Ley de Gauss para la gravedad.

Reformulación de la ley de gravitación universal de Newton

En física , la ley de Gauss para la gravedad , también conocida como teorema del flujo de Gauss para la gravedad , es una ley de la física que es equivalente a la ley de gravitación universal de Newton . Lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss . Afirma que el flujo ( integral de superficie ) del campo gravitacional sobre cualquier superficie cerrada es proporcional a la masa encerrada. A menudo es más conveniente trabajar con la ley de Gauss para la gravedad que con la ley de Newton. ^[1]

La forma de la ley de Gauss para la gravedad es matemáticamente similar a la ley de Gauss para la electrostática , una de las ecuaciones de Maxwell . La ley de Gauss para la gravedad tiene la misma relación matemática con la ley de Newton que la ley de Gauss para la electrostática tiene con la ley de Coulomb . Esto se debe a que tanto la ley de Newton como la ley de Coulomb describen la interacción del cuadrado inverso en un espacio tridimensional.

Declaración cualitativa de la ley.

El campo gravitacional g (también llamado aceleración gravitacional ) es un campo vectorial: un vector en cada punto del espacio (y del tiempo). Se define de modo que la fuerza gravitacional experimentada por una partícula es igual a la masa de la partícula multiplicada por el campo gravitacional en ese punto.

El flujo gravitacional es una integral de superficie del campo gravitacional sobre una superficie cerrada, de forma análoga a cómo el flujo magnético es una integral de superficie del campo magnético.

La ley de Gauss para los estados de gravedad:

El flujo gravitacional a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la masa encerrada .

forma integral

La forma integral de la ley de Gauss para los estados de gravedad:

${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$

dónde

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ (también escrito ) denota una integral de superficie sobre una superficie cerrada, ${\displaystyle \oint _{\partial V}}$
• ∂ V es cualquier superficie cerrada (el límite de un volumen arbitrario V ),
• d A es un vector , cuya magnitud es el área de una pieza infinitesimal de la superficie ∂ V , y cuya dirección es la normal a la superficie que apunta hacia afuera (ver integral de superficie para más detalles),
• g es el campo gravitacional ,
• G es la constante gravitacional universal , y
• M es la masa total encerrada dentro de la superficie ∂ V .

El lado izquierdo de esta ecuación se llama flujo del campo gravitacional. Tenga en cuenta que según la ley siempre es negativo (o cero) y nunca positivo. Esto puede contrastarse con la ley de Gauss para la electricidad, donde el flujo puede ser positivo o negativo. La diferencia es que la carga puede ser positiva o negativa, mientras que la masa sólo puede ser positiva.

forma diferencial

La forma diferencial de la ley de Gauss para los estados de gravedad.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$

donde denota divergencia , G es la constante gravitacional universal y ρ es la densidad de masa en cada punto. ${\displaystyle \nabla \cdot }$

Relación con la forma integral

Las dos formas de la ley de gravedad de Gauss son matemáticamente equivalentes. El teorema de la divergencia establece:

$${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV}$$

VVdVVla integral de volumengcontinuamente diferenciableV.

Dado también que

$${\displaystyle M=\int _{V}\rho \ dV}$$

$${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV}$$

$${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.}$$

V

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$$

Es posible derivar la forma integral a partir de la forma diferencial utilizando este método a la inversa.

Aunque las dos formas son equivalentes, una u otra podría ser más conveniente para usar en un cálculo particular.

Relación con la ley de Newton

Derivando la ley de Gauss a partir de la ley de Newton

La ley de Gauss para la gravedad se puede derivar de la ley de gravitación universal de Newton , que establece que el campo gravitacional debido a una masa puntual es:

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {e_{r}} }$$

• e _r es el vector unitario radial ,
• r es el radio, | r |.
• M es la masa de la partícula, que se supone que es una masa puntual ubicada en el origen .

En el cuadro siguiente se muestra una prueba utilizando cálculo vectorial. Es matemáticamente idéntica a la prueba de la ley de Gauss (en electrostática ) a partir de la ley de Coulomb . ^[2]

Esquema de la prueba

g ( r ), el campo gravitacional en r , se puede calcular sumando la contribución a g ( r ) debida a cada partícula de masa en el universo (ver principio de superposición ). Para hacer esto, integramos cada punto s en el espacio, sumando la contribución a g ( r ) asociada con la masa (si la hay) en s , donde esta contribución se calcula mediante la ley de Newton. El resultado es:

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .}$$

( d ³ s representa ds _x ds _y ds _z , cada uno de los cuales está integrado de −∞ a +∞.) Si tomamos la divergencia de ambos lados de esta ecuación con respecto a r y usamos el teorema conocido ^[2]

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$

donde δ ( r ) es la función delta de Dirac , el resultado es

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ d^{3}\mathbf {s} .}$$

Usando la "propiedad de tamizado" de la función delta de Dirac, llegamos a

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )}$$

que es la forma diferencial de la ley de gravedad de Gauss, como se desea.

Derivando la ley de Newton a partir de la ley de Gauss y la irrotacionalidad

Es imposible probar matemáticamente la ley de Newton únicamente a partir de la ley de Gauss , porque la ley de Gauss especifica la divergencia de g pero no contiene ninguna información sobre la curvatura de g (ver descomposición de Helmholtz ). Además de la ley de Gauss, se utiliza el supuesto de que g es irrotacional (tiene curvatura cero), ya que la gravedad es una fuerza conservativa :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =0}$

Incluso estas no son suficientes: las condiciones de frontera sobre g también son necesarias para probar la ley de Newton, como la suposición de que el campo es cero infinitamente lejos de una masa.

La prueba de la ley de Newton a partir de estos supuestos es la siguiente:

Esquema de la prueba

Comience con la forma integral de la ley de Gauss:

$${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.}$$

Aplique esta ley a la situación donde el volumen V es una esfera de radio r centrada en un punto de masa M. Es razonable esperar que el campo gravitacional de una masa puntual sea esféricamente simétrico. (Omitimos la prueba por simplicidad). Al hacer esta suposición, g toma la siguiente forma:

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-g(r)\,\mathbf {e_{r}} }$$

(es decir, la dirección de g es antiparalela a la dirección de r , y la magnitud de g depende sólo de la magnitud, no de la dirección, de r ). Conectando esto y usando el hecho de que ∂ V es una superficie esférica con r y área constantes , ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$

${\displaystyle g(r)\oint _{\partial V}(-\mathbf {e_{r}} )\cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$

${\displaystyle g(r)\cdot (-4\pi r^{2})=-4\pi GM}$

${\displaystyle g(r)={\frac {GM}{r^{2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}}$

que es la ley de Newton.

La ecuación de Poisson y el potencial gravitacional.

Dado que el campo gravitacional tiene curvatura cero (de manera equivalente, la gravedad es una fuerza conservativa ) como se mencionó anteriormente, se puede escribir como el gradiente de un potencial escalar , llamado potencial gravitacional :

$${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$

la ecuación de Poisson

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

gg

En sistemas radialmente simétricos, el potencial gravitacional es función de una sola variable (es decir, ), y la ecuación de Poisson se convierte (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas ): ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$

$${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)}$$

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.}$$

Al resolver la ecuación se debe tener en cuenta que en el caso de densidades finitas ∂ ϕ /∂ r tiene que ser continuo en los límites (discontinuidades de la densidad), y cero para r = 0 .

Aplicaciones

La ley de Gauss se puede utilizar para derivar fácilmente el campo gravitacional en ciertos casos en los que una aplicación directa de la ley de Newton sería más difícil (pero no imposible). Consulte el artículo Superficie gaussiana para obtener más detalles sobre cómo se realizan estas derivaciones. Tres de estas aplicaciones son las siguientes:

plato bouguer

Podemos concluir (usando un " pastillero gaussiano ") que para una placa plana infinita ( placa de Bouguer ) de cualquier espesor finito, el campo gravitacional fuera de la placa es perpendicular a la placa, hacia ella, con magnitud 2 πG veces la masa. por unidad de área, independientemente de la distancia a la placa ^[3] (ver también anomalías de gravedad ).

De manera más general, para una distribución de masa cuya densidad depende únicamente de una coordenada cartesiana z , la gravedad para cualquier z es 2 πG veces la diferencia de masa por unidad de área a cada lado de este valor de z .

En particular, una combinación paralela de dos placas paralelas infinitas de igual masa por unidad de área no produce ningún campo gravitacional entre ellas.

Distribución de masa cilíndricamente simétrica.

En el caso de una distribución de masa infinitamente uniforme (en z ) cilíndricamente simétrica podemos concluir (usando una superficie gaussiana cilíndrica ) que la intensidad del campo a una distancia r del centro es hacia adentro con una magnitud de 2 G / r veces el total masa por unidad de longitud a una distancia menor (desde el eje), independientemente de cualquier masa a una distancia mayor.

Por ejemplo, dentro de un cilindro hueco uniforme infinito, el campo es cero.

Distribución de masa esféricamente simétrica.

En el caso de una distribución de masa esféricamente simétrica podemos concluir (usando una superficie gaussiana esférica ) que la intensidad del campo a una distancia r del centro es hacia adentro con una magnitud de G / r ² veces solo la masa total dentro de una distancia menor. que r . Toda la masa a una distancia mayor que r del centro no tiene ningún efecto resultante.

Por ejemplo, una esfera hueca no produce gravedad neta en su interior. El campo gravitacional en el interior es el mismo que si la esfera hueca no estuviera allí (es decir, el campo resultante es el de todas las masas sin incluir la esfera, que pueden estar dentro y fuera de la esfera).

Aunque esto se deriva en una o dos líneas de álgebra de la ley de gravedad de Gauss, Isaac Newton necesitó varias páginas de cálculo engorroso para derivarlo directamente utilizando su ley de gravedad; consulte el artículo teorema de shell para esta derivación directa.

Derivación del lagrangiano

La densidad lagrangiana de la gravedad newtoniana es

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}}$$

el principio de Hamilton

$${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).}$$

Lagrangiano (teoría de campos)

Ver también

• Portal de física

• Carl Friedrich Gauss
• Teorema de divergencia
• Ley de Gauss para la electricidad.
• Ley de Gauss para el magnetismo.
• Cálculo vectorial
• Integral
• Flujo
• superficie gaussiana

Referencias

1. "Ley de Gauss y gravedad".
2. Véase, por ejemplo, Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. pag. 50.ISBN​ 0-13-805326-X.
3. El solucionador de problemas de mecánica, por Fogiel, págs. 535–536

Otras lecturas

• Para el uso del término "ley de Gauss para la gravedad", véase, por ejemplo, Moody, MV; Paik, HJ (1 de marzo de 1993). "Prueba de la gravedad de la ley de Gauss a corta distancia". Cartas de revisión física . 70 (9): 1195-1198. Código bibliográfico : 1993PhRvL..70.1195M. doi :10.1103/PhysRevLett.70.1195. PMID  10054315.