Horociclo

Curva cuyas normales convergen asintóticamente

Un horociclo azul en el modelo del disco de Poincaré y algunas normales rojas. Las normales convergen asintóticamente al punto ideal central superior .

En geometría hiperbólica , un horociclo ( de raíces griegas que significan "círculo límite"), a veces llamado oriciclo o círculo límite , es una curva de curvatura constante donde todas las geodésicas perpendiculares ( normales ) a través de un punto en un horociclo son paralelas limitantes , y todas convergen asintóticamente a un único punto ideal llamado centro del horociclo. En algunos modelos de geometría hiperbólica parece que los dos "extremos" de un horociclo se acercan cada vez más entre sí y se acercan a su centro, esto no es cierto; los dos "extremos" de un horociclo se alejan cada vez más entre sí y permanecen a una distancia infinita de su centro. Una horosfera es la versión tridimensional de un horociclo.

En el espacio euclidiano , todas las curvas de curvatura constante son líneas rectas (geodésicas) o círculos , pero en un espacio hiperbólico de curvatura seccional las curvas de curvatura constante son de cuatro tipos: geodésicas con curvatura, hiperciclos con curvatura , horociclos con curvatura y círculos con curvatura. ${\displaystyle -1,}$ ${\displaystyle \kappa =0,}$ ${\displaystyle 0<|\kappa |<1,}$ ${\displaystyle |\kappa |=1,}$ ${\displaystyle |\kappa |>1.}$

Dos horociclos cualesquiera son congruentes y pueden superponerse mediante una isometría (traslación y rotación) del plano hiperbólico.

Un horociclo también puede describirse como el límite de los círculos que comparten una tangente en un punto dado, cuando sus radios tienden a infinito , o como el límite de los hiperciclos tangentes en el punto cuando las distancias desde sus ejes tienden a infinito.

Dos horociclos con el mismo centro se denominan concéntricos . En cuanto a los círculos concéntricos, cualquier geodésica perpendicular a un horociclo también es perpendicular a todo horociclo concéntrico.

Propiedades

• Por cada par de puntos hay 2 horociclos. Los centros de los horociclos son los puntos ideales de la mediatriz del segmento comprendido entre ellos.
• No hay tres puntos de un horociclo en una línea, círculo o hiperciclo.
• Todos los horociclos son congruentes . (Incluso los horociclos concéntricos son congruentes entre sí)
• Una línea recta , un círculo , un hiperciclo u otro horociclo corta a un horociclo en dos puntos como máximo.
• La bisectriz perpendicular de una cuerda de un horociclo es una normal de ese horociclo y la bisectriz biseca el arco subtendido por la cuerda y es un eje de simetría de ese horociclo.
• La longitud de un arco de un horociclo entre dos puntos es:

más largo que la longitud del segmento de línea entre esos dos puntos,

más largo que la longitud del arco de un hiperciclo entre esos dos puntos y

más corto que la longitud de cualquier arco circular entre esos dos puntos.

• La distancia de un horociclo a su centro es infinita, y aunque en algunos modelos de geometría hiperbólica parece que los dos "extremos" de un horociclo se acercan cada vez más y se acercan a su centro, esto no es cierto; los dos "extremos" de un horociclo se alejan cada vez más uno del otro.
• Un apeirógono regular está circunscrito por un horociclo o un hiperciclo.
• Si C es el centro de un horociclo y A y B son puntos del horociclo, entonces los ángulos CAB y CBA son iguales. ^[1]
• El área de un sector de un horociclo (el área entre dos radios y el horociclo) es finita. ^[2]

Curvatura gaussiana estandarizada

Cuando el plano hiperbólico tiene la curvatura gaussiana estandarizada K de −1:

• La longitud s de un arco de un horociclo entre dos puntos es: donde d es la distancia entre los dos puntos, y sinh y cosh son funciones hiperbólicas . ^[3] $${\displaystyle s=2\sinh \left({\frac {1}{2}}d\right)={\sqrt {2(\cosh d-1)}}}$$
• La longitud de un arco de un horociclo tal que la tangente en un extremo es paralela al radio que pasa por el otro extremo es 1. ^[4] el área encerrada entre este horociclo y los radios es 1. ^[5]
• La relación de las longitudes de arco entre dos radios de dos horociclos concéntricos donde los horociclos están separados por una distancia de 1 es e  : 1. ^[6]

Representaciones en modelos de geometría hiperbólica

El teselado apeirogonal de orden 3 , {∞,3}, llena el plano hiperbólico con apeirogones cuyos vértices existen a lo largo de trayectorias horocíclicas.

Modelo de disco de Poincaré

En el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, los horociclos están representados por círculos tangentes al círculo límite; el centro del horociclo es el punto ideal donde el horociclo toca el círculo límite.

La construcción con compás y regla de los dos horociclos a través de dos puntos es la misma construcción de la construcción CPP para los casos especiales del problema de Apolonio donde ambos puntos están dentro del círculo.

En el modelo del disco de Poincaré, parece que los puntos cercanos a los "extremos" opuestos de un horociclo se acercan entre sí y al centro del horociclo (en el círculo límite), pero en la geometría hiperbólica cada punto de un horociclo está infinitamente distante del centro del horociclo. Además, la distancia entre los puntos en los "extremos" opuestos del horociclo aumenta a medida que aumenta la longitud del arco entre esos puntos. (La intuición euclidiana puede ser engañosa porque la escala del modelo aumenta hasta el infinito en el círculo límite).

Modelo de semiplano de Poincaré

En el modelo de semiplano de Poincaré , los horociclos se representan mediante círculos tangentes a la línea límite, en cuyo caso su centro es el punto ideal donde el círculo toca la línea límite.

Cuando el centro del horociclo es el punto ideal, entonces el horociclo es una línea paralela a la línea límite. ${\displaystyle y=\infty }$

La construcción con compás y regla en el primer caso es la misma construcción que la construcción LPP para los casos especiales del problema de Apolonio .

Modelo hiperboloide

En el modelo hiperboloide, los horociclos se representan mediante intersecciones del hiperboloide con planos cuya normal se encuentra en el cono asintótico (es decir, es un vector nulo en el espacio tridimensional de Minkowski ).

Métrico

Si la métrica se normaliza para tener una curvatura gaussiana  −1, entonces el horociclo es una curva de curvatura geodésica  1 en cada punto.

Flujo de horociclo

Todo horociclo es la órbita de un subgrupo unipotente de PSL(2,R) en el plano hiperbólico. Además, el desplazamiento a velocidad unitaria a lo largo de la tangente del horociclo a un vector tangente unitario dado induce un flujo en el fibrado tangente unitario del plano hiperbólico. Este flujo se denomina flujo del horociclo del plano hiperbólico.

Identificando el fibrado tangente unitario con el grupo PSL(2,R) , el flujo del horociclo viene dado por la acción derecha del subgrupo unipotente , donde: Es decir, el flujo en el momento que parte de un vector representado por es igual a . ${\displaystyle U=\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}}$ $${\displaystyle u_{t}=\pm \left({\begin{array}{cc}1&t\\0&1\end{array}}\right).}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle gu_{t}}$

Si es una superficie hiperbólica, su fibrado tangente unitario también admite un flujo de horociclo. Si está uniformizado, ya que el fibrado tangente unitario se identifica con y el flujo que comienza en está dado por . Cuando es compacto, o más generalmente cuando es una red , este flujo es ergódico (con respecto a la medida de Liouville normalizada ). Además, en este contexto, los teoremas de Ratner describen con mucha precisión los posibles cierres para sus órbitas. ^[7] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma g}$ ${\displaystyle t\mapsto \Gamma gu_{t}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Véase también

Los círculos vistos en una junta apolínea que son tangentes al círculo externo pueden considerarse horociclos en un modelo de disco de Poincaré.

• Horóscopo
• Hiperciclo (geometría)

Referencias

1. Sossinsky, AB (2012). Geometrías . Providence, RI: American Mathematical Society. págs. 141-2. ISBN. 9780821875711.
2. Coxeter, HSM (1998). Geometría no euclidiana (6.ª ed.). Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos. pp. 243–244. ISBN 978-0-88385-522-5.
3. Smogorzhevsky (1976). Geometría lobachevskiana . Moscú: Mir. p. 65.
4. Sommerville, DMY (2005). Los elementos de la geometría no euclidiana (edición republicada sin modificaciones). Mineola, NY: Dover Publications. p. 58. ISBN 0-486-44222-5.
5. Coxeter, HSM (1998). Geometría no euclidiana (6.ª ed.). Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos. p. 250. ISBN 978-0-88385-522-5.
6. Sommerville, DMY (2005). Los elementos de la geometría no euclidiana (edición republicada sin modificaciones). Mineola, NY: Dover Publications. p. 58. ISBN 0-486-44222-5.
7. Morris, Dave Witte (2005). Teoremas de Ratner sobre flujos unipotentes . Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press. arXiv : math/0310402 . ISBN. 978-0-226-53984-3.Sr. 2158954  .

Lectura adicional

• HSM Coxeter (1961) Introducción a la geometría , §16.6: "Círculos, horociclos y curvas equidistantes", página 300, 1, John Wiley & Sons .
• John Stillwell (2005) Los cuatro pilares de la geometría , cap. 8, "Geometría no euclidiana", pág. 198, ISBN 0-387-25530-3