Combinación lineal

Suma de términos, cada uno multiplicado por un escalar.

En matemáticas , una combinación lineal es una expresión construida a partir de un conjunto de términos multiplicando cada término por una constante y sumando los resultados (por ejemplo, una combinación lineal de x e y sería cualquier expresión de la forma ax + by , donde a y b son constantes). ^{[1] [2] [3] [4]} El concepto de combinaciones lineales es fundamental para el álgebra lineal y campos relacionados de las matemáticas. La mayor parte de este artículo trata sobre combinaciones lineales en el contexto de un espacio vectorial sobre un campo , con algunas generalizaciones al final del artículo.

Definición

Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Como de costumbre, llamamos a los elementos de V vectores y a los elementos de K escalares . Si v ₁ ,..., v _n son vectores y a ₁ ,..., an _son escalares, entonces la combinación lineal de esos vectores con esos escalares como coeficientes es

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

Existe cierta ambigüedad en el uso del término "combinación lineal" en cuanto a si se refiere a la expresión o a su valor. En la mayoría de los casos se enfatiza el valor, como en la afirmación "el conjunto de todas las combinaciones lineales de v ₁ ,..., v _n siempre forma un subespacio". Sin embargo, también se podría decir "dos combinaciones lineales diferentes pueden tener el mismo valor", en cuyo caso la referencia es a la expresión. La sutil diferencia entre estos usos es la esencia de la noción de dependencia lineal : una familia F de vectores es linealmente independiente precisamente si cualquier combinación lineal de los vectores en F (como valor) lo es únicamente (como expresión). En cualquier caso, incluso cuando se consideran expresiones, lo único que importa en una combinación lineal es el coeficiente de cada v _i ; modificaciones triviales como permutar los términos o agregar términos con coeficiente cero no producen combinaciones lineales distintas.

En una situación dada, K y V pueden especificarse explícitamente o pueden ser obvios por el contexto. En ese caso, a menudo hablamos de una combinación lineal de los vectores v ₁ ,..., v _n , con los coeficientes no especificados (excepto que deben pertenecer a K ). O, si S es un subconjunto de V , podemos hablar de una combinación lineal de vectores en S , donde tanto los coeficientes como los vectores no están especificados, excepto que los vectores deben pertenecer al conjunto S (y los coeficientes deben pertenecer a K ). Finalmente, podemos hablar simplemente de una combinación lineal , donde no se especifica nada (excepto que los vectores deben pertenecer a V y los coeficientes deben pertenecer a K ); en este caso probablemente nos referimos a la expresión, ya que todo vector en V es ciertamente el valor de alguna combinación lineal.

Tenga en cuenta que, por definición, una combinación lineal implica sólo un número finito de vectores (excepto lo que se describe en Generalizaciones a continuación). Sin embargo, el conjunto S del que se toman los vectores (si se menciona alguno) aún puede ser infinito ; cada combinación lineal individual solo involucrará un número finito de vectores. Además, no hay ninguna razón por la que n no pueda ser cero ; en ese caso, declaramos por convención que el resultado de la combinación lineal es el vector cero en V.

Ejemplos y contraejemplos

Vectores euclidianos

Sea el campo K el conjunto R de números reales y sea el espacio vectorial V el espacio euclidiano R ³ . Considere los vectores e ₁ = (1,0,0) , e ₂ = (0,1,0) y e ₃ = (0,0,1) . Entonces cualquier vector en R ³ es una combinación lineal de e ₁ , e ₂ y  e ₃ .

Para ver que esto es así, tome un vector arbitrario ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) en R ³ y escriba:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},a_{2},a_{3})&=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\\[6pt]&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\\[6pt]&=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$

Funciones

Sea K el conjunto C de todos los números complejos y sea V el conjunto C _C ( R ) de todas las funciones continuas desde la recta real R hasta el plano complejo C . Considere los vectores (funciones) f y g definidos por f ( t ) := e ^it y g ( t ) := e ^{− it} . (Aquí, e es la base del logaritmo natural , aproximadamente 2,71828..., e i es la unidad imaginaria , una raíz cuadrada de −1.) Algunas combinaciones lineales de f y g  son:

• ${\displaystyle \cos t={\tfrac {1}{2}}\,e^{it}+{\tfrac {1}{2}}\,e^{-it}}$
• ${\displaystyle 2\sin t=(-i)e^{it}+(i)e^{-it}.}$

Por otro lado, la función constante 3 no es una combinación lineal de f y g . Para ver esto, supongamos que 3 podría escribirse como una combinación lineal de e ^it y e ^{− it} . Esto significa que existirían escalares complejos a y b tales que ae ^it + be ^{− it} = 3 para todos los números reales t . Al establecer t = 0 y t = π se obtienen las ecuaciones a + b = 3 y a + b = −3 , y claramente esto no puede suceder. Véase la identidad de Euler .

Polinomios

Sea K R , C o cualquier campo, y sea V el conjunto P de todos los polinomios con coeficientes tomados del campo K . Considere los vectores (polinomios) p ₁  := 1, p ₂  := x + 1 y p ₃  := x ² + x + 1 .

¿Es el polinomio x ²  − 1 una combinación lineal de p ₁ , p ₂ y p ₃ ? Para averiguarlo, considere una combinación lineal arbitraria de estos vectores e intente ver cuándo es igual al vector deseado x ²  − 1. Eligiendo coeficientes arbitrarios a ₁ , a ₂ y a ₃ , queremos

${\displaystyle a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1.}$

Multiplicando los polinomios, esto significa

${\displaystyle (a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1}$

y sumando potencias similares de x , obtenemos

${\displaystyle a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1).}$

Dos polinomios son iguales si y sólo si sus coeficientes correspondientes son iguales, por lo que podemos concluir

${\displaystyle a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.}$

Este sistema de ecuaciones lineales se puede resolver fácilmente. Primero, la primera ecuación simplemente dice que a ₃ es 1. Sabiendo eso, podemos resolver la segunda ecuación para a ₂ , lo que da como resultado −1. Finalmente, la última ecuación nos dice que a ₁ también es −1. Por tanto, la única forma posible de obtener una combinación lineal es con estos coeficientes. En efecto,

${\displaystyle x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}}$

entonces x ²  − 1 es una combinación lineal de p ₁ , p ₂ y  p ₃ .

Por otro lado, ¿qué pasa con el polinomio x ³  − 1? Si intentamos hacer de este vector una combinación lineal de p ₁ , p ₂ y p ₃ , siguiendo el mismo proceso que antes, obtenemos la ecuación

${\displaystyle {\begin{aligned}&0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\[5pt]={}&1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1).\end{aligned}}}$

Sin embargo, cuando igualamos los coeficientes correspondientes en este caso, la ecuación para x ³  es

${\displaystyle 0=1}$

lo cual siempre es falso. Por lo tanto, no hay manera de que esto funcione, y x ³  − 1 no es una combinación lineal de p ₁ , p ₂ y  p ₃ .

El lapso lineal

Tome un campo arbitrario K , un espacio vectorial arbitrario V , y sea v ₁ ,..., v _n vectores (en V ). Es interesante considerar el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Este conjunto se llama tramo lineal (o simplemente tramo ) de los vectores, digamos S = { v ₁ , ..., v _n }. Escribimos el intervalo de S como intervalo( S ) ^{[5] [6]} o sp( S ):

${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

Independencia lineal

Supongamos que, para unos conjuntos de vectores v ₁ ,..., v _n , un único vector se puede escribir de dos formas diferentes como una combinación lineal de ellos:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ where }}a_{i}\neq b_{i}.}$

Esto equivale, restando estos ( ), a decir que una combinación no trivial es cero: ^{[7] [8]} ${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

Si eso es posible, entonces v ₁ ,..., v _n se denominan linealmente dependientes ; en caso contrario, son linealmente independientes . De manera similar, podemos hablar de dependencia o independencia lineal de un conjunto arbitrario S de vectores.

Si S es linealmente independiente y el intervalo de S es igual a V , entonces S es una base para V.

Combinaciones afines, cónicas y convexas.

Al restringir los coeficientes utilizados en combinaciones lineales, se pueden definir los conceptos relacionados de combinación afín , combinación cónica y combinación convexa , y las nociones asociadas de conjuntos cerrados bajo estas operaciones.

Debido a que se trata de operaciones más restringidas , se cerrarán más subconjuntos bajo ellas, por lo que los subconjuntos afines, los conos convexos y los conjuntos convexos son generalizaciones de los subespacios vectoriales: un subespacio vectorial también es un subespacio afín, un cono convexo y un conjunto convexo, pero un conjunto convexo no tiene por qué ser un subespacio vectorial, afín o un cono convexo.

Estos conceptos surgen a menudo cuando se pueden tomar ciertas combinaciones lineales de objetos, pero no ninguna: por ejemplo, las distribuciones de probabilidad son cerradas bajo combinación convexa (forman un conjunto convexo), pero no combinaciones cónicas o afines (o lineales), y medidas positivas . están cerrados bajo combinación cónica pero no afines ni lineales; por lo tanto, se definen medidas con signo como cierre lineal.

Las combinaciones lineales y afines se pueden definir sobre cualquier campo (o anillo), pero las combinaciones cónicas y convexas requieren una noción de "positivo" y, por lo tanto, solo se pueden definir sobre un campo ordenado (o anillo ordenado ), generalmente los números reales.

Si sólo se permite la multiplicación escalar, no la suma, se obtiene un cono (no necesariamente convexo) ; a menudo se restringe la definición a permitir únicamente la multiplicación por escalares positivos.

Todos estos conceptos suelen definirse como subconjuntos de un espacio vectorial ambiental (excepto los espacios afines, que también se consideran "espacios vectoriales que olvidan el origen"), en lugar de axiomatizarse de forma independiente.

Teoría de la ópera

De manera más abstracta, en el lenguaje de la teoría de óperas , uno puede considerar los espacios vectoriales como álgebras sobre la operada (la suma directa infinita , por lo que solo un número finito de términos son distintos de cero; esto corresponde a tomar solo sumas finitas), lo que parametriza combinaciones lineales. : el vector por ejemplo corresponde a la combinación lineal . De manera similar, se pueden considerar combinaciones afines, combinaciones cónicas y combinaciones convexas que corresponden a los suboperados donde los términos suman 1, los términos son todos no negativos o ambos, respectivamente. Gráficamente, estos son el hiperplano afín infinito, el hiperoctante infinito y el simplex infinito. Esto formaliza lo que se entiende por ser o ser espacios modelo simplex estándar, y observaciones tales como que cada politopo convexo acotado es la imagen de un simplex. Aquí las suboperadas corresponden a operaciones más restringidas y, por tanto, a teorías más generales. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$ ${\displaystyle 2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Desde este punto de vista, podemos pensar en las combinaciones lineales como el tipo más general de operación en un espacio vectorial; decir que un espacio vectorial es un álgebra sobre la operada de combinaciones lineales es precisamente la afirmación de que todas las operaciones algebraicas posibles en un espacio vectorial el espacio son combinaciones lineales.

Las operaciones básicas de suma y multiplicación escalar, junto con la existencia de una identidad aditiva e inversas aditivas, no se pueden combinar de ninguna manera más complicada que la combinación lineal genérica: las operaciones básicas son un conjunto generador de operaciones de todas las combinaciones lineales.

En última instancia, este hecho radica en el centro de la utilidad de las combinaciones lineales en el estudio de espacios vectoriales.

Generalizaciones

Si V es un espacio vectorial topológico , entonces puede haber una manera de dar sentido a ciertas combinaciones lineales infinitas , utilizando la topología de V. Por ejemplo, podríamos hablar de 1 v ₁  + a ₂ v ₂  + a ₃ v _{3 + ⋯, y}  continúa para siempre. Estas infinitas combinaciones lineales no siempre tienen sentido; los llamamos convergentes cuando lo hacen. Permitir más combinaciones lineales en este caso también puede conducir a un concepto diferente de tramo, independencia lineal y base. Los artículos sobre los diversos tipos de espacios vectoriales topológicos entran en más detalles sobre estos.

Si K es un anillo conmutativo en lugar de un campo, entonces todo lo dicho anteriormente sobre combinaciones lineales se generaliza a este caso sin cambios. La única diferencia es que a espacios como este los llamamos módulos V en lugar de espacios vectoriales. Si K es un anillo no conmutativo, entonces el concepto aún se generaliza, con una advertencia: dado que los módulos sobre anillos no conmutativos vienen en versiones izquierda y derecha, nuestras combinaciones lineales también pueden venir en cualquiera de estas versiones, lo que sea apropiado para el módulo dado. Esto es simplemente cuestión de hacer la multiplicación escalar en el lado correcto.

_Se produce un giro más complicado cuando V es un _bimódulo sobre dos anillos, KL y KR . En ese caso, la combinación lineal más general parece

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}}$

donde a ₁ ,..., a _n pertenecen a K _L , b ₁ ,..., b _n pertenecen a K _R , y v ₁ ,…, v _n pertenecen a V .

Solicitud

Una aplicación importante de las combinaciones lineales es la de las funciones de onda en la mecánica cuántica .

Ver también

• Suma ponderada

Citas

1. Strang (2016) pág. 3, § 1.1
2. Lay, Lay y McDonald (2016) pág. 28, cap. 1
3. Axler (2015) pág. 28, § 2.3
4. nLab (2015) Combinaciones lineales.
5. Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
6. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 9, § 1.2.3
7. Axler (2015) págs. 32-33, §§ 2.17, 2.19
8. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 14, § 1.3.2

Referencias

Libro de texto

• Axler, Sheldon Jay (2015). Álgebra lineal bien hecha (3ª ed.). Saltador . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Lay, David C.; Lay, Steven R.; McDonald, Judi J. (2016). Álgebra lineal y sus aplicaciones (5ª ed.). Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4.
• Strang, Gilbert (2016). Introducción al álgebra lineal (5ª ed.). Prensa de Wellesley Cambridge. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Web

• "Combinaciones lineales". nLaboratorio . 27 de octubre de 2015 . Consultado el 16 de febrero de 2021 .

enlaces externos

• Combinaciones lineales y tramos: comprensión de combinaciones lineales y tramos de vectores, khanacademy.org.