En geometría euclidiana , el problema de Apolonio consiste en construir todos los círculos que sean tangentes a tres círculos dados. Los casos especiales del problema de Apolonio son aquellos en los que al menos uno de los círculos dados es un punto o una línea, es decir, es un círculo de radio cero o infinito. Los nueve tipos de casos límite de este tipo del problema de Apolonio consisten en construir los círculos tangentes a:
En un tipo diferente de caso límite, los tres elementos geométricos dados pueden tener una disposición especial, como por ejemplo construir un círculo tangente a dos líneas paralelas y un círculo.
Como la mayoría de las ramas de las matemáticas , la geometría euclidiana se ocupa de las demostraciones de verdades generales a partir de un mínimo de postulados . Por ejemplo, una demostración sencilla demostraría que al menos dos ángulos de un triángulo isósceles son iguales. Un tipo importante de demostración en la geometría euclidiana es demostrar que un objeto geométrico se puede construir con un compás y una regla sin marcar; un objeto se puede construir si y solo si (si y solo si) ( se toman valores no superiores a raíces cuadradas ). Por lo tanto, es importante determinar si un objeto se puede construir con compás y regla y, de ser así, cómo se puede construir.
Euclides desarrolló numerosas construcciones con compás y regla. Algunos ejemplos son: polígonos regulares como el pentágono y el hexágono , una línea paralela a otra que pasa por un punto determinado, etc. Muchos rosetones de las catedrales góticas , así como algunos nudos celtas , pueden diseñarse utilizando únicamente construcciones euclidianas. Sin embargo, algunas construcciones geométricas no son posibles con esas herramientas, entre ellas el heptágono y la trisección de un ángulo.
Apolonio aportó muchas construcciones, a saber, encontrar los círculos que son tangentes a tres elementos geométricos simultáneamente, donde los "elementos" pueden ser un punto, una línea o un círculo.
En las construcciones euclidianas se permiten cinco operaciones:
Los elementos iniciales de una construcción geométrica se denominan "datos", como por ejemplo un punto dado, una línea dada o un círculo dado.
Para construir la mediatriz de un segmento de recta entre dos puntos se necesitan dos circunferencias, cada una centrada en un extremo y que pase por el otro extremo (operación 2). Los puntos de intersección de estas dos circunferencias (operación 4) son equidistantes de los extremos. La recta que los pasa (operación 1) es la mediatriz.
Para generar la línea que biseca el ángulo entre dos rayos dados [ aclaración necesaria ] se requiere un círculo de radio arbitrario centrado en el punto de intersección P de las dos líneas (2). Los puntos de intersección de este círculo con las dos líneas dadas (5) son T1 y T2. Dos círculos del mismo radio, centrados en T1 y T2, se intersecan en los puntos P y Q. La línea que pasa por P y Q (1) es una bisectriz de ángulo. Los rayos tienen una bisectriz de ángulo; las líneas tienen dos, perpendiculares entre sí.
Algunos resultados básicos son útiles para resolver casos especiales del problema de Apolonio. Nótese que una línea y un punto pueden considerarse círculos de radio infinitamente grande e infinitamente pequeño, respectivamente.
Los problemas PPP generalmente tienen una única solución. Como se muestra arriba, si un círculo pasa por dos puntos dados P 1 y P 2 , su centro debe estar en algún lugar de la línea mediatriz de los dos puntos. Por lo tanto, si el círculo solución pasa por tres puntos dados P 1 , P 2 y P 3 , su centro debe estar en las mediatrices de , y . Al menos dos de estas bisectrices deben intersectar, y su punto de intersección es el centro del círculo solución. El radio del círculo solución es la distancia desde ese centro a cualquiera de los tres puntos dados.
Los problemas de LLL generalmente ofrecen 4 soluciones. Como se muestra arriba, si un círculo es tangente a dos líneas dadas, su centro debe estar en una de las dos líneas que bisecan el ángulo entre las dos líneas dadas. Por lo tanto, si un círculo es tangente a tres líneas dadas L 1 , L 2 y L 3 , su centro C debe estar ubicado en la intersección de las líneas bisectrices de las tres líneas dadas. En general, hay cuatro de esos puntos, lo que da cuatro soluciones diferentes para el problema de Apolonio de LLL. El radio de cada solución se determina encontrando un punto de tangencia T , que puede hacerse eligiendo uno de los tres puntos de intersección P entre las líneas dadas; y dibujando un círculo centrado en el punto medio de C y P de diámetro igual a la distancia entre C y P . Las intersecciones de ese círculo con las líneas dadas que se intersecan son los dos puntos de tangencia.
Los problemas de PLL generalmente tienen 2 soluciones. Como se muestra arriba, si un círculo es tangente a dos líneas dadas, su centro debe estar en una de las dos líneas que bisecan el ángulo entre las dos líneas dadas. Por simetría , si dicho círculo pasa por un punto dado P , también debe pasar por un punto Q que es la "imagen especular" de P con respecto a la bisectriz del ángulo. Los dos círculos solución pasan por P y Q , y su eje radical es la línea que conecta esos dos puntos. Considere el punto G en el que el eje radical interseca una de las dos líneas dadas. Dado que cada punto en el eje radical tiene la misma potencia relativa a cada círculo, las distancias y a los puntos tangentes solución T 1 y T 2 son iguales entre sí y al producto
Por lo tanto, las distancias son ambas iguales a la media geométrica de y . A partir de G y de esta distancia, se pueden hallar los puntos tangentes T 1 y T 2 . Entonces, las dos circunferencias solución son las circunferencias que pasan por los tres puntos ( P , Q , T 1 ) y ( P , Q , T 2 ), respectivamente.
Los problemas de PPL generalmente tienen 2 soluciones. Si una línea m trazada a través de los puntos dados P y Q es paralela a la línea dada l , el punto tangente T del círculo con l está ubicado en la intersección de la mediatriz de con l . En ese caso, el único círculo solución es el círculo que pasa por los tres puntos P , Q y T .
Si la línea m no es paralela a la línea dada l , entonces interseca a l en un punto G . Por el teorema de la potencia de un punto, la distancia desde G hasta un punto tangente T debe ser igual a la media geométrica
Dos puntos de la recta dada L están situados a una distancia del punto G , que puede denotarse como T 1 y T 2 . Los dos círculos solución son los círculos que pasan por los tres puntos ( P , Q , T 1 ) y ( P , Q , T 2 ), respectivamente.
Los dos círculos en el problema de dos puntos y una línea , donde la línea que pasa por P y Q no es paralela a la línea dada l , se pueden construir con compás y regla de la siguiente manera:
La construcción más rápida (si están disponibles las intersecciones de l con ( PQ ) y la perpendicular central a [ PQ ]; basada en el enfoque de Gergonne).
La construcción universal (si las intersecciones de l con ( PQ ) o la perpendicular central a [ PQ ] no están disponibles o no existen).
Los problemas CPP generalmente tienen 2 soluciones. Considere un círculo centrado en un punto dado P que pasa por el segundo punto, Q . Como el círculo solución debe pasar por P , la inversión en este círculo transforma el círculo solución en una línea lambda. La misma inversión transforma Q en sí mismo, y (en general) el círculo dado C en otro círculo c . Por lo tanto, el problema se convierte en el de encontrar una línea solución que pase por Q y sea tangente a c , que se resolvió anteriormente; hay dos líneas de este tipo. La reinversión produce los dos círculos solución correspondientes del problema original.
Los problemas CLP generalmente tienen 4 soluciones. La solución de este caso especial es similar a la de la solución CPP Apollonius. Dibuje un círculo centrado en el punto dado P ; como el círculo solución debe pasar por P , la inversión en este [ aclaración necesaria ] círculo transforma el círculo solución en una línea lambda. En general, la misma inversión transforma la línea dada L y el círculo dado C en dos nuevos círculos, c 1 y c 2 . Por lo tanto, el problema se convierte en el de encontrar una línea solución tangente a los dos círculos invertidos, que se resolvió anteriormente. Hay cuatro de esas líneas, y la reinversión las transforma en los cuatro círculos solución del problema de Apollonius.
Los problemas CCP generalmente tienen 4 soluciones. La solución de este caso especial es similar a la de CPP. Dibuje un círculo centrado en el punto dado P ; como el círculo solución debe pasar por P , la inversión en este círculo transforma el círculo solución en una línea lambda. En general, la misma inversión transforma el círculo dado C 1 y C 2 en dos nuevos círculos, c 1 y c 2 . Por lo tanto, el problema se convierte en el de encontrar una línea solución tangente a los dos círculos invertidos, que se resolvió anteriormente. Hay cuatro de esas líneas, y la reinversión las transforma en los cuatro círculos solución del problema de Apolonio original.
Los problemas de CLL generalmente tienen 8 soluciones. Este caso especial se resuelve más fácilmente usando escalamiento. El círculo dado se encoge a un punto y el radio del círculo solución se reduce en la misma cantidad (si es una solución tangente interna) o se aumenta (si es un círculo tangente externa). Dependiendo de si el círculo solución aumenta o disminuye en radios, las dos líneas dadas se desplazan paralelamente a sí mismas en la misma cantidad, dependiendo de en qué cuadrante cae el centro del círculo solución. Esta reducción del círculo dado a un punto reduce el problema al problema de PLL, resuelto anteriormente. En general, hay dos soluciones de este tipo por cuadrante, lo que da ocho soluciones en total.
Los problemas CCL generalmente tienen 8 soluciones. La solución de este caso especial es similar a la CLL. El círculo más pequeño se encoge hasta un punto, mientras se ajustan los radios del círculo más grande dado y cualquier círculo solución, y se desplaza la línea paralela a sí misma, según sean interna o externamente tangentes al círculo más pequeño. Esto reduce el problema a CLP. Cada problema CLP tiene cuatro soluciones, como se describió anteriormente, y hay dos problemas de este tipo, dependiendo de si el círculo solución es interna o externamente tangente al círculo más pequeño.
Un problema de Apolonio es imposible si los círculos dados están anidados , es decir, si un círculo está completamente encerrado dentro de un círculo particular y el círculo restante está completamente excluido. Esto se debe a que cualquier círculo solución tendría que cruzar el círculo medio para moverse desde su tangencia al círculo interior hasta su tangencia con el círculo exterior. Este resultado general tiene varios casos especiales cuando los círculos dados se reducen a puntos (radio cero) o se expanden a líneas rectas (radio infinito). Por ejemplo, el problema CCL tiene cero soluciones si los dos círculos están en lados opuestos de la línea ya que, en ese caso, cualquier círculo solución tendría que cruzar la línea dada de manera no tangencial para ir desde el punto tangente de un círculo al del otro.
