Bimodulo

Grupo Abeliano equipado con acción de anillo compatible en ambos lados

En álgebra abstracta , un bimódulo es un grupo abeliano que es a la vez módulo izquierdo y módulo derecho , de modo que las multiplicaciones izquierda y derecha son compatibles. Además de aparecer de forma natural en muchas partes de las matemáticas , los bimódulos desempeñan un papel clarificador, en el sentido de que muchas de las relaciones entre módulos izquierdos y derechos se vuelven más simples cuando se expresan en términos de bimódulos.

Definición

Si R y S son dos anillos , entonces un bimódulo R - S es un grupo abeliano ( M , +) tal que:

1. M es un módulo R izquierdo y un módulo S derecho.
2. Para todos los r en R , s en S y m en M : $${\displaystyle (r.m).s=r.(m.s).}$$

Un R - R -bimódulo también se conoce como R -bimódulo.

Ejemplos

• Para los enteros positivos n y m , el conjunto M _{n , m} ( R ) de matrices n × m de números reales es un R - S -bimódulo , donde R es el anillo M _n ( R ) de matrices n × n , y S es el anillo M _m ( R ) de matrices m × m . La adición y la multiplicación se llevan a cabo utilizando las reglas habituales de adición y multiplicación de matrices ; las alturas y los anchos de las matrices se han elegido de modo que la multiplicación esté definida. Nótese que M _{n , m} ( R ) en sí mismo no es un anillo (a menos que n = m ), porque multiplicar una matriz n × m por otra matriz n × m no está definido. La propiedad crucial del bimódulo, que ( r . x ). s = r .( x . s ) , es la afirmación de que la multiplicación de matrices es asociativa (lo que, en el caso de un anillo de matrices , corresponde a la asociatividad ).
• Cualquier álgebra A sobre un anillo R tiene la estructura natural de un R -bimódulo, con multiplicación izquierda y derecha definidas por r . a = φ ( r ) a y a . r = aφ ( r ) respectivamente, donde φ  : R → A es la incrustación canónica de R en A .
• Si R es un anillo, entonces R puede considerarse un bimódulo R - R tomando las acciones izquierda y derecha como multiplicación – las acciones se conmutan por asociatividad. Esto puede extenderse a R ⁿ (el producto directo n -veces de R ).
• Cualquier ideal bilateral de un anillo R es un R - R -bimódulo , con la multiplicación del anillo tanto como multiplicación por la izquierda como por la derecha.
• Cualquier módulo sobre un anillo conmutativo R tiene la estructura natural de un bimódulo. Por ejemplo, si M es un módulo izquierdo, podemos definir la multiplicación por la derecha como lo mismo que la multiplicación por la izquierda. (Sin embargo, no todos los R -bimódulos surgen de esta manera: pueden existir otras multiplicaciones por la derecha compatibles).
• Si M es un R -módulo izquierdo, entonces M es un R - Z -bimódulo , donde Z es el anillo de los números enteros . De manera similar, los R -módulos derechos pueden interpretarse como Z - R -bimódulos . Cualquier grupo abeliano puede tratarse como un Z - Z -bimódulo .
• Si M es un R -módulo derecho, entonces el conjunto End _R ( M ) de endomorfismos de R -módulo es un anillo con la multiplicación dada por composición. El anillo de endomorfismos End _R ( M ) actúa sobre M por multiplicación izquierda definida por f . x = f ( x ) . La propiedad de bimódulo, que ( f . x ). r = f .( x . r ) , reafirma que f es un homomorfismo de R -módulo de M a sí mismo. Por lo tanto, cualquier R -módulo derecho M es un End _R ( M )- R -bimódulo. De manera similar, cualquier R -módulo izquierdo N es un R -End _R ( N ) ^op -bimódulo.
• Si R es un subanillo de S , entonces S es un bimódulo R - R . También es un bimódulo R - S y un bimódulo S - R .
• Si M es un S - R -bimódulo y N es un R - T -bimódulo , entonces M ⊗ _R N es un S - T -bimódulo.

Más nociones y hechos

Si M y N son R - S -bimódulos, entonces una función f  : M → N es un homomorfismo de bimódulo si es a la vez un homomorfismo de R -módulos izquierdos y de S -módulos derechos.

Un R - S -bimódulo es en realidad lo mismo que un módulo izquierdo sobre el anillo R ⊗ _Z S ^op , donde S ^op es el anillo opuesto de S (donde la multiplicación se define con los argumentos intercambiados). Los homomorfismos de bimódulo son lo mismo que los homomorfismos de módulos izquierdos R ⊗ _Z S ^op . Usando estos hechos, muchas definiciones y afirmaciones sobre módulos pueden traducirse inmediatamente en definiciones y afirmaciones sobre bimódulos. Por ejemplo, la categoría de todos los R - S -bimódulos es abeliana , y los teoremas de isomorfismo estándar son válidos para bimódulos.

Sin embargo, hay algunos efectos nuevos en el mundo de los bimódulos, especialmente cuando se trata del producto tensorial : si M es un bimódulo R - S y N es un bimódulo S - T , entonces el producto tensorial de M y N (tomado sobre el anillo S ) es un bimódulo R - T de manera natural. Este producto tensorial de bimódulos es asociativo ( hasta un único isomorfismo canónico ), y por lo tanto se puede construir una categoría cuyos objetos son los anillos y cuyos morfismos son los bimódulos. De hecho, se trata de una 2-categoría , de manera canónica: 2 morfismos entre los bimódulos R - S M y N son exactamente homomorfismos de bimódulo, es decir, funciones.

${\displaystyle f:M\rightarrow N}$

que satisface

1. ${\displaystyle f(m+m')=f(m)+f(m')}$
2. ${\displaystyle f(r.m.s)=r.f(m).s}$,

para m ∈ M , r ∈ R y s ∈ S . Se verifica inmediatamente la ley de intercambio para homomorfismos de bimódulo, es decir

${\displaystyle (f'\otimes g')\circ (f\otimes g)=(f'\circ f)\otimes (g'\circ g)}$

se cumple siempre que se define uno (y por tanto el otro) lado de la ecuación, y donde ∘ es la composición habitual de homomorfismos. En esta interpretación, la categoría End ( R ) = Bimod ( R , R ) es exactamente la categoría monoidal de R - R -bimódulos con el producto tensorial habitual sobre R el producto tensorial de la categoría. En particular, si R es un anillo conmutativo , cada R -módulo izquierdo o derecho es canónicamente un R - R -bimódulo , lo que da una incrustación monoidal de la categoría R - Mod en Bimod ( R , R ) . El caso de que R sea un cuerpo K es un ejemplo motivador de una categoría monoidal simétrica, en cuyo caso R - Mod = K - Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre K , con el producto tensorial habitual ⊗ = ⊗ _K dando la estructura monoidal, y con unidad K . También vemos que un monoide en Bimod ( R , R ) es exactamente un R -álgebra. ^{[ aclaración necesaria ] [1]} Además, si M es un R - S -bimódulo y L es un T - S -bimódulo , entonces el conjunto Hom _S ( M , L ) de todos los homomorfismos de S -módulo desde M hasta L se convierte en un T - R -bimódulo de manera natural. Estas afirmaciones se extienden a los funtores derivados Ext y Tor .

Los profunctores pueden verse como una generalización categórica de los bimódulos.

Nótese que los bimódulos no están en absoluto relacionados con las biálgebras .

Véase también

• Profuntor

Referencias

1. Street, Ross (20 de marzo de 2003). "Aspectos categóricos y combinatorios de la teoría de la descendencia". arXiv : math/0303175 .

• Jacobson, N. (1989). Álgebra básica II . WH Freeman and Company. págs. 133–136. ISBN. 0-7167-1933-9.