fluido newtoniano

tipo de fluido

Un fluido newtoniano es un fluido en el que las tensiones viscosas que surgen de su flujo están correlacionadas linealmente en cada punto con la tasa de deformación local : la tasa de cambio de su deformación a lo largo del tiempo. ^{[1] [2] [3] [4]} Las tensiones son proporcionales a la tasa de cambio del vector de velocidad del fluido .

Un fluido es newtoniano sólo si los tensores que describen la tensión viscosa y la velocidad de deformación están relacionados por un tensor de viscosidad constante que no depende del estado de tensión ni de la velocidad del flujo. Si el fluido también es isotrópico (las propiedades mecánicas son las mismas en cualquier dirección), el tensor de viscosidad se reduce a dos coeficientes reales, que describen la resistencia del fluido a la deformación por corte continua y a la compresión o expansión continua, respectivamente.

Los fluidos newtonianos son los modelos matemáticos más sencillos de fluidos que tienen en cuenta la viscosidad. Si bien ningún fluido real se ajusta perfectamente a la definición, se puede suponer que muchos líquidos y gases comunes, como el agua y el aire, son newtonianos para cálculos prácticos en condiciones ordinarias. Sin embargo, los fluidos no newtonianos son relativamente comunes e incluyen oobleck (que se vuelve más rígido cuando se corta vigorosamente) y pintura que no gotea (que se vuelve más delgada cuando se corta ). Otros ejemplos incluyen muchas soluciones de polímeros (que exhiben el efecto Weissenberg ), polímeros fundidos, muchas suspensiones sólidas, sangre y la mayoría de los fluidos muy viscosos.

Los fluidos newtonianos llevan el nombre de Isaac Newton , quien utilizó por primera vez la ecuación diferencial para postular la relación entre la tasa de deformación cortante y el esfuerzo cortante para dichos fluidos.

Definición

Un elemento de un líquido o gas que fluye soportará las fuerzas del fluido circundante, incluidas las fuerzas de tensión viscosas que hacen que se deforme gradualmente con el tiempo. Estas fuerzas pueden ser matemáticamente de primer orden aproximadas mediante un tensor de tensión viscoso , generalmente denotado por . ${\displaystyle \tau }$

La deformación de un elemento fluido, en relación con algún estado anterior, puede aproximarse de primer orden mediante un tensor de deformación que cambia con el tiempo. La derivada temporal de ese tensor es el tensor de velocidad de deformación , que expresa cómo cambia la deformación del elemento con el tiempo; y también es el gradiente del campo del vector velocidad en ese punto, a menudo denominado . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla v}$

Los tensores y pueden expresarse mediante matrices de 3×3 , relativas a cualquier sistema de coordenadas elegido . Se dice que el fluido es newtoniano si estas matrices están relacionadas por la ecuación donde hay un tensor fijo de cuarto orden de 3 × 3 × 3 × 3 que no depende de la velocidad o el estado de tensión del fluido. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nabla v}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}(\nabla v)}$ ${\displaystyle \mu }$

Caso isotrópico incompresible

Para un fluido newtoniano incompresible e isotrópico en flujo laminar solo en la dirección x (es decir, donde la viscosidad es isotrópica en el fluido), la tensión cortante está relacionada con la velocidad de deformación mediante la simple ecuación constitutiva

$${\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}$$

• ${\displaystyle \tau }$es el esfuerzo cortante (" arrastre de la piel ") en el fluido,
• ${\displaystyle \mu }$es una constante escalar de proporcionalidad, la viscosidad dinámica del fluido
• ${\displaystyle {\frac {du}{dy}}}$es la derivada en la dirección y, normal a x, de la componente de velocidad del flujo u que está orientada a lo largo de la dirección x.

En el caso de un flujo general incompresible 2D en el plano x, y, la ecuación constitutiva de Newton queda:

$${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)}$$

• ${\displaystyle \tau _{xy}}$es el esfuerzo cortante (" arrastre de la piel ") en el fluido,
• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}}$es la derivada parcial en la dirección y del componente de velocidad del flujo u que está orientado a lo largo de la dirección x.
• ${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}}$es la derivada parcial en la dirección x del componente de velocidad del flujo v que está orientado a lo largo de la dirección y.

Ahora podemos generalizar al caso de un flujo incompresible con una dirección general en el espacio 3D, la ecuación constitutiva anterior se convierte en

$${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$

• ${\displaystyle x_{j}}$es la coordenada espacial ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle v_{i}}$es la velocidad del fluido en la dirección del eje ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \tau _{ij}}$es la -ésima componente de la tensión que actúa sobre las caras del elemento fluido perpendicular al eje . Es el ij-ésimo componente del tensor de tensión cortante. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

o escrito en notación tensorial más compacta

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)}$$

${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$

Una forma alternativa de enunciar esta ecuación constitutiva es:

Ecuación constitutiva de la tensión de Stokes (expresión utilizada para sólidos elásticos incompresibles)

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

dónde

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$

tensor de tasa de deformación^[5]

Ecuación constitutiva de tensiones de Stokes (expresión utilizada para fluidos viscosos incompresibles)

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

Esta ecuación constitutiva también se llama ley newtoniana de la viscosidad .

El tensor de tensión total siempre se puede descomponer como la suma del tensor de tensión isotrópico y el tensor de tensión desviador ( ): ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} +{\boldsymbol {\sigma }}'}$

En el caso incompresible, la tensión isotrópica es simplemente proporcional a la presión termodinámica : ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {1}{3}}\sum _{k}\sigma _{kk}}$$

y la tensión desviatoria coincide con el tensor de tensión cortante : ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)}$$

La ecuación constitutiva del estrés entonces se convierte en

$${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)}$$

${\displaystyle \mathbf {I} }$

Caso comprimible general

La ley constitutiva de Newton para un flujo compresible resulta de los siguientes supuestos sobre el tensor de tensión de Cauchy: ^[5]

• la tensión es invariante galileana : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino sólo de las derivadas espaciales de la velocidad del flujo. Entonces, la variable de tensión es el gradiente del tensor , o más simplemente el tensor de tasa de deformación : ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• la tensión desviatoria es lineal en esta variable: , donde es independiente del tensor de velocidad de deformación, es el tensor de cuarto orden que representa la constante de proporcionalidad, llamado tensor de viscosidad o elasticidad , y : es el producto de doble punto . ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {C} }$
• se supone que el fluido es isotrópico , como ocurre con los gases y los líquidos simples, y en consecuencia es un tensor isotrópico; además, como el tensor de tensiones desviatorias es simétrico, mediante descomposición de Helmholtz se puede expresar en términos de dos parámetros escalares de Lamé , la segunda viscosidad y la viscosidad dinámica , como es habitual en la elasticidad lineal : ${\textstyle \mathbf {C} }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mu }$
  Ecuación constitutiva de tensiones lineales (expresión similar a la del sólido elástico)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  donde es el tensor de identidad y es la traza del tensor de tasa de deformación. Entonces esta descomposición se puede definir explícitamente como: ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$

  $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

Dado que la traza del tensor de tasa de deformación en tres dimensiones es la divergencia (es decir, tasa de expansión) del flujo:

$${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Dada esta relación, y dado que la traza del tensor de identidad en tres dimensiones es tres:

$${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

la traza del tensor de tensiones en tres dimensiones queda:

$${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Entonces, descomponiendo alternativamente el tensor de tensión en partes isotrópicas y desviatorias , como es habitual en la dinámica de fluidos: ^[6]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p+\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

Introduciendo la viscosidad aparente , ${\textstyle \zeta }$

$${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

llegamos a la ecuación constitutiva lineal en la forma habitualmente empleada en hidráulica térmica : ^[5]

Ecuación constitutiva de tensiones lineales (expresión utilizada para fluidos)

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

que también se puede disponer en la otra forma habitual: ^[7]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

Tenga en cuenta que en el caso compresible la presión ya no es proporcional al término de tensión isotrópica , ya que existe el término adicional de viscosidad aparente: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

y el tensor de tensión desviatoria sigue coincidiendo con el tensor de tensión de corte (es decir, la tensión desviatoria en un fluido newtoniano no tiene componentes de tensión normales), y tiene un término de compresibilidad además del caso incompresible, que es proporcional a la viscosidad de corte: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

Tenga en cuenta que el caso incompresible corresponde al supuesto de que la presión restringe el flujo de modo que el volumen de los elementos fluidos sea constante: flujo isocórico que da como resultado un campo de velocidad solenoidal con . ^[8] Así que volvemos a las expresiones de presión y tensión desviatoria vistas en el párrafo anterior. ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Tanto la viscosidad aparente como la viscosidad dinámica no necesitan ser constantes; en general, dependen de dos variables termodinámicas si el fluido contiene una sola especie química, digamos, por ejemplo, presión y temperatura. Cualquier ecuación que haga explícito uno de estos coeficientes de transporte en las variables de conservación se denomina ecuación de estado . ^[9] ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \mu }$

Aparte de su dependencia de la presión y la temperatura, el segundo coeficiente de viscosidad también depende del proceso, es decir, el segundo coeficiente de viscosidad no es sólo una propiedad del material. Ejemplo: en el caso de una onda sonora con una frecuencia definitiva que comprime y expande alternativamente un elemento fluido, el segundo coeficiente de viscosidad depende de la frecuencia de la onda. Esta dependencia se llama dispersión . En algunos casos, se puede suponer que la segunda viscosidad es constante, en cuyo caso el efecto de la viscosidad volumétrica es que la presión mecánica no es equivalente a la presión termodinámica : ^[10] como se demuestra a continuación. ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \zeta }$

$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$

$${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$

^[11]hipótesis de Stokes^[12][13] ${\textstyle \zeta =0}$ ${\textstyle \zeta =0}$

Finalmente, nótese que la hipótesis de Stokes es menos restrictiva que la del flujo incompresible. De hecho, en el flujo incompresible desaparecen tanto el término de viscosidad aparente como el término de viscosidad de corte en la divergencia del término de velocidad del flujo, mientras que en la hipótesis de Stokes el primer término también desaparece pero el segundo aún permanece.

Para fluidos anisotrópicos

De manera más general, en un fluido newtoniano no isotrópico, el coeficiente que relaciona las tensiones de fricción interna con las derivadas espaciales del campo de velocidades se reemplaza por un tensor de tensiones viscosas de nueve elementos . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{ij}}$

Existe una fórmula general para la fuerza de fricción en un líquido: El vector diferencial de la fuerza de fricción es igual al tensor de viscosidad aumentado en el producto vectorial diferencial del vector de área de las capas contiguas de un líquido y el rotor de velocidad:

$${\displaystyle d\mathbf {F} =\mu _{ij}\,d\mathbf {S} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }$$

tensor^[14] ${\displaystyle \mu _{ij}}$

Ley newtoniana de la viscosidad

La siguiente ecuación ilustra la relación entre la velocidad de corte y el esfuerzo cortante para un fluido con flujo laminar solo en la dirección x :

$${\displaystyle \tau _{xy}=\mu {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} y}},}$$

• ${\displaystyle \tau _{xy}}$es el esfuerzo cortante en los componentes x e y, es decir, el componente de fuerza en la dirección x por unidad de superficie que es normal a la dirección y (por lo que es paralela a la dirección x)
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad, y
• ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} y}}}$es el gradiente de velocidad del flujo a lo largo de la dirección y, que es normal a la velocidad del flujo . ${\displaystyle v_{x}}$

Si la viscosidad es constante, el fluido es newtoniano.

Modelo de ley de potencia

En azul, un fluido newtoniano comparado con el dilatante y el pseudoplástico, el ángulo depende de la viscosidad.

El modelo de ley de potencia se utiliza para mostrar el comportamiento de fluidos newtonianos y no newtonianos y mide la tensión cortante en función de la tasa de deformación.

La relación entre el esfuerzo cortante, la tasa de deformación y el gradiente de velocidad para el modelo de ley potencial es:

$${\displaystyle \tau _{xy}=-m\left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}},}$$

• ${\displaystyle \left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}}$es el valor absoluto de la tasa de deformación elevado a la ( n −1 ) potencia;
• ${\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}}$es el gradiente de velocidad;
• n es el índice de la ley de potencia.

Si

• n < 1 entonces el fluido es pseudoplástico.
• n = 1 entonces el fluido es un fluido newtoniano.
• n > 1 entonces el fluido es un dilatante.

modelo fluido

La relación entre el esfuerzo cortante y la velocidad de corte en un modelo de fluido Casson se define de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}$$

τ ₀

$${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}},}$$

αHde hematocrito

Ejemplos

El agua , el aire , el alcohol , el glicerol y el aceite de motor diluido son ejemplos de fluidos newtonianos en el rango de tensiones y velocidades de corte que se encuentran en la vida cotidiana. Los fluidos monofásicos formados por moléculas pequeñas son generalmente (aunque no exclusivamente) newtonianos.

Ver también

• Mecánica de fluidos
• Fluido no newtoniano
• tensor de velocidad de deformación
• Viscosidad
• tensor de tensión viscosa

Referencias

1. Pantón, Ronald L. (2013). Flujo incompresible (Cuarta ed.). Hoboken: John Wiley e hijos. pag. 114.ISBN​ 978-1-118-01343-4.
2. Batchelor, GK (2000) [1967]. Introducción a la dinámica de fluidos. Serie de la Biblioteca de Matemáticas de Cambridge, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
3. Kundu, P.; Cohen, I. Mecánica de fluidos . pag. (página necesaria).
4. Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a micro y nanoescala: transporte en dispositivos microfluídicos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-11903-0– a través de kirbyresearch.com.
5. Batchelor (1967) págs.137 y 142.
6. Chorin, Alexandre E.; Marsden, Jerrold E. (1993). Una introducción matemática a la mecánica de fluidos . pag. 33.
7. Bird, Stewart, Lightfoot, Fenómenos del transporte, 1ª ed., 1960, eq. (3.2-11a)
8. Soltero (1967) p. 75.
9. Soltero (1967) p. 165.
10. Landau y Lifshitz (1987) págs. 44-45, 196
11. Blanco (2006) pág. 67.
12. Stokes, GG (2007). Sobre las teorías del rozamiento interno de fluidos en movimiento, y del equilibrio y movimiento de sólidos elásticos.
13. Vincenti, WG, Kruger Jr., CH (1975). Introducción a la dinámica física de gases. Introducción a la dinámica física de los gases/Huntington.
14. Volobuev, AN (2012). Bases de la Hidromecánica Asimétrica . Nueva York: Nova Science Publishers, Inc. ISBN  978-1-61942-696-2.