En la historia de la física , " Sobre la reinterpretación teórica cuántica de las relaciones cinemáticas y mecánicas " ( alemán : Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen ), también conocido como el artículo Umdeutung ( reinterpretación ) , [1] [2] fue un gran avance. Artículo sobre mecánica cuántica escrito por Werner Heisenberg , que apareció en Zeitschrift für Physik en septiembre de 1925.
En el artículo, Heisenberg intentó explicar los niveles de energía de un oscilador anarmónico unidimensional , evitando las representaciones concretas pero no observables de las órbitas de los electrones mediante el uso de parámetros observables como las probabilidades de transición para los saltos cuánticos , lo que requirió el uso de dos índices correspondientes a los índices inicial y estados finales. [3]
Matemáticamente, Heisenberg demostró la necesidad de operadores no conmutativos. Esta idea se convertiría más tarde en la base del principio de incertidumbre de Heisenberg .
A este artículo le siguió el artículo de Pascual Jordan y Max Born del mismo año, [4] y el 'artículo de tres hombres' ( alemán : drei Männer Arbeit ) de Born, Heisenberg y Jordan en 1926. [5] [ 1] [6] Estos artículos sentaron las bases para la mecánica matricial que vendría a sustituir a la antigua teoría cuántica , dando lugar a la mecánica cuántica moderna. Heisenberg recibió el Premio Nobel de Física en 1932 por su trabajo en el desarrollo de la mecánica cuántica. [7]
Heisenberg tenía 23 años cuando trabajó en el artículo mientras se recuperaba de la fiebre del heno en la isla de Heligoland y mantenía correspondencia con Wolfgang Pauli sobre el tema. Cuando se le preguntó su opinión sobre el manuscrito, Pauli respondió favorablemente, pero Heisenberg dijo que todavía estaba "muy inseguro al respecto". En julio de 1925, envió el manuscrito a Max Born para que lo revisara y decidiera si lo presentaba para su publicación. [8]
Cuando Born leyó el artículo, reconoció que la formulación podía transcribirse y extenderse al lenguaje sistemático de las matrices. Born, con la ayuda de su asistente y exalumno Pascual Jordán, comenzó inmediatamente a realizar la transcripción y ampliación, y presentaron sus resultados para su publicación; su manuscrito fue recibido para su publicación apenas 60 días después del artículo de Heisenberg. [4] Antes de fin de año se presentó para publicación un artículo de seguimiento de los tres autores que extiende la teoría a múltiples dimensiones. [5]
Heisenberg decidió basar su mecánica cuántica "exclusivamente en relaciones entre cantidades que en principio son observables". [9] Observó que entonces no se podían utilizar afirmaciones sobre cosas tales como "la posición y el período de revolución del electrón". [10] Más bien, para lograr un verdadero progreso en la comprensión de la radiación del caso más simple, la radiación de átomos de hidrógeno excitados, sólo se tenían mediciones de las frecuencias y las intensidades del espectro de líneas brillantes del hidrógeno con las que trabajar.
En física clásica , la intensidad de cada frecuencia de luz producida en un sistema radiante es igual al cuadrado de la amplitud de la radiación en esa frecuencia, por lo que la atención recayó a continuación en las amplitudes. Las ecuaciones clásicas que Heisenberg esperaba utilizar para formar ecuaciones teóricas cuánticas darían primero las amplitudes, y en física clásica se podrían calcular las intensidades simplemente elevando al cuadrado las amplitudes. Pero Heisenberg vio que "la suposición más simple y natural sería" [11] seguir el ejemplo proporcionado por el trabajo reciente sobre el cálculo de la dispersión de la luz realizado por Hans Kramers . [12] El trabajo que había realizado para ayudar a Kramers el año anterior [13] ahora le dio una pista importante sobre cómo modelar lo que sucedió con el gas hidrógeno excitado cuando irradiaba luz y qué sucedió cuando la radiación entrante de una frecuencia excitaba átomos en un medio dispersivo y luego la energía entregada por la luz entrante se volvía a irradiar, a veces en la frecuencia original pero a menudo en dos frecuencias más bajas cuya suma equivalía a la frecuencia original. Según su modelo, un electrón que había sido llevado a un estado de mayor energía al aceptar la energía de un fotón entrante podría regresar en un paso a su posición de equilibrio, re-irradiando un fotón de la misma frecuencia, o podría regresar en más de un paso. de un paso, irradiando un fotón por cada paso en su regreso a su estado de equilibrio. Debido a la forma en que se cancelan los factores al derivar la nueva ecuación basándose en estas consideraciones, el resultado resulta relativamente simple.
También se incluyó en el manuscrito el conmutador de Heisenberg , su ley de multiplicación necesaria para describir ciertas propiedades de los átomos, mediante las cuales el producto de dos cantidades físicas no conmutaba . Por lo tanto, PQ diferiría de QP donde, por ejemplo, P era el momento de un electrón y Q su posición. Paul Dirac , que había recibido una copia de prueba en agosto de 1925, se dio cuenta de que la ley conmutativa no se había desarrollado completamente y produjo una formulación algebraica para expresar los mismos resultados en una forma más lógica. [14]
Por medio de una intensa serie de analogías matemáticas que algunos físicos han denominado "mágicas", Heisenberg escribió una ecuación que es la analogía mecánicocuántica del cálculo clásico de intensidades. La siguiente ecuación aparece en el artículo. [15] [16] Su forma general es la siguiente:
Este formato general indica que algún término C debe calcularse sumando todos los productos de algún grupo de términos A por algún grupo relacionado de términos B. Potencialmente habrá una serie infinita de términos A y sus términos B correspondientes . Cada una de estas multiplicaciones tiene como factores dos medidas que pertenecen a transiciones descendentes secuenciales entre estados de energía de un electrón. Este tipo de regla diferencia la mecánica matricial del tipo de física familiar en la vida cotidiana porque los valores importantes son dónde (en qué estado energético u "orbital") comienza el electrón y en qué estado energético termina, no qué está haciendo el electrón mientras en uno u otro estado.
Si, por ejemplo, A y B se refieren a listas de frecuencias, el cálculo se realiza de la siguiente manera:
Multiplique la frecuencia para un cambio de energía del estado n al estado n - a por la frecuencia para un cambio de energía del estado na al estado nb. y a eso se le suma el producto obtenido multiplicando la frecuencia de un cambio de energía del estado na al estado nb por la frecuencia de un cambio de energía del estado nb al estado nc, y así sucesivamente. Simbólicamente, es decir:
(Según la convención utilizada, n - a representa un estado de mayor energía que n , por lo que una transición de n a n - a indicaría que un electrón ha aceptado energía de un fotón entrante y ha ascendido a un orbital superior, mientras que una transición de n - a hasta n representaría un electrón cayendo a un orbital inferior y emitiendo un fotón).
Sería fácil realizar cada paso individual de este proceso para alguna cantidad medida. Por ejemplo, la fórmula que aparece al principio de este artículo proporciona cada longitud de onda necesaria en secuencia. Los valores calculados se podrían rellenar muy fácilmente en una cuadrícula como se describe a continuación. Sin embargo, como la serie es infinita, nadie podría hacer el conjunto completo de cálculos.
Heisenberg ideó originalmente esta ecuación para poder multiplicar dos medidas del mismo tipo (amplitudes), por lo que no importaba en qué orden se multiplicaran. Heisenberg notó, sin embargo, que si intentaba utilizar el mismo esquema para multiplicar dos variables, como el momento, p , y el desplazamiento, q , entonces "surge una dificultad significativa". [17] Resulta que multiplicar una matriz de p por una matriz de q da un resultado diferente a multiplicar una matriz de q por una matriz de p . Sólo hizo una pequeña diferencia, pero esa diferencia nunca podría reducirse por debajo de cierto límite, y ese límite involucraba la constante de Planck , h . Más sobre eso más adelante. A continuación se muestra una muestra muy breve de cómo serían los cálculos, colocados en cuadrículas llamadas matrices. El maestro de Heisenberg vio casi de inmediato que su trabajo debía expresarse en un formato matricial porque los matemáticos ya estaban familiarizados con cómo hacer cálculos con matrices de manera eficiente. (Dado que Heisenberg estaba interesado en la radiación de fotones, las ilustraciones se darán en términos de electrones que van de un nivel de energía más alto a un nivel más bajo, por ejemplo, n ← n -1, en lugar de ir de un nivel más bajo a un nivel más alto, por ejemplo , norte → norte -1)
Matriz de p
Matriz de q
La matriz para el producto de las dos matrices anteriores como se especifica en la ecuación relevante en el artículo de Umdeutung es
Dónde
Etcétera.
Si se invirtieran las matrices, se obtendrían los siguientes valores
Etcétera.
Werner Heisenberg utilizó la idea de que, dado que la física clásica es correcta cuando se aplica a fenómenos en el mundo de cosas más grandes que los átomos y las moléculas, debe presentarse como un caso especial de un modelo teórico cuántico más inclusivo. Así que esperaba poder modificar la física cuántica de tal manera que cuando los parámetros estuvieran en la escala de los objetos cotidianos se pareciera a la física clásica, pero cuando los parámetros se redujeran a la escala atómica, las discontinuidades observadas en cosas como la Las frecuencias ampliamente espaciadas del espectro de líneas brillantes del hidrógeno visible volverían a aparecer.
Lo que más quería entender la gente en aquella época sobre la radiación de hidrógeno era cómo predecir o explicar las intensidades de las líneas de su espectro. Aunque Heisenberg no lo sabía en ese momento, el formato general que desarrolló para expresar su nueva forma de trabajar con cálculos teóricos cuánticos puede servir como una receta para dos matrices y cómo multiplicarlas. [18]
El artículo de Umdeutung no menciona matrices. El gran avance de Heisenberg fue el "esquema que, en principio, era capaz de determinar de forma única las cualidades físicas relevantes (frecuencias y amplitudes de transición)" [19] de la radiación de hidrógeno.
Después de que Heisenberg escribiera el artículo de Umdeutung , se lo entregó a uno de sus colegas más veteranos para que hiciera las correcciones necesarias y se fue de vacaciones. Max Born reflexionó sobre las ecuaciones y las ecuaciones no conmutantes que a Heisenberg le habían resultado problemáticas e inquietantes. Después de varios días se dio cuenta de que estas ecuaciones equivalían a instrucciones para escribir matrices. [20]
Al considerar... ejemplos... [Heisenberg] encontró esta regla... Esto fue en el verano de 1925. Heisenberg... tomó licencia... y me entregó su artículo para su publicación... ...La regla de multiplicación de Heisenberg no me dejó en paz, y después de una semana de intenso pensamiento y prueba, de repente recordé una teoría algebraica...Estas matrices cuadráticas son bastante familiares para los matemáticos y se llaman matrices, en asociación con una regla definida. de multiplicación. Apliqué esta regla a la condición cuántica de Heisenberg y descubrí que concordaba con los elementos diagonales. Era fácil adivinar cuáles debían ser los elementos restantes, es decir, nulos; e inmediatamente apareció ante mí la extraña fórmula
El símbolo Q es la matriz del desplazamiento, P es la matriz del momento, i representa la raíz cuadrada de menos uno y h es la constante de Planck. [21] Born y algunos colegas asumieron la tarea de resolver todo en forma matricial antes de que Heisenberg regresara de su tiempo libre, y al cabo de unos meses la nueva mecánica cuántica en forma matricial formó la base para otro artículo. Esta relación se conoce ahora como principio de incertidumbre de Heisenberg .
Cuando cantidades como la posición y el momento se mencionan en el contexto de la mecánica matricial de Heisenberg, una afirmación como pq ≠ qp no se refiere a un valor único de py un valor único de q sino a una matriz (cuadrícula de valores dispuestos en un orden definido). manera) de valores de posición y una matriz de valores de momento. Entonces, multiplicar p por q o q por p en realidad está hablando de la multiplicación de matrices de las dos matrices. Cuando se multiplican dos matrices, el resultado es una tercera matriz.
Paul Dirac decidió que la esencia del trabajo de Heisenberg residía en la característica que Heisenberg había encontrado originalmente problemática: el hecho de la no conmutatividad, como la que existe entre la multiplicación de una matriz de momento por una matriz de desplazamiento y la multiplicación de una matriz de desplazamiento por una matriz de momento. . Esa idea llevó a Dirac en direcciones nuevas y productivas. [22]
