Teorema de Ehrenfest

Teorema de la mecánica cuántica

El teorema de Ehrenfest , llamado así en honor al físico teórico austríaco Paul Ehrenfest , relaciona la derivada temporal de los valores esperados de los operadores de posición y momento x y p con el valor esperado de la fuerza sobre una partícula masiva que se mueve en un potencial escalar , ^[1] ${\displaystyle F=-V'(x)}$ ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(x)\right\rangle ~.}$

El teorema de Ehrenfest es un caso especial de una relación más general entre la expectativa de cualquier operador mecánico cuántico y la expectativa del conmutador de ese operador con el hamiltoniano del sistema ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,}$

donde A es un operador mecánico cuántico y ⟨ A ⟩ es su valor esperado .

Esto es más evidente en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, donde equivale simplemente al valor esperado de la ecuación de movimiento de Heisenberg y proporciona respaldo matemático al principio de correspondencia .

La razón es que el teorema de Ehrenfest está estrechamente relacionado con el teorema de Liouville de la mecánica hamiltoniana , que implica el corchete de Poisson en lugar de un conmutador. La regla de oro de Dirac sugiere que los enunciados en mecánica cuántica que contienen un conmutador corresponden a enunciados en mecánica clásica donde el conmutador es suplantado por un corchete de Poisson multiplicado por iħ . Esto hace que los valores esperados del operador obedezcan las ecuaciones clásicas de movimiento correspondientes, siempre que el hamiltoniano sea como máximo cuadrático en las coordenadas y los momentos. De lo contrario, las ecuaciones de evolución aún pueden cumplirse aproximadamente , siempre que las fluctuaciones sean pequeñas.

Relación con la física clásica

Aunque, a primera vista, podría parecer que el teorema de Ehrenfest dice que los valores esperados de la mecánica cuántica obedecen a las ecuaciones clásicas de movimiento de Newton, en realidad no es así. ^[4] Si el par satisficiera la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación tendría que ser que normalmente no es lo mismo que Si, por ejemplo, el potencial es cúbico, (es decir, proporcional a ), entonces es cuadrático (proporcional a ). Esto significa que, en el caso de la segunda ley de Newton, el lado derecho tendría la forma de , mientras que en el teorema de Ehrenfest tiene la forma de . La diferencia entre estas dos cantidades es el cuadrado de la incertidumbre en y, por tanto, no es cero. ${\displaystyle (\langle x\rangle ,\langle p\rangle )}$ $${\displaystyle -V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),}$$ $${\displaystyle -\left\langle V'(x)\right\rangle .}$$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle \langle x\rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$ ${\displaystyle x}$

Una excepción se produce en el caso en que las ecuaciones clásicas de movimiento son lineales, es decir, cuando es cuadrática y es lineal. En ese caso especial, y coinciden. Por lo tanto, para el caso de un oscilador armónico cuántico, la posición esperada y el momento esperado siguen exactamente las trayectorias clásicas. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$

En sistemas generales, si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto , entonces y serán casi iguales, ya que ambos serán aproximadamente iguales a . En ese caso, la posición esperada y el momento esperado seguirán aproximadamente las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca localizada en la posición. ^[5] ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

Derivación en la imagen de Schrödinger

Supongamos que un sistema se encuentra actualmente en un estado cuántico Φ . Si queremos saber la derivada temporal instantánea del valor esperado de A , es decir, por definición, donde estamos integrando sobre todo el espacio. Si aplicamos la ecuación de Schrödinger , encontramos que $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi }$$

Tomando el conjugado complejo encontramos ^[6] $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}$$

Nótese que H = H  ^∗ , porque el hamiltoniano es hermítico . Colocando esto en la ecuación anterior tenemos

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .}$$

A menudo (pero no siempre) el operador A es independiente del tiempo, por lo que su derivada es cero y podemos ignorar el último término.

Derivación en la imagen de Heisenberg

En la imagen de Heisenberg , la derivación es sencilla. La imagen de Heisenberg traslada la dependencia temporal del sistema a los operadores en lugar de a los vectores de estado. A partir de la ecuación de movimiento de Heisenberg, el teorema de Ehrenfest se deduce simplemente al proyectar la ecuación de Heisenberg sobre desde la derecha y desde la izquierda, o al tomar el valor esperado, de modo que $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],}$$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \Psi |}$ $${\displaystyle \left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,}$$

Se puede tirar del ⁠d/es⁠ del primer término, ya que los vectores de estado ya no dependen del tiempo en la imagen de Heisenberg. Por lo tanto, $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle .}$$

Ejemplo general

Para el ejemplo muy general de una partícula masiva que se mueve en un potencial , el hamiltoniano es simplemente donde x es la posición de la partícula. $${\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)}$$

Supongamos que queremos saber el cambio instantáneo en la expectativa del momento p . Utilizando el teorema de Ehrenfest, tenemos $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,}$$

ya que el operador p conmuta consigo mismo y no tiene dependencia del tiempo. ^[7] Al expandir el lado derecho, reemplazando p por − iħ ∇ , obtenemos $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.}$$

Después de aplicar la regla del producto al segundo término, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}}$$

Como se explicó en la introducción, este resultado no indica que el par satisface la segunda ley de Newton , porque el lado derecho de la fórmula es en lugar de . Sin embargo, como se explicó en la introducción, para los estados que están altamente localizados en el espacio, la posición y el momento esperados seguirán aproximadamente trayectorias clásicas, lo que puede entenderse como una instancia del principio de correspondencia . ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$ ${\displaystyle \langle F(x,t)\rangle ,}$ ${\displaystyle F(\langle X\rangle ,t)}$

De manera similar, podemos obtener el cambio instantáneo en el valor esperado de la posición. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}}$$

Este resultado concuerda exactamente con la ecuación clásica.

Derivación de la ecuación de Schrödinger a partir de los teoremas de Ehrenfest

Se estableció anteriormente que los teoremas de Ehrenfest son consecuencias de la ecuación de Schrödinger . Sin embargo, lo inverso también es cierto: la ecuación de Schrödinger se puede inferir a partir de los teoremas de Ehrenfest. ^[8] Comenzamos desde $${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}}$$

La aplicación de la regla del producto conduce a Aquí, aplique el teorema de Stone , utilizando Ĥ para denotar el generador cuántico de la traslación del tiempo. El siguiente paso es demostrar que esto es lo mismo que el operador hamiltoniano utilizado en la mecánica cuántica. El teorema de Stone implica donde ħ se introdujo como una constante de normalización para la dimensionalidad de equilibrio. Dado que estas identidades deben ser válidas para cualquier estado inicial, se puede descartar el promedio y se deriva el sistema de ecuaciones del conmutador para Ĥ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,}$$ $${\displaystyle im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).}$$

Suponiendo que los observables de la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica [ x̂ , p̂ ] = iħ . Fijando , las ecuaciones del conmutador se pueden convertir en ecuaciones diferenciales ^{[8] [9]} cuya solución es el familiar hamiltoniano cuántico ${\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})}$ $${\displaystyle m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).}$$

Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se derivó de los teoremas de Ehrenfest al suponer la relación de conmutación canónica entre la coordenada y el momento. Si se supone que la coordenada y el momento conmutan, el mismo método computacional conduce a la mecánica clásica de Koopman-von Neumann , que es la formulación del espacio de Hilbert de la mecánica clásica . ^[8] Por lo tanto, esta derivación, así como la derivación de la mecánica de Koopman-von Neumann , muestra que la diferencia esencial entre la mecánica cuántica y la clásica se reduce al valor del conmutador [ x̂ , p̂ ] .

Las implicaciones del teorema de Ehrenfest para sistemas con dinámicas clásicamente caóticas se analizan en el artículo de Scholarpedia Tiempo de Ehrenfest y caos. Debido a la inestabilidad exponencial de las trayectorias clásicas, se demuestra que el tiempo de Ehrenfest, en el que existe una correspondencia completa entre la evolución cuántica y clásica, es logarítmicamente corto y proporcional a un logaritmo de un número cuántico típico. Para el caso de dinámicas integrables, esta escala de tiempo es mucho mayor y es proporcional a una determinada potencia del número cuántico.

Notas

1. Hall 2013 Sección 3.7.5
2. Ehrenfest, P. (1927). "Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik Innerhalb der Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 45 (7–8): 455–457. Código bibliográfico : 1927ZPhy...45..455E. doi :10.1007/BF01329203. S2CID  123011242.
3. Smith, Henrik (1991). Introducción a la mecánica cuántica . World Scientific Pub Co Inc., págs. 108-109. ISBN 978-9810204754.
4. Wheeler, Nicholas. "Observaciones sobre el estado y algunas ramificaciones del teorema de Ehrenfest" (PDF) .
5. Hall 2013 pág. 78
6. En notación de corchetes , donde es el operador hamiltoniano y H es el hamiltoniano representado en el espacio de coordenadas (como es el caso en la derivación anterior). En otras palabras, aplicamos la operación adjunta a toda la ecuación de Schrödinger, lo que invirtió el orden de las operaciones para H y Φ . ${\displaystyle \phi ^{*}=\langle \phi ,x\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \phi |x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |{\hat {H}}|x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |x\rangle H={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H,}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$
7. Aunque el valor esperado del momento ⟨ p ⟩ , que es una función del tiempo con valor de número real , tendrá dependencia del tiempo, el operador de momento en sí, p, no la tiene, en esta imagen: más bien, el operador de momento es un operador lineal constante en el espacio de Hilbert del sistema. La dependencia del tiempo del valor esperado, en esta imagen, se debe a la evolución temporal de la función de onda para la que se calcula el valor esperado. Un ejemplo ad hoc de un operador que sí tiene dependencia del tiempo es ⟨ xt ² ⟩ , donde x es el operador de posición ordinario y t es solo el tiempo (no operador), un parámetro.
8. Bondar, D.; Cabrera, R.; Lompay, R.; Ivanov, M.; Rabitz, H. (2012). "Modelado dinámico operacional que trasciende la mecánica cuántica y clásica". Physical Review Letters . 109 (19): 190403. arXiv : 1105.4014 . Código Bibliográfico :2012PhRvL.109s0403B. doi :10.1103/PhysRevLett.109.190403. PMID  23215365. S2CID  19605000.
9. Transtrum, MK; Van Huele, JFOS (2005). "Relaciones de conmutación para funciones de operadores". Journal of Mathematical Physics . 46 (6): 063510. Bibcode :2005JMP....46f3510T. doi :10.1063/1.1924703.

Referencias

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158