente ) es un álgebra libre de tipo en el conjunto de generadores libres si se cumple la siguiente propiedad universal: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi :S\to A}$ ${\displaystyle (A,\psi )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$

Para cada álgebra de tipo y cada función , donde es el universo de , existe un homomorfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \tau :S\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma :A\to B}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}S&\xrightarrow {\psi } &A\\&\searrow _{\tau }&\downarrow ^{\sigma }\\&&B\ \end{array}}}$

Esto significa que . ${\displaystyle \sigma \circ \psi =\tau }$

Functor libre

La configuración más general para un objeto libre está en la teoría de categorías , donde se define un funtor , el funtor libre , que es el adjunto izquierdo del funtor olvidadizo .

Consideremos una categoría C de estructuras algebraicas ; los objetos pueden considerarse conjuntos más operaciones, que obedecen a ciertas leyes. Esta categoría tiene un funtor, , el funtor olvidadizo , que asigna objetos y funciones en C a Set , la categoría de conjuntos . El funtor olvidadizo es muy simple: simplemente ignora todas las operaciones. ${\displaystyle U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$

El funtor libre F , cuando existe, es el adjunto izquierdo de U . Es decir, lleva los conjuntos X en Set a sus correspondientes objetos libres F ( X ) en la categoría C . El conjunto X puede considerarse como el conjunto de "generadores" del objeto libre F ( X ). ${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$

Para que el funtor libre sea adjunto por la izquierda, también debe existir un morfismo de conjunto . Más explícitamente, F se caracteriza, salvo isomorfismos en C , por la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle \eta _{X}:X\to U(F(X))\,\!}$

Siempre que B es un álgebra en C , y es una función (un morfismo en la categoría de conjuntos), entonces existe un C -morfismo único tal que . ${\displaystyle g\colon X\to U(B)}$ ${\displaystyle f\colon F(X)\to B}$ ${\displaystyle g=U(f)\circ \eta _{X}}$

Concretamente, esto envía un conjunto al objeto libre de ese conjunto; es la "inclusión de una base". Abuso de notación (esto abusa de la notación porque X es un conjunto, mientras que F ( X ) es un álgebra; correctamente, es ). ${\displaystyle X\to F(X)}$ ${\displaystyle X\to U(F(X))}$

La transformación natural se llama unidad ; junto con la counit , se puede construir una T-álgebra , y por tanto una mónada . ${\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF}$ ${\displaystyle \varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }}$

El funtor co-libre es el adjunto derecho del funtor olvidadizo.

Existencia

Existen teoremas generales de existencia que se aplican; el más básico de ellos garantiza que

Siempre que C es una variedad , entonces para cada conjunto X hay un objeto libre F ( X ) en C.

Aquí, una variedad es sinónimo de una categoría algebraica finitaria , lo que implica que el conjunto de relaciones es finitario y algebraico porque es monádico sobre el conjunto .

Caso general

Otros tipos de olvido también dan lugar a objetos muy parecidos a los objetos libres, en el sentido de que se dejan adjuntos a un funtor olvidadizo, no necesariamente a conjuntos.

Por ejemplo, la construcción del álgebra tensorial en un espacio vectorial es el adjunto izquierdo del funtor en álgebras asociativas que ignoran la estructura del álgebra. Por lo tanto, a menudo también se la denomina álgebra libre . Del mismo modo, el álgebra simétrica y el álgebra exterior son álgebras simétricas y antisimétricas libres en un espacio vectorial.

Lista de objetos libres

Los tipos específicos de objetos libres incluyen:

• álgebra libre
  • álgebra asociativa libre
  • álgebra conmutativa libre
• categoría libre
  • Categoría monoidal estricta libre
• grupo libre
  • grupo abeliano libre
  • grupo parcialmente conmutativo libre
• Álgebra de Kleene libre
• celosía libre
  • álgebra de Boole libre
  • red distributiva libre
  • Álgebra de Heyting libre
  • celosía modular libre
• Álgebra de Lie libre
• magma libre
• módulo libre , y en particular, espacio vectorial
• monoide libre
  • monoide conmutativo libre
  • monoide parcialmente conmutativo libre
• anillo libre
• semigrupo libre
• Semianillo libre
  • Semianillo conmutativo libre
• teoría libre
• álgebra de términos
• espacio discreto

Véase también

• Grupo electrógeno

Notas

1. Peter T. Johnstone, Stone Spaces , (1982) Cambridge University Press, ISBN  0-521-23893-5 . (En el capítulo 1, sección 4.11, se ofrece un tratamiento del álgebra de Heyting libre de un generador)

Enlaces externos

• En nLab : functor libre, objeto libre, espacio vectorial