Álgebra de mentira libre

En matemáticas , un álgebra de Lie libre sobre un campo K es un álgebra de Lie generada por un conjunto X , sin ninguna relación impuesta más que las relaciones definitorias de K -bilinealidad alterna y la identidad de Jacobi .

Definición

La definición del álgebra de Lie libre generada por un conjunto X es la siguiente:

Sea X un conjunto y un morfismo de conjuntos ( función ) de X en un álgebra de Lie L. El álgebra de Lie L se llama libre en X si es el morfismo universal ; es decir, si para cualquier álgebra A de Lie con un morfismo de conjuntos , existe un morfismo de álgebra de Lie único tal que . ${\displaystyle i\colon X\to L}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f\colon X\to A}$ ${\displaystyle g\colon L\to A}$ ${\displaystyle f=g\circ i}$

Dado un conjunto X , se puede demostrar que existe un álgebra de Lie libre única generada por X. ${\displaystyle L(X)}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , el funtor que envía un conjunto X al álgebra de Lie generada por X es el funtor libre de la categoría de conjuntos a la categoría de álgebras de Lie. Es decir, se deja adjunto al functor olvidadizo .

El álgebra de Lie libre en un conjunto X se califica naturalmente . El componente de 1 grado del álgebra de Lie libre es solo el espacio vectorial libre en ese conjunto.

Alternativamente, se puede definir un álgebra de Lie libre en un espacio vectorial V como adjunto izquierdo al functor olvidadizo desde álgebras de Lie sobre un campo K hasta espacios vectoriales sobre el campo K , olvidando la estructura del álgebra de Lie, pero recordando la estructura del espacio vectorial.

Álgebra envolvente universal

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie libre en un conjunto X es el álgebra asociativa libre generada por X. Según el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, tiene "el mismo tamaño" que el álgebra simétrica del álgebra de Lie libre (lo que significa que si ambos lados se clasifican dando elementos de X grado 1, entonces son isomórficos como espacios vectoriales graduados). Esto se puede utilizar para describir la dimensión de la pieza del álgebra de Lie libre de cualquier grado determinado.

Ernst Witt demostró que el número de conmutadores básicos de grado k en el álgebra de Lie libre en un conjunto de m elementos viene dado por el polinomio del collar :

${\displaystyle M_{m}(k)={\frac {1}{k}}\sum _{d|k}\mu (d)\cdot m^{k/d},}$

¿Dónde está la función de Möbius ? ${\displaystyle \mu }$

El dual graduado del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie libre en un conjunto finito es el álgebra aleatoria . Esto se debe esencialmente a que las álgebras envolventes universales tienen la estructura de un álgebra de Hopf , y el producto aleatorio describe la acción de la comultiplicación en esta álgebra. Consulte álgebra tensorial para obtener una exposición detallada de la interrelación entre el producto aleatorio y la comultiplicación.

Conjuntos de pasillo

Se puede dar una base explícita del álgebra de Lie libre en términos de un conjunto de Hall , que es un tipo particular de subconjunto dentro del magma libre en X. Los elementos del magma libre son árboles binarios , con sus hojas etiquetadas por elementos de X. Los decorados de sala fueron introducidos por Marshall Hall  (1950) basándose en el trabajo de Philip Hall sobre grupos. Posteriormente, Wilhelm Magnus demostró que surgen como el álgebra de Lie graduada asociada con la filtración en un grupo libre dado por la serie central inferior . Esta correspondencia fue motivada por identidades de conmutadores en teoría de grupos debido a Philip Hall y Witt.

base lyndon

Las palabras de Lyndon son un caso especial de las palabras de Hall , por lo que en particular existe una base del álgebra de Lie libre correspondiente a las palabras de Lyndon. Esto se llama base Lyndon , en honor a Roger Lyndon . (Esto también se llama base Chen-Fox-Lyndon o base Lyndon-Shirshov, y es esencialmente lo mismo que la base Shirshov ). Hay una biyección γ de las palabras Lyndon en un alfabeto ordenado a una base de la mentira libre. álgebra en este alfabeto se define de la siguiente manera:

• Si una palabra w tiene longitud 1 entonces (considerada como un generador del álgebra de Lie libre). ${\displaystyle \gamma (w)=w}$
• Si w tiene una longitud de al menos 2, entonces escriba para las palabras de Lyndon u , v con v lo más larga posible (la "factorización estándar" ^[1] ). Entonces . ${\displaystyle w=uv}$ ${\displaystyle \gamma (w)=[\gamma (u),\gamma (v)]}$

Teorema de Shirshov-Witt

Anatoly Širšov  (1953) y Witt  (1956) demostraron que cualquier subálgebra de Lie de un álgebra de Lie libre es en sí misma un álgebra de Lie libre.

Aplicaciones

El teorema de Serre sobre un álgebra de Lie semisimple utiliza un álgebra de Lie libre para construir un álgebra semisimple a partir de generadores y relaciones.

Las invariantes de Milnor de un grupo de enlaces están relacionadas con el álgebra de Lie libre sobre los componentes del enlace , como se analiza en ese artículo.

Véase también Operada de Lie para conocer el uso de un álgebra de Lie libre en la construcción de la operada.

Ver también

• Objeto libre
• Álgebra libre
• grupo libre

Referencias

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