Mecánica matricial

Formulación de la mecánica cuántica.

La mecánica matricial es una formulación de la mecánica cuántica creada por Werner Heisenberg , Max Born y Pascual Jordan en 1925. Fue la primera formulación conceptualmente autónoma y lógicamente consistente de la mecánica cuántica. Su explicación de los saltos cuánticos suplantó las órbitas electrónicas del modelo de Bohr . Lo hizo interpretando las propiedades físicas de las partículas como matrices que evolucionan en el tiempo. Es equivalente a la formulación ondulatoria de Schrödinger de la mecánica cuántica, como se manifiesta en la notación bra-ket de Dirac .

En cierto contraste con la formulación ondulatoria, produce espectros de operadores (principalmente de energía) mediante métodos de operadores de escalera puramente algebraicos . ^[1] Basándose en estos métodos, Wolfgang Pauli derivó el espectro del átomo de hidrógeno en 1926, ^[2] antes del desarrollo de la mecánica ondulatoria.

Desarrollo de la mecánica matricial.

En 1925, Werner Heisenberg , Max Born y Pascual Jordan formularon la representación de la mecánica matricial de la mecánica cuántica.

Epifanía en Helgoland

En 1925, Werner Heisenberg trabajaba en Göttingen en el problema de calcular las líneas espectrales del hidrógeno . En mayo de 1925 empezó a intentar describir sistemas atómicos únicamente mediante observables . El 7 de junio, después de semanas de no poder aliviar su fiebre del heno con aspirina y cocaína, ^[3] Heisenberg partió hacia la isla libre de polen de Helgoland , en el Mar del Norte . Mientras estaba allí, mientras escalaba y memorizaba poemas del West-östlicher Diwan de Goethe , continuó reflexionando sobre la cuestión espectral y finalmente se dio cuenta de que adoptar observables no conmutables podría resolver el problema. Más tarde escribió:

Eran alrededor de las tres de la noche cuando tuve ante mí el resultado final del cálculo. Al principio me sentí profundamente conmocionado. Estaba tan emocionado que no podía pensar en dormir. Así que salí de casa y esperé el amanecer en lo alto de una roca. ^{[4] : 275}

Los tres artículos fundamentales

Después de su regreso a Gotinga, Heisenberg mostró sus cálculos a Wolfgang Pauli y en un momento comentó:

Todo sigue siendo vago y poco claro para mí, pero parece que los electrones ya no se moverán en sus órbitas. ^[5]

El 9 de julio, Heisenberg entregó el mismo artículo de sus cálculos a Max Born, diciendo que "había escrito un artículo loco y no se atrevía a enviarlo para su publicación, y que Born debería leerlo y aconsejarlo" antes de su publicación. Luego, Heisenberg se alejó por un tiempo, dejando a Born para analizar el artículo. ^[6]

En el artículo, Heisenberg formuló la teoría cuántica sin órbitas de electrones definidas. Hendrik Kramers había calculado anteriormente las intensidades relativas de las líneas espectrales en el modelo de Sommerfeld interpretando los coeficientes de Fourier de las órbitas como intensidades. Pero su respuesta, como todos los demás cálculos de la antigua teoría cuántica , sólo fue correcta para órbitas grandes .

Heisenberg, después de una colaboración con Kramers, ^[7] comenzó a comprender que las probabilidades de transición no eran cantidades del todo clásicas, porque las únicas frecuencias que aparecen en la serie de Fourier deberían ser las que se observan en los saltos cuánticos, no las ficticias que provienen del análisis de Fourier de órbitas clásicas agudas. Reemplazó la serie clásica de Fourier con una matriz de coeficientes, un análogo cuántico difuso de la serie de Fourier. Clásicamente, los coeficientes de Fourier dan la intensidad de la radiación emitida , por lo que en la mecánica cuántica la magnitud de los elementos de la matriz del operador de posición era la intensidad de la radiación en el espectro de líneas brillantes. Las cantidades en la formulación de Heisenberg eran la posición y el impulso clásicos, pero ahora ya no estaban claramente definidos. Cada cantidad estuvo representada por una colección de coeficientes de Fourier con dos índices, correspondientes a los estados inicial y final. ^[8]

Cuando Born leyó el artículo, reconoció que la formulación podía transcribirse y extenderse al lenguaje sistemático de matrices , ^[9] que había aprendido de su estudio con Jakob Rosanes ^[10] en la Universidad de Breslau . Born, con la ayuda de su asistente y exalumno Pascual Jordán, comenzó inmediatamente a realizar la transcripción y ampliación, y presentaron sus resultados para su publicación; el artículo se recibió para su publicación sólo 60 días después del artículo de Heisenberg. ^[11]

Los tres autores presentaron un artículo de seguimiento para su publicación antes de fin de año. ^{[12] (En un artículo de} Jeremy Bernstein se puede encontrar una breve reseña del papel de Born en el desarrollo de la formulación de la mecánica matricial de la mecánica cuántica junto con una discusión de la fórmula clave que involucra la no conmutatividad de las amplitudes de probabilidad. [ ^{13 ]} Se puede encontrar un relato histórico y técnico detallado en el libro de Mehra y Rechenberg ^The Historical Development of Quantum Theory Volumen 3. The Formulation of Matrix Mechanics and Its Modifications 1925-1926 .

Los tres papeles fundamentales:

• W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (recibido el 29 de julio de 1925). [Traducción al inglés en: BL van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN  0-486-61881-1 (Título en inglés: Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations ).]
• M. Born y P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (recibido el 27 de septiembre de 1925). [Traducción al inglés en: BL van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (Título en inglés: On Quantum Mechanics ).] 
• M. Born, W. Heisenberg y P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1926 (recibido el 16 de noviembre de 1925). [Traducción al inglés en: BL van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (Título en inglés: On Quantum Mechanics II ).] 

Hasta ese momento, los físicos rara vez utilizaban matrices; se los consideraba pertenecientes al ámbito de las matemáticas puras. Gustav Mie los había utilizado en un artículo sobre electrodinámica en 1912 y Born los había utilizado en su trabajo sobre la teoría reticular de los cristales en 1921. Si bien en estos casos se utilizaron matrices, el álgebra de matrices con su multiplicación no entró en escena como lo hicieron en la formulación matricial de la mecánica cuántica. ^[15]

Born, sin embargo, había aprendido álgebra matricial de Rosanes, como ya se señaló, pero también había aprendido la teoría de Hilbert de ecuaciones integrales y formas cuadráticas para un número infinito de variables, como se desprende de una cita de Born de la obra de Hilbert Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen publicado en 1912. ^{[16] [17]}

Jordania también estaba bien equipada para la tarea. Durante varios años, había sido asistente de Richard Courant en Göttingen en la preparación del libro de Courant y David Hilbert Methoden der mathematischen Physik I , que se publicó en 1924. ^[18] Este libro, fortuitamente, contenía una gran muchas de las herramientas matemáticas necesarias para el desarrollo continuo de la mecánica cuántica.

En 1926, John von Neumann se convirtió en asistente de David Hilbert y acuñaría el término espacio de Hilbert para describir el álgebra y el análisis que se utilizaron en el desarrollo de la mecánica cuántica. ^{[19] [20]}

Una contribución fundamental a esta formulación se logró en el artículo de reinterpretación/síntesis de Dirac de 1925, ^[21] que inventó el lenguaje y el marco habitualmente empleado hoy en día, en plena exhibición de la estructura no conmutativa de toda la construcción.

El razonamiento de Heisenberg

Antes de la mecánica matricial, la antigua teoría cuántica describía el movimiento de una partícula siguiendo una órbita clásica, con posición y momento bien definidos X ( t ), P ( t ), con la restricción de que la integral de tiempo sobre un período T del momento sea multiplicada por la velocidad debe ser un múltiplo entero positivo de la constante de Planck

$${\displaystyle \int _{0}^{T}P\;{dX \over dt}\;dt=\int _{0}^{T}P\;dX=nh.}$$

E _n

Cuando una partícula clásica está débilmente acoplada a un campo de radiación, de modo que se puede despreciar la amortiguación radiativa, emitirá radiación en un patrón que se repite en cada período orbital . Las frecuencias que componen la onda saliente son entonces múltiplos enteros de la frecuencia orbital, y esto es un reflejo del hecho de que X ( t ) es periódica, de modo que su representación de Fourier tiene frecuencias 2π n / T únicamente.

$${\displaystyle X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi int/T}X_{n}.}$$

X _nnúmeros complejosconjugados complejosXt

$${\displaystyle X_{n}=X_{-n}^{*}.}$$

Una partícula de mecánica cuántica, por otro lado, no puede emitir radiación de forma continua; sólo puede emitir fotones. Suponiendo que la partícula cuántica comenzó en la órbita número n , emitió un fotón y luego terminó en la órbita número m , la energía del fotón es En _- E _m , lo que significa que su frecuencia es ( E _n - E m ₎ / h .

Para n y m grandes , pero con n − m relativamente pequeños, estas son las frecuencias clásicas según el principio de correspondencia de Bohr.

$${\displaystyle E_{n}-E_{m}\approx h(n-m)/T.}$$

Tnmhnmnm

Dado que las frecuencias que emite la partícula son las mismas que las frecuencias en la descripción de Fourier de su movimiento, esto sugiere que algo en la descripción de la partícula dependiente del tiempo está oscilando con la frecuencia ( E _n − E _m )/ h . Heisenberg llamó a esta cantidad X _nm y exigió que se redujera a los coeficientes clásicos de Fourier en el límite clásico. Para valores grandes de n , m pero con n − m relativamente pequeños, X _nm es el ( n − m ) ésimo coeficiente de Fourier del movimiento clásico en la órbita n . Dado que X _nm tiene una frecuencia opuesta a X _mn , la condición de que X sea real se convierte en

$${\displaystyle X_{nm}=X_{mn}^{*}.}$$

Por definición, X _nm sólo tiene la frecuencia ( E _n − E _m )/ h , por lo que su evolución temporal es simple:

$${\displaystyle X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)=e^{i(E_{n}-E_{m})t/\hbar }X_{nm}(0).}$$

Dadas dos matrices X _nm y P _nm que describen dos cantidades físicas, Heisenberg podría formar una nueva matriz del mismo tipo combinando los términos X _nk P _km , que también oscilan con la frecuencia correcta. Dado que los coeficientes de Fourier del producto de dos cantidades es la convolución de los coeficientes de Fourier de cada una por separado, la correspondencia con las series de Fourier permitió a Heisenberg deducir la regla por la cual se debían multiplicar los arreglos,

$${\displaystyle (XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn}.}$$

Born señaló que esta es la ley de la multiplicación de matrices , de modo que la posición, el momento, la energía, todas las cantidades observables en la teoría, se interpretan como matrices. Según esta regla de multiplicación, el producto depende del orden: XP es diferente de PX .

La matriz X es una descripción completa del movimiento de una partícula de la mecánica cuántica. Debido a que las frecuencias en el movimiento cuántico no son múltiplos de una frecuencia común, los elementos de la matriz no pueden interpretarse como los coeficientes de Fourier de una trayectoria clásica cerrada . Sin embargo, como matrices, X ( t ) y P ( t ) satisfacen las ecuaciones clásicas de movimiento; Véase también el teorema de Ehrenfest, a continuación.

Conceptos básicos de matrices

Cuando fue introducida por Werner Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan en 1925, la mecánica matricial no fue aceptada de inmediato y fue fuente de controversia al principio. La posterior introducción de la mecánica ondulatoria por parte de Schrödinger fue muy favorecida.

Parte de la razón fue que la formulación de Heisenberg estaba en un lenguaje matemático extraño para la época, mientras que la formulación de Schrödinger se basaba en ecuaciones de onda familiares. Pero también había una razón sociológica más profunda. La mecánica cuántica se había desarrollado por dos caminos, uno liderado por Einstein, quien enfatizó la dualidad onda-partícula que propuso para los fotones, y el otro liderado por Bohr, que enfatizó los estados de energía discretos y los saltos cuánticos que descubrió Bohr. De Broglie había reproducido los estados de energía discretos dentro del marco de Einstein: la condición cuántica es la condición de onda estacionaria, y esto dio esperanzas a los de la escuela de Einstein de que todos los aspectos discretos de la mecánica cuántica quedarían incluidos en una mecánica ondulatoria continua.

La mecánica matricial, por otra parte, provino de la escuela de Bohr, que se ocupaba de los estados de energía discretos y los saltos cuánticos. Los seguidores de Bohr no apreciaban los modelos físicos que representaban a los electrones como ondas, ni como nada en absoluto. Prefirieron centrarse en las cantidades que estaban directamente relacionadas con los experimentos.

En física atómica, la espectroscopia proporcionó datos de observación sobre las transiciones atómicas que surgen de las interacciones de los átomos con los cuantos de luz . La escuela de Bohr exigía que en la teoría sólo aparecieran aquellas cantidades que en principio eran mensurables mediante espectroscopia. Estas cantidades incluyen los niveles de energía y sus intensidades pero no incluyen la ubicación exacta de una partícula en su órbita de Bohr. Es muy difícil imaginar un experimento que pueda determinar si un electrón en el estado fundamental de un átomo de hidrógeno está a la derecha o a la izquierda del núcleo. Tenía la profunda convicción de que esas preguntas no tenían respuesta.

La formulación matricial se basó en la premisa de que todos los observables físicos están representados por matrices, cuyos elementos están indexados por dos niveles de energía diferentes. ^[22] Finalmente se entendió que el conjunto de valores propios de la matriz era el conjunto de todos los valores posibles que puede tener lo observable. Dado que las matrices de Heisenberg son hermitianas , los valores propios son reales.

Si se mide un observable y el resultado es un determinado valor propio, el vector propio correspondiente es el estado del sistema inmediatamente después de la medición. El acto de medición en la mecánica matricial "colapsa" el estado del sistema. Si se miden dos observables simultáneamente, el estado del sistema colapsa a un vector propio común de los dos observables. Dado que la mayoría de las matrices no tienen vectores propios en común, la mayoría de los observables nunca pueden medirse con precisión al mismo tiempo. Este es el principio de incertidumbre .

Si dos matrices comparten sus vectores propios, se pueden diagonalizar simultáneamente. En el caso de que ambas sean diagonales, está claro que su producto no depende de su orden porque la multiplicación de matrices diagonales es solo multiplicación de números. El principio de incertidumbre, por el contrario, es una expresión del hecho de que a menudo dos matrices A y B no siempre conmutan, es decir, que AB − BA no necesariamente es igual a 0. La relación de conmutación fundamental de la mecánica matricial,

$${\displaystyle \sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})=i\hbar \,\delta _{nm}}$$

no existen estados que tengan simultáneamente una posición y un impulso definidos

Este principio de incertidumbre también se aplica a muchos otros pares de observables. Por ejemplo, la energía tampoco conmuta con la posición, por lo que es imposible determinar con precisión la posición y la energía de un electrón en un átomo.

premio Nobel

En 1928, Albert Einstein nominó a Heisenberg, Born y Jordan para el Premio Nobel de Física . ^[23] El anuncio del Premio Nobel de Física de 1932 se retrasó hasta noviembre de 1933. ^[24] Fue en ese momento cuando se anunció que Heisenberg había ganado el Premio de 1932 "por la creación de la mecánica cuántica, cuya aplicación ha conducido, entre otras cosas, al descubrimiento de las formas alotrópicas del hidrógeno" ^[25] y Erwin Schrödinger y Paul Adrien Maurice Dirac compartieron el Premio de 1933 "por el descubrimiento de nuevas formas productivas de la teoría atómica". ^[25]

Bien podría preguntarse por qué Born no recibió el premio en 1932, junto con Heisenberg, y Bernstein ofrece especulaciones al respecto. Uno de ellos se refiere a que Jordan se unió al Partido Nazi el 1 de mayo de 1933 y se convirtió en un soldado de asalto . ^[26] Las afiliaciones partidistas de Jordan y los vínculos de Jordan con Born bien pueden haber afectado las posibilidades de Born de ganar el premio en ese momento. Bernstein señala además que cuando Born finalmente ganó el premio en 1954, Jordan todavía estaba vivo, mientras que el premio se otorgó por la interpretación estadística de la mecánica cuántica, atribuible únicamente a Born. ^[27]

Las reacciones de Heisenberg cuando Born recibió el premio en 1932 y cuando Born recibió el premio en 1954 también son instructivas para evaluar si Born debería haber compartido el premio con Heisenberg. El 25 de noviembre de 1933, Born recibió una carta de Heisenberg en la que decía que se había retrasado en escribir debido a una "mala conciencia" de que sólo él había recibido el premio "por el trabajo realizado en Göttingen en colaboración: usted, Jordan y yo". ". Heisenberg continuó diciendo que la contribución de Born y Jordan a la mecánica cuántica no puede cambiarse mediante "una decisión equivocada desde el exterior". ^[28]

En 1954, Heisenberg escribió un artículo en honor a Max Planck por su visión de 1900. En el artículo, Heisenberg le dio crédito a Born y Jordan por la formulación matemática final de la mecánica matricial y Heisenberg continuó enfatizando cuán grandes fueron sus contribuciones a la mecánica cuántica, que fueron no "adecuadamente reconocido ante el público". ^[29]

desarrollo matematico

Una vez que Heisenberg introdujo las matrices para X y P , pudo encontrar sus elementos matriciales en casos especiales mediante conjeturas, guiado por el principio de correspondencia. Dado que los elementos de la matriz son los análogos de la mecánica cuántica de los coeficientes de Fourier de las órbitas clásicas, el caso más simple es el oscilador armónico , donde la posición y el momento clásicos, X ( t ) y P ( t ), son sinusoidales.

Oscilador armónico

En unidades donde la masa y la frecuencia del oscilador son iguales a uno (ver adimensionalización ), la energía del oscilador es

$${\displaystyle H={1 \over 2}\left(P^{2}+X^{2}\right).}$$

Los conjuntos de niveles de H son las órbitas en el sentido de las agujas del reloj y son círculos anidados en el espacio de fases. La órbita clásica con energía E es

$${\displaystyle X(t)={\sqrt {2E}}\cos(t),\qquad P(t)=-{\sqrt {2E}}\sin(t)~.}$$

La antigua condición cuántica dicta que la integral de P dX sobre una órbita, que es el área del círculo en el espacio de fases, debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck . El área del círculo de radio √ 2 E es 2 πE . Entonces

$${\displaystyle E={\frac {nh}{2\pi }}=n\hbar \,,}$$

unidades naturalesħ = 1

Las componentes de Fourier de X ( t ) y P ( t ) son simples, y más si se combinan en las cantidades

$${\displaystyle A(t)=X(t)+iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{-it},\quad A^{\dagger }(t)=X(t)-iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{it}.}$$

AA ^†XP

Dado que A ( t ) tiene una serie de Fourier clásica con solo la frecuencia más baja, y el elemento de la matriz A _mn es el ( m − n ) -ésimo coeficiente de Fourier de la órbita clásica, la matriz para A es distinta de cero solo en la línea justo arriba la diagonal, donde es igual a √ 2 E _n . La matriz para A ^† también es distinta de cero en la línea debajo de la diagonal, con los mismos elementos. Por tanto, a partir de A y A ^† , la reconstrucción produce

$${\displaystyle {\sqrt {2}}X(0)={\sqrt {\hbar }}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1}}&0&{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle {\sqrt {2}}P(0)={\sqrt {\hbar }}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&i{\sqrt {3}}&0&-i{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}},}$$

hermitianas

Encontrar X ( t ) y P ( t ) es directo, ya que son coeficientes cuánticos de Fourier por lo que evolucionan simplemente con el tiempo,

$${\displaystyle X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},\quad P_{mn}(t)=P_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t}~.}$$

El producto matricial de X y P no es hermitiano, sino que tiene una parte real y una imaginaria. La parte real es la mitad de la expresión simétrica XP + PX , mientras que la parte imaginaria es proporcional al conmutador.

$${\displaystyle [X,P]=(XP-PX).}$$

XP − PXiħidentidad

También es sencillo verificar que la matriz

$${\displaystyle H={1 \over 2}(X^{2}+P^{2})}$$

matriz diagonalvalores propios E _i

Conservacion de energia

El oscilador armónico es un caso importante. Encontrar las matrices es más fácil que determinar las condiciones generales a partir de estas formas especiales. Por este motivo, Heisenberg investigó el oscilador anarmónico , con el hamiltoniano

$${\displaystyle H={1 \over 2}P^{2}+{1 \over 2}X^{2}+\varepsilon X^{3}~.}$$

En este caso, las matrices X y P ya no son matrices simples fuera de la diagonal, ya que las órbitas clásicas correspondientes están ligeramente aplastadas y desplazadas, de modo que tienen coeficientes de Fourier en cada frecuencia clásica. Para determinar los elementos matriciales, Heisenberg requirió que las ecuaciones clásicas de movimiento se obedecieran como ecuaciones matriciales,

$${\displaystyle {dX \over dt}=P\quad {dP \over dt}=-X-3\varepsilon X^{2}~.}$$

Se dio cuenta de que si esto podía hacerse, entonces H , considerada como una función matricial de X y P , tendría derivada temporal cero.

$${\displaystyle {dH \over dt}=P*{dP \over dt}+(X+3\varepsilon X^{2})*{dX \over dt}=0~,}$$

A ∗ Banticonmutador

$${\displaystyle A*B={1 \over 2}(AB+BA)~.}$$

Dado que todos los elementos fuera de la diagonal tienen una frecuencia distinta de cero; El hecho de que H sea constante implica que H es diagonal. Para Heisenberg estaba claro que en este sistema la energía podía conservarse exactamente como en un sistema cuántico arbitrario, una señal muy alentadora.

El proceso de emisión y absorción de fotones parecía exigir que la conservación de la energía se mantuviera en el mejor de los casos en promedio. Si una onda que contiene exactamente un fotón pasa sobre algunos átomos y uno de ellos la absorbe, ese átomo necesita decirles a los demás que ya no pueden absorber el fotón. Pero si los átomos están muy separados, ninguna señal puede llegar a los otros átomos a tiempo, y de todos modos podrían terminar absorbiendo el mismo fotón y disipando la energía al medio ambiente. Cuando la señal les llegara, los otros átomos tendrían que recuperar de alguna manera esa energía. Esta paradoja llevó a Bohr, Kramers y Slater a abandonar la conservación exacta de la energía. El formalismo de Heisenberg, cuando se extendió para incluir el campo electromagnético, obviamente iba a eludir este problema, un indicio de que la interpretación de la teoría implicará el colapso de la función de onda .

Truco de diferenciación: relaciones de conmutación canónicas

Exigir que se preserven las ecuaciones clásicas de movimiento no es una condición lo suficientemente fuerte para determinar los elementos de la matriz. La constante de Planck no aparece en las ecuaciones clásicas, de modo que las matrices podrían construirse para muchos valores diferentes de ħ y aún así satisfacer las ecuaciones de movimiento, pero con diferentes niveles de energía.

Entonces, para implementar su programa, Heisenberg necesitaba usar la antigua condición cuántica para fijar los niveles de energía, luego completar las matrices con coeficientes de Fourier de las ecuaciones clásicas, luego alterar ligeramente los coeficientes de las matrices y los niveles de energía para asegurarse de que Se satisfacen las ecuaciones clásicas. Es evidente que esto no es satisfactorio. Las antiguas condiciones cuánticas se refieren al área encerrada por las órbitas clásicas agudas, que no existen en el nuevo formalismo.

Lo más importante que descubrió Heisenberg es cómo traducir la antigua condición cuántica en un enunciado simple en mecánica matricial.

Para ello, investigó la integral de acción como cantidad matricial,

$${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn} \over dt}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle ?}{\approx }}\,\,J_{mn}~.}$$

Hay varios problemas con esta integral, todos derivados de la incompatibilidad del formalismo matricial con la antigua imagen de las órbitas. ¿Qué período T se debe utilizar? Semiclásicamente , debería ser m o n , pero la diferencia es el orden ħ , y se busca una respuesta al orden ħ . La condición cuántica nos dice que J _mn es 2π n en la diagonal, por lo que el hecho de que J sea clásicamente constante nos dice que los elementos fuera de la diagonal son cero.

Su idea crucial fue diferenciar la condición cuántica con respecto a n . Esta idea sólo tiene pleno sentido en el límite clásico, donde n no es un número entero sino la variable de acción continua J , pero Heisenberg realizó manipulaciones análogas con matrices, donde las expresiones intermedias son a veces diferencias discretas y a veces derivadas.

En la siguiente discusión, en aras de la claridad, la diferenciación se realizará en las variables clásicas y la transición a la mecánica matricial se realizará posteriormente, guiada por el principio de correspondencia.

En el contexto clásico, la derivada es la derivada con respecto a J de la integral que define a J , por lo que es tautológicamente igual a 1.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}{d \over dJ}\int _{0}^{T}PdX=1\\&=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}+P{d \over dJ}{dX \over dt}\right)\\&=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}-{dP \over dt}{dX \over dJ}\right)\end{aligned}}}$$

dPdJdXdJJdPdtdXdt

La expresión final se aclara introduciendo la variable canónicamente conjugada a J , que se llama variable de ángulo θ : La derivada con respecto al tiempo es una derivada con respecto a θ , hasta un factor de 2π T ,

$${\displaystyle {2\pi \over T}\int _{0}^{T}dt\left({dp \over dJ}{dX \over d\theta }-{dP \over d\theta }{dX \over dJ}\right)=1\,.}$$

soporte de PoissonXP.

Una diferenciación análoga de la serie de Fourier de P dX demuestra que los elementos fuera de la diagonal del corchete de Poisson son todos cero. El paréntesis de Poisson de dos variables canónicamente conjugadas, como X y P , es el valor constante 1, por lo que esta integral en realidad es el valor promedio de 1; entonces es 1, como sabíamos desde el principio, porque después de todo es dJ/dJ . Pero Heisenberg, Born y Jordan, a diferencia de Dirac, no estaban familiarizados con la teoría de los corchetes de Poisson, por lo que, para ellos, la diferenciación evaluaba efectivamente { X, P } en coordenadas J, θ .

El soporte de Poisson, a diferencia de la integral de acción, tiene una traducción simple a la mecánica matricial: normalmente corresponde a la parte imaginaria del producto de dos variables, el conmutador .

Para ver esto, examine el producto (antisimetrizado) de dos matrices A y B en el límite de correspondencia, donde los elementos de la matriz son funciones del índice que varían lentamente, teniendo en cuenta que la respuesta es cero clásicamente.

En el límite de correspondencia, cuando los índices m , n son grandes y cercanos, mientras que k , r son pequeños, la tasa de cambio de los elementos de la matriz en la dirección diagonal es el elemento de la matriz de la derivada J de la cantidad clásica correspondiente. Entonces es posible desplazar cualquier elemento de la matriz diagonalmente a través de la correspondencia,

$${\displaystyle A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({dA \over dJ}\right)_{mn}}$$

mndAdJm

La derivada temporal semiclásica de un elemento de la matriz se obtiene hasta un factor de i multiplicando por la distancia desde la diagonal,

$${\displaystyle ikA_{m(m+k)}\approx \left({T \over 2\pi }{dA \over dt}\right)_{m(m+k)}=\left({dA \over d\theta }\right)_{m(m+k)}\,.}$$

A _{m ( m + k )}k'ésimom

La parte imaginaria del producto de A y B se puede evaluar desplazando los elementos de la matriz para reproducir la respuesta clásica, que es cero.

El residuo principal distinto de cero viene dado entonces en su totalidad por el desplazamiento. Dado que todos los elementos de la matriz están en índices que tienen una pequeña distancia de la posición del índice grande ( m , m ), es útil introducir dos notaciones temporales: A [ r , k ] = A _{( m + r )( m + k )} para las matrices, y ( dA / dJ )[ r ] para las r'ésimas componentes de Fourier de cantidades clásicas,

$${\displaystyle {\begin{aligned}(AB-BA)[0,k]&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }\left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k]B[0,r]\right)\\&=\sum _{r}\left(\;A[-r+k,k]+(r-k){dA \over dJ}[r]\;\right)\left(\;B[0,k-r]+r{dB \over dJ}[r-k]\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.\end{aligned}}}$$

Al invertir la variable de suma en la primera suma de r a r' = k − r , el elemento de la matriz se convierte en,

$${\displaystyle \sum _{r'}(\;A[r',k]-r'{dA \over dJ}[k-r']\;)\left(\;B[0,r']+(k-r'){dB \over dJ}[r']\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]}$$

La parte cuántica principal, sin tener en cuenta el producto de las derivadas de orden superior en la expresión residual, es entonces igual a

$${\displaystyle \sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r'](k-r')A[r',k]-{dA \over dJ}[k-r']r'B[0,r']\right)}$$

$${\displaystyle (AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r']i{dA \over d\theta }[k-r']-{dA \over dJ}[k-r']i{dB \over d\theta }[r']\right)}$$

ik

El truco de diferenciación original de Heisenberg se extendió finalmente a una derivación semiclásica completa de la condición cuántica, en colaboración con Born y Jordan. Una vez que pudieron establecer que

$${\displaystyle i\hbar \{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \qquad \longmapsto \qquad \qquad [X,P]\equiv XP-PX=i\hbar \,,}$$

PX

Se suponía que la nueva regla de cuantificación era universalmente cierta , aunque la derivación de la antigua teoría cuántica requería un razonamiento semiclásico. (Sin embargo, en la década de 1940 se apreció que un tratamiento cuántico completo, para argumentos más elaborados de los corchetes, equivalía a extender los corchetes de Poisson a los corchetes de Moyal .)

Vectores de estado y la ecuación de Heisenberg.

Para hacer la transición a la mecánica cuántica estándar, la adición más importante fue el vector de estado cuántico , ahora escrito | ψ ⟩, que es el vector sobre el que actúan las matrices. Sin el vector de estado, no está claro qué movimiento particular describen las matrices de Heisenberg, ya que incluyen todos los movimientos en alguna parte.

La interpretación del vector de estado, cuyos componentes se escriben ψ _m , fue proporcionada por Born. Esta interpretación es estadística: el resultado de una medición de la cantidad física correspondiente a la matriz A es aleatorio, con un valor promedio igual a

$${\displaystyle \sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}\,.}$$

amplitud de probabilidad ψ _nn

Una vez que se introdujo el vector de estado, la mecánica matricial podría rotarse a cualquier base , donde la matriz H ya no necesita ser diagonal. La ecuación de movimiento de Heisenberg en su forma original establece que A _mn evoluciona en el tiempo como una componente de Fourier,

$${\displaystyle A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,}$$

$${\displaystyle {dA_{mn} \over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,}$$

HE _m

$${\displaystyle {dA \over dt}=i(HA-AH)~.}$$

Su solución formal es:

$${\displaystyle A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.}$$

Todas estas formas de la ecuación de movimiento anteriores dicen lo mismo, que A ( t ) es equivalente a A (0) , a través de una rotación de base por la matriz unitaria e ^iHt , una imagen sistemática aclarada por Dirac en su notación de soporte. .

Por el contrario, al rotar la base del vector de estado en cada momento en e ^iHt , se puede deshacer la dependencia del tiempo en las matrices. Las matrices ahora son independientes del tiempo, pero el vector de estado gira,

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\;\;\;\;{d|\psi \rangle \over dt}=-iH|\psi \rangle \,.}$$

ecuación de Schrödingerimagen de Schrödingerxψψx

En mecánica cuántica, en la imagen de Heisenberg, el vector de estado , | ψ ⟩ no cambia con el tiempo, mientras que un A observable satisface la ecuación de movimiento de Heisenberg ,

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={i \over \hbar }[H,A]+{\frac {\partial A}{\partial t}}~.}$

El plazo adicional es para operadores como

$${\displaystyle A=(X+t^{2}P)}$$

dependencia temporal explícita

La imagen de Heisenberg no distingue el tiempo del espacio, por lo que se adapta mejor a las teorías relativistas que la ecuación de Schrödinger. Además, la similitud con la física clásica es más manifiesta: las ecuaciones hamiltonianas de movimiento para la mecánica clásica se recuperan reemplazando el conmutador anterior por el soporte de Poisson (ver también más abajo). Según el teorema de Stone-von Neumann , la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger deben ser unitariamente equivalentes, como se detalla a continuación.

Otros resultados

La mecánica matricial se desarrolló rápidamente hasta convertirse en la mecánica cuántica moderna y dio resultados físicos interesantes sobre los espectros de los átomos.

Mecánica ondulatoria

Jordan señaló que las relaciones de conmutación aseguran que P actúe como operador diferencial .

La identidad del operador.

$${\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]}$$

PX

$${\displaystyle [P,X^{n}]=-in~X^{n-1}}$$

PX.

Suponiendo que los límites se definan con sensatez, esto se extiende a funciones arbitrarias, pero no es necesario hacer explícita la extensión hasta que se requiera cierto grado de rigor matemático.

${\displaystyle [P,f(X)]=-if'(X)\,.}$

Dado que X es una matriz hermitiana, debe ser diagonalizable y quedará claro a partir de la forma final de P que todo número real puede ser un valor propio. Esto hace que algunas de las matemáticas sean sutiles, ya que hay un vector propio separado para cada punto en el espacio.

En la base donde X es diagonal, un estado arbitrario se puede escribir como una superposición de estados con valores propios x ,

$${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,,}$$

ψxxψXx

$${\displaystyle X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.}$$

Defina un operador lineal D que diferencia ψ ,

$${\displaystyle D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,,}$$

$${\displaystyle (DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,,}$$

iDPPiDX

$${\displaystyle [P+iD,X]=0\,,}$$

XXfx

Esta función debe ser real, porque tanto P como − iD son hermitianos,

$${\displaystyle (P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,,}$$

f ( x ) ${\displaystyle |x\rangle }$

$${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi (x)\,.}$$

ID

$${\displaystyle iD\rightarrow iD+f(X)\,,}$$

P−iD

Por tanto, siempre hay una base para los valores propios de X cuando se conoce la acción de P sobre cualquier función de onda:

$${\displaystyle P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,,}$$

$${\displaystyle \left[{P^{2} \over 2m}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle }$$

Por tanto, la ecuación de movimiento para el vector de estado no es más que una célebre ecuación diferencial,

${\displaystyle i{\partial \over \partial t}\psi _{t}(x)=\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{t}(x)\,.}$

Dado que D es un operador diferencial, para que pueda definirse de manera sensata, debe haber valores propios de X que sean vecinos de cada valor dado. Esto sugiere que la única posibilidad es que el espacio de todos los valores propios de X sean todos números reales y que P sea iD, hasta una rotación de fase .

Para hacer esto riguroso se requiere una discusión sensata del espacio límite de funciones, y en este espacio este es el teorema de Stone-von Neumann : se puede hacer que cualquier operador X y P que obedezca las relaciones de conmutación actúe en un espacio de funciones de onda, con P un operador derivado. Esto implica que siempre habrá una imagen de Schrödinger disponible.

La mecánica matricial se extiende fácilmente a muchos grados de libertad de forma natural. Cada grado de libertad tiene un operador X separado y un operador diferencial efectivo P separado , y la función de onda es una función de todos los valores propios posibles de las variables X de conmutación independientes .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X_{i},X_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[P_{i},P_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[X_{i},P_{j}\right]&=i\delta _{ij}\,.\end{aligned}}}$$

En particular, esto significa que un sistema de N partículas que interactúan en 3 dimensiones se describe mediante un vector cuyos componentes en una base donde todas las X son diagonales es una función matemática del espacio de 3 N dimensiones que describe todas sus posiciones posibles , lo que efectivamente es mucho más. colección de valores más grande que la mera colección de N funciones de onda tridimensionales en un espacio físico. Schrödinger llegó a la misma conclusión de forma independiente y finalmente demostró la equivalencia de su propio formalismo con el de Heisenberg.

Dado que la función de onda es una propiedad de todo el sistema, no de una sola parte, la descripción en mecánica cuántica no es enteramente local. La descripción de varias partículas cuánticas las tiene correlacionadas o entrelazadas . Este entrelazamiento conduce a extrañas correlaciones entre partículas distantes que violan la desigualdad clásica de Bell .

Incluso si las partículas sólo pueden estar en dos posiciones, la función de onda para N partículas requiere 2 ^N números complejos, uno para cada configuración total de posiciones. Esto es exponencialmente muchos números en N , por lo que simular la mecánica cuántica en una computadora requiere recursos exponenciales. Por el contrario, esto sugiere que podría ser posible encontrar sistemas cuánticos de tamaño N que calculen físicamente las respuestas a problemas que clásicamente requieren 2 ^N bits para resolverse. Ésta es la aspiración detrás de la computación cuántica .

Teorema de Ehrenfest

Para los operadores independientes del tiempo X y P , ∂ A /∂ t = 0, por lo que la ecuación de Heisenberg anterior se reduce a: ^[30]

$${\displaystyle i\hbar {dA \over dt}=[A,H]=AH-HA,}$$

XP ${\displaystyle p^{2}/2m+V(x)}$

$${\displaystyle {dX \over dt}={P \over m},\quad {dP \over dt}=-\nabla V,}$$

velocidadfuerzagradiente de potenciallas leyes del movimiento de NewtonXPψ

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle \\[1.5ex]{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.\end{aligned}}}$$

Por tanto, las leyes de Newton son obedecidas exactamente por los valores esperados de los operadores en cualquier estado dado. Este es el teorema de Ehrenfest , que es un corolario obvio de las ecuaciones de movimiento de Heisenberg, pero es menos trivial en el cuadro de Schrödinger, donde Ehrenfest lo descubrió.

Teoría de la transformación

En mecánica clásica, una transformación canónica de coordenadas del espacio de fase es aquella que preserva la estructura de los corchetes de Poisson. Las nuevas variables x',p' tienen los mismos corchetes de Poisson entre sí que las variables originales x,p . La evolución del tiempo es una transformación canónica, ya que el espacio de fases en cualquier momento es una elección de variables tan buena como el espacio de fases en cualquier otro momento.

El flujo hamiltoniano es la transformación canónica :

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&\rightarrow x+dx=x+{\frac {\partial H}{\partial p}}dt\\[1ex]p&\rightarrow p+dp=p-{\frac {\partial H}{\partial x}}dt~.\end{aligned}}}$$

Dado que el hamiltoniano puede ser una función arbitraria de x y p , existen transformaciones canónicas infinitesimales correspondientes a cada cantidad clásica G , donde G sirve como hamiltoniano para generar un flujo de puntos en el espacio de fase para un incremento de tiempo s ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}dx&={\frac {\partial G}{\partial p}}ds=\left\{G,X\right\}ds\\[1ex]dp&=-{\frac {\partial G}{\partial x}}ds=\left\{G,P\right\}ds\,.\end{aligned}}}$$

Para una función general A ( x , p ) en el espacio de fase, su cambio infinitesimal en cada paso ds bajo este mapa es

$${\displaystyle dA={\partial A \over \partial x}dx+{\partial A \over \partial p}dp=\{A,G\}ds\,.}$$

Ggenerador infinitesimal

En mecánica cuántica, el análogo cuántico G es ahora una matriz hermitiana, y las ecuaciones de movimiento están dadas por conmutadores,

$${\displaystyle dA=i[G,A]ds\,.}$$

Los movimientos canónicos infinitesimales se pueden integrar formalmente, tal como se integraron las ecuaciones de movimiento de Heisenberg,

$${\displaystyle A'=U^{\dagger }AU}$$

U = e ^iGs y s es un parámetro arbitrario.

La definición de transformación canónica cuántica es, por tanto, un cambio unitario arbitrario de base en el espacio de todos los vectores de estado. U es una matriz unitaria arbitraria, una rotación compleja en el espacio de fase,

$${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}\,.}$$

Estas transformaciones dejan invariantemismo

La interpretación de las matrices es que actúan como generadoras de movimientos en el espacio de estados .

Por ejemplo, el movimiento generado por P se puede encontrar resolviendo la ecuación de movimiento de Heisenberg usando P como hamiltoniano,

$${\displaystyle {\begin{aligned}dX&=i[X,P]ds=ds\\[1ex]dP&=i[P,P]ds=0\,.\end{aligned}}}$$

X

$${\displaystyle X\rightarrow X+sI~.}$$

De ^iPs = e ^Del exponencial de un operador derivativo es una traducción (por lo tanto, el operador de desplazamiento

El operador X también genera traducciones en P . El hamiltoniano genera traslaciones en el tiempo , el momento angular genera rotaciones en el espacio físico y el operador X ² + P ² genera rotaciones en el espacio de fase .

Cuando una transformación, como una rotación en el espacio físico, conmuta con el hamiltoniano, la transformación se llama simetría (detrás de una degeneración) del hamiltoniano: el hamiltoniano expresado en términos de coordenadas rotadas es el mismo que el hamiltoniano original. Esto significa que el cambio en el hamiltoniano bajo el generador de simetría infinitesimal L desaparece,

$${\displaystyle {dH \over ds}=i[L,H]=0\,.}$$

De ello se deduce que el cambio en el generador bajo la traducción del tiempo también desaparece,

$${\displaystyle {dL \over dt}=i[H,L]=0}$$

L

Emmy Noether descubrió la asociación uno a uno de generadores de simetría infinitesimales y leyes de conservación para la mecánica clásica, donde los conmutadores son corchetes de Poisson , pero el razonamiento de la mecánica cuántica es idéntico. En mecánica cuántica, cualquier transformación de simetría unitaria produce una ley de conservación, ya que si la matriz U tiene la propiedad de que

$${\displaystyle U^{-1}HU=H}$$

$${\displaystyle UH=HU}$$

U

Los valores propios de las matrices unitarias son fases puras, de modo que el valor de una cantidad unitaria conservada es un número complejo de magnitud unitaria, no un número real. Otra forma de decir esto es que una matriz unitaria es el exponencial de i por una matriz hermitiana, de modo que la cantidad real conservada aditiva, la fase, solo está bien definida hasta un múltiplo entero de 2π . Sólo cuando la matriz de simetría unitaria es parte de una familia que se acerca arbitrariamente a la identidad, las cantidades reales conservadas tienen un solo valor, y entonces la exigencia de que se conserven se convierte en una restricción mucho más exigente.

Las simetrías que pueden conectarse continuamente a la identidad se denominan continuas , y las traslaciones, rotaciones y aumentos son ejemplos. Las simetrías que no pueden conectarse continuamente a la identidad son discretas , y la operación de inversión espacial, o paridad , y la conjugación de carga son ejemplos.

La interpretación de las matrices como generadoras de transformaciones canónicas se debe a Paul Dirac. ^[31] Eugene Wigner demostró que la correspondencia entre simetrías y matrices es completa, si se incluyen matrices antiunitarias que describen simetrías que incluyen inversión de tiempo.

Reglas de selección

Para Heisenberg estaba físicamente claro que los cuadrados absolutos de los elementos de la matriz de X , que son los coeficientes de Fourier de la oscilación, darían la tasa de emisión de radiación electromagnética.

En el límite clásico de órbitas grandes, si una carga con posición X ( t ) y carga q oscila junto a una carga igual y opuesta en la posición 0, el momento dipolar instantáneo es q X ( t ) , y la variación temporal de este El momento se traduce directamente en la variación espacio-temporal del potencial vectorial, lo que produce ondas esféricas salientes anidadas.

Para los átomos, la longitud de onda de la luz emitida es aproximadamente 10.000 veces el radio atómico, y el momento dipolar es la única contribución al campo radiativo, mientras que todos los demás detalles de la distribución de carga atómica pueden ignorarse.

Haciendo caso omiso de la reacción inversa, la potencia radiada en cada modo saliente es una suma de contribuciones separadas del cuadrado de cada modo de Fourier temporal independiente de d ,

$${\displaystyle P(\omega )={2 \over 3}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.}$$

Ahora, en la representación de Heisenberg, los coeficientes de Fourier del momento dipolar son los elementos de la matriz de X. Esta correspondencia permitió a Heisenberg proporcionar la regla para las intensidades de transición, la fracción de tiempo que, partiendo de un estado inicial i , se emite un fotón y el átomo salta a un estado final j ,

$${\displaystyle P_{ij}={2 \over 3}(E_{i}-E_{j})^{4}|X_{ij}|^{2}\,.}$$

Esto permitió interpretar estadísticamente la magnitud de los elementos de la matriz: dan la intensidad de las líneas espectrales, la probabilidad de que se produzcan saltos cuánticos debido a la emisión de radiación dipolar .

Dado que las tasas de transición están dadas por los elementos de la matriz de X , siempre que X _ij sea cero, la transición correspondiente debería estar ausente. Se denominaron reglas de selección y fueron un enigma hasta la llegada de la mecánica matricial.

Un estado arbitrario del átomo de Hidrógeno, ignorando el espín, está etiquetado por | norte ; ℓ , m ⟩, donde el valor de ℓ es una medida del momento angular orbital total y m es su componente z , que define la orientación de la órbita. Los componentes del pseudovector de momento angular son

$${\displaystyle L_{i}=\varepsilon _{ijk}X^{j}P^{k}}$$

XP

Las relaciones de conmutación de L con las tres matrices de coordenadas X, Y, Z (o con cualquier vector) son fáciles de encontrar,

$${\displaystyle [L_{i},X_{j}]=i\varepsilon _{ijk}X_{k}\,,}$$

LX

De aquí se puede leer el conmutador de L _z y las matrices de coordenadas X, Y, Z ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X\right]&=iY\,,\\[1ex]\left[L_{z},Y\right]&=-iX\,.\end{aligned}}}$$

Esto significa que las cantidades X + iY , X − iY tienen una regla de conmutación simple,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X+iY\right]&=(X+iY)\,,\\[1ex]\left[L_{z},X-iY\right]&=-(X-iY)\,.\end{aligned}}}$$

Al igual que los elementos matriciales de X + iP y X − iP para el oscilador armónico hamiltoniano, esta ley de conmutación implica que estos operadores solo tienen ciertos elementos matriciales fuera de la diagonal en estados de m definido ,

$${\displaystyle L_{z}((X+iY)|m\rangle )=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X+iY)|m\rangle }$$

( X + iY )L _zmm( X − iY )mZm

Entonces, en una base de | ℓ , m ⟩ indica que donde L ² y L _z tienen valores definidos, los elementos de la matriz de cualquiera de los tres componentes de la posición son cero, excepto cuando m es igual o cambia en una unidad.

Esto impone una restricción al cambio en el momento angular total. Cualquier estado se puede girar de modo que su momento angular esté en la dirección z tanto como sea posible, donde m = ℓ. El elemento matricial de la posición que actúa sobre | ℓ , m ⟩ solo puede producir valores de m que sean mayores en una unidad, de modo que si se giran las coordenadas para que el estado final sea | ℓ',ℓ' ⟩, el valor de ℓ' puede ser como máximo uno mayor que el valor más grande de ℓ que ocurre en el estado inicial. Entonces ℓ' es como máximo ℓ + 1.

Los elementos de la matriz desaparecen para ℓ' > ℓ + 1, y el elemento de la matriz inversa está determinado por la hermiticidad, por lo que también desaparecen cuando ℓ' < ℓ - 1: las transiciones dipolares están prohibidas con un cambio en el momento angular de más de una unidad.

reglas de suma

La ecuación de movimiento de Heisenberg determina los elementos de la matriz de P en la base de Heisenberg a partir de los elementos de la matriz de X.

$${\displaystyle P_{ij}=m{d \over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij}\,,}$$

$${\displaystyle \sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=i\,.}$$

Esto produce una relación para la suma de las intensidades espectroscópicas hacia y desde cualquier estado dado, aunque para ser absolutamente correcto, las contribuciones de la probabilidad de captura radiativa para estados de dispersión independientes deben incluirse en la suma:

$${\displaystyle \sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=1\,.}$$

Ver también

• Imagen de interacción
• Notación bra-ket
• Introducción a la mecánica cuántica.
• La entrada de Heisenberg a la mecánica matricial

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

• Una descripción general de la mecánica matricial
• Métodos matriciales en mecánica cuántica
• Mecánica cuántica de Heisenberg Archivado el 16 de febrero de 2010 en Wayback Machine (Los orígenes de la teoría y su desarrollo histórico, 1925-27)
• Werner Heisenberg 1970 Entrevista de radio CBC
• Sobre la mecánica matricial en MathPages