Teoría de la deformación finita

Modelo matemático para describir la deformación de un material bajo tensión

En mecánica de medios continuos , la teoría de deformaciones finitas —también llamada teoría de grandes deformaciones o teoría de grandes deformaciones— se ocupa de las deformaciones en las que las deformaciones y/o rotaciones son lo suficientemente grandes como para invalidar los supuestos inherentes a la teoría de deformaciones infinitesimales . En este caso, las configuraciones no deformadas y deformadas del medio continuo son significativamente diferentes, lo que requiere una distinción clara entre ellas. Este es comúnmente el caso de los elastómeros , los materiales que se deforman plásticamente y otros fluidos y tejidos blandos biológicos .

Campo de desplazamiento

Figura 1. Movimiento de un cuerpo continuo.

El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento del cuerpo rígido y una deformación.

• Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultánea del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño.
• La deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada a una configuración actual o deformada (Figura 1). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo se puede describir mediante un campo de desplazamiento . Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. La distancia entre dos partículas cualesquiera cambia si y solo si se ha producido una deformación. Si el desplazamiento se produce sin deformación, se trata de un desplazamiento de cuerpo rígido.

Tensor de gradiente de deformación

Figura 2. Deformación de un cuerpo continuo.

El tensor de gradiente de deformación está relacionado tanto con la configuración de referencia como con la actual, como se ve por los vectores unitarios y , por lo tanto es un tensor de dos puntos . Se pueden definir dos tipos de tensor de gradiente de deformación. ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$

Debido al supuesto de continuidad de , tiene la inversa , donde es el tensor de gradiente de deformación espacial . Entonces, por el teorema de función implícita , ^[1] el determinante jacobiano debe ser no singular , es decir ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$

El tensor de gradiente de deformación material es un tensor de segundo orden que representa el gradiente de la función de mapeo o relación funcional , que describe el movimiento de un continuo . El tensor de gradiente de deformación material caracteriza la deformación local en un punto material con vector de posición , es decir, la deformación en puntos vecinos, mediante la transformación ( transformación lineal ) de un elemento de línea material que emana de ese punto desde la configuración de referencia a la configuración actual o deformada, suponiendo continuidad en la función de mapeo , es decir función diferenciable de y tiempo , lo que implica que las grietas y los huecos no se abren ni se cierran durante la deformación. Así tenemos, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle t\,\!}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Vector de desplazamiento relativo

Considérese una partícula o un punto material con un vector de posición en la configuración no deformada (Figura 2). Después de un desplazamiento del cuerpo, la nueva posición de la partícula indicada por en la nueva configuración está dada por el vector posición . Los sistemas de coordenadas para la configuración no deformada y deformada se pueden superponer para mayor comodidad. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$

Consideremos ahora un punto material vecino a , con vector de posición . En la configuración deformada, esta partícula tiene una nueva posición dada por el vector de posición . Suponiendo que los segmentos de línea y que unen las partículas y tanto en la configuración no deformada como en la deformada, respectivamente, son muy pequeños, entonces podemos expresarlos como y . Por lo tanto, de la Figura 2 tenemos ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$ ${\displaystyle \Delta X}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}}$$

donde es el vector de desplazamiento relativo , que representa el desplazamiento relativo de con respecto a en la configuración deformada. ${\displaystyle \mathbf {du} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Aproximación de Taylor

Para un elemento infinitesimal , y asumiendo continuidad en el campo de desplazamiento, es posible utilizar una expansión en serie de Taylor alrededor del punto , descuidando los términos de orden superior, para aproximar los componentes del vector de desplazamiento relativo para la partícula vecina como Por lo tanto, la ecuación anterior se puede escribir como ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

Derivada temporal del gradiente de deformación

Los cálculos que implican la deformación de un cuerpo en función del tiempo suelen requerir que se calcule una derivada temporal del gradiente de deformación. Una definición geométricamente consistente de dicha derivada requiere una incursión en la geometría diferencial ^[2], pero en este artículo evitamos esos problemas.

La derivada temporal de es donde es la velocidad (material). La derivada del lado derecho representa un gradiente de velocidad material . Es común convertirlo en un gradiente espacial aplicando la regla de la cadena para derivadas, es decir, donde es el gradiente de velocidad espacial y donde es la velocidad espacial (euleriana) en . Si el gradiente de velocidad espacial es constante en el tiempo, la ecuación anterior se puede resolver exactamente para dar suponiendo en . Hay varios métodos para calcular la exponencial anterior. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$ ${\displaystyle t=0}$

Las cantidades relacionadas que se utilizan a menudo en la mecánica del medio continuo son el tensor de velocidad de deformación y el tensor de espín , definidos respectivamente como: El tensor de velocidad de deformación da la velocidad de estiramiento de los elementos de línea, mientras que el tensor de espín indica la velocidad de rotación o vorticidad del movimiento. $${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$

La derivada temporal del material de la inversa del gradiente de deformación (manteniendo fija la configuración de referencia) suele requerirse en análisis que involucran deformaciones finitas. Esta derivada es La relación anterior se puede verificar tomando la derivada temporal del material de y notando que . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$

Descomposición polar del tensor de gradiente de deformación

Figura 3. Representación de la descomposición polar del gradiente de deformación.

El gradiente de deformación , como cualquier tensor invertible de segundo orden, se puede descomponer, utilizando el teorema de descomposición polar , en un producto de dos tensores de segundo orden (Truesdell y Noll, 1965): un tensor ortogonal y un tensor simétrico definido positivo, ie, donde el tensor es un tensor ortogonal propio, ie, y , que representa una rotación; el tensor es el tensor de estiramiento derecho ; y el tensor de estiramiento izquierdo . Los términos derecho e izquierdo significan que están a la derecha e izquierda del tensor de rotación , respectivamente. y son ambos definidos positivos , ie y para todos los tensores distintos de cero , y simétricos , ie y , de segundo orden. ${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$ ${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$

Esta descomposición implica que la deformación de un elemento de línea en la configuración no deformada sobre la configuración deformada, es decir, , se puede obtener estirando primero el elemento mediante , es decir, , seguido de una rotación , es decir, ; o, equivalentemente, aplicando primero una rotación rígida, es decir, , seguida posteriormente de un estiramiento , es decir, (véase la Figura 3). ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x} }$

Debido a la ortogonalidad de de modo que y tienen los mismos valores propios o extensiones principales , pero diferentes vectores propios o direcciones principales y , respectivamente. Las direcciones principales están relacionadas por ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

Esta descomposición polar, que es única ya que es invertible con un determinante positivo, es un corolario de la descomposición en valores singulares . ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Transformación de un elemento de superficie y volumen

Para transformar cantidades que se definen con respecto a áreas en una configuración deformada en aquellas relativas a áreas en una configuración de referencia, y viceversa, utilizamos la relación de Nanson , expresada como donde es un área de una región en la configuración deformada, es la misma área en la configuración de referencia, y es la normal externa al elemento de área en la configuración actual mientras que es la normal externa en la configuración de referencia, es el gradiente de deformación y . $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$ ${\displaystyle da}$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$

La fórmula correspondiente para la transformación del elemento de volumen es $${\displaystyle dv=J~dV}$$

Derivación de la relación de Nanson (ver también ^[3] )

Para ver cómo se deriva esta fórmula, comenzamos con los elementos del área orientada en las configuraciones de referencia y actual: Los volúmenes de referencia y actuales de un elemento son donde . $${\displaystyle d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} }$$ ${\displaystyle d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!}$

Por lo tanto, o, así, Entonces obtenemos o, QED $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} }$$ $${\displaystyle d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}}$$ $${\displaystyle d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A} }$$ $${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$

Tensores de deformación fundamentales

La IUPAC define un tensor de deformación como: ^[4]

"Un tensor simétrico que resulta cuando un tensor de gradiente de deformación se factoriza en un tensor de rotación seguido o precedido por un tensor simétrico".

Dado que una rotación pura no debería inducir ninguna deformación en un cuerpo deformable, a menudo es conveniente utilizar medidas de deformación independientes de la rotación en la mecánica de medios continuos . Como una rotación seguida de su rotación inversa no produce ningún cambio ( ), podemos excluir la rotación multiplicando el tensor del gradiente de deformación por su transpuesta . ${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

En mecánica se utilizan varios tensores de gradiente de deformación independientes de la rotación (o "tensores de deformación", para abreviar). En mecánica de sólidos, los más populares son los tensores de deformación de Cauchy-Green derecho e izquierdo.

Tensor de deformación de Cauchy (tensor de deformación de Cauchy-Green de la derecha)

En 1839, George Green introdujo un tensor de deformación conocido como tensor de deformación de Cauchy-Green recto o tensor de deformación de Green (la IUPAC recomienda que este tensor se llame tensor de deformación de Cauchy ), ^[4] definido como:

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

Físicamente, el tensor de Cauchy-Green nos da el cuadrado del cambio local en las distancias debido a la deformación, es decir ${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

Los invariantes de se utilizan a menudo en las expresiones para funciones de densidad de energía de deformación . Los invariantes más utilizados son donde es el determinante del gradiente de deformación y son relaciones de estiramiento para las fibras unitarias que están orientadas inicialmente a lo largo de las direcciones de los vectores propios del tensor de estiramiento derecho (de referencia) (generalmente no están alineadas con los tres ejes de los sistemas de coordenadas). ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

Tensor de tensión de los dedos

La IUPAC recomienda ^[4] que el inverso del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho (llamado tensor de deformación de Cauchy en ese documento), es decir, , se denomine tensor de deformación de Finger . Sin embargo, esa nomenclatura no es universalmente aceptada en mecánica aplicada. ${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

Tensor de deformación de Green (tensor de deformación de Cauchy-Green de la izquierda)

Invertir el orden de multiplicación en la fórmula para el tensor de deformación de Green-Cauchy derecho conduce al tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo, que se define como: $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo a menudo se denomina tensor de deformación de Finger , en honor a Josef Finger (1894). ^[5]

La IUPAC recomienda que este tensor se denomine tensor de deformación de Green . ^[4]

Los invariantes de también se utilizan en las expresiones para funciones de densidad de energía de deformación . Los invariantes convencionales se definen como donde es el determinante del gradiente de deformación. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$

Para los materiales compresibles, se utiliza un conjunto ligeramente diferente de invariantes: $${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

Tensor de deformación de Piola (tensor de deformación de Cauchy)

Anteriormente, en 1828, ^[6] Augustin-Louis Cauchy introdujo un tensor de deformación definido como el inverso del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo, . Este tensor también ha sido llamado tensor de deformación de Piola por la IUPAC ^[4] y tensor de Finger ^[7] en la literatura sobre reología y dinámica de fluidos. ${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

Representación espectral

Si hay tres tramos principales distintos , las descomposiciones espectrales de y están dadas por ${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

Además,

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

Obsérvese que Por lo tanto, la unicidad de la descomposición espectral también implica que . El estiramiento izquierdo ( ) también se denomina tensor de estiramiento espacial , mientras que el estiramiento derecho ( ) se denomina tensor de estiramiento material . $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$

El efecto de actuar sobre es estirar el vector y rotarlo a la nueva orientación , es decir, De manera similar, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

Ejemplos

Extensión uniaxial de un material incompresible

Este es el caso en el que una muestra se estira en una dirección con una relación de estiramiento de . Si el volumen permanece constante, la contracción en las otras dos direcciones es tal que o . Entonces: ${\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} }$ ${\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}}$$

Tijeras simples

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Rotación de cuerpo rígido

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }$$

Derivadas del estiramiento

Las derivadas del estiramiento con respecto al tensor de deformación de Cauchy-Green derecho se utilizan para derivar las relaciones de tensión-deformación de muchos sólidos, en particular materiales hiperelásticos . Estas derivadas son y se desprenden de las observaciones de que $${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}$$

Interpretación física de los tensores de deformación

Sea un sistema de coordenadas cartesianas definido en el cuerpo no deformado y sea otro sistema definido en el cuerpo deformado. Sea una curva en el cuerpo no deformado parametrizada mediante . Su imagen en el cuerpo deformado es . ${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$ ${\displaystyle s\in [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$

La longitud no deformada de la curva está dada por Después de la deformación, la longitud se convierte en Nótese que el tensor de deformación de Cauchy-Green derecho se define como Por lo tanto, lo que indica que los cambios en la longitud se caracterizan por . $${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$ $${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Tensores de deformación finitos

El concepto de deformación se utiliza para evaluar cuánto difiere localmente un desplazamiento dado de un desplazamiento de cuerpo rígido. ^{[1] [8] [9]} Una de estas deformaciones para grandes deformaciones es el tensor de deformación finito de Lagrange , también llamado tensor de deformación de Green-Lagrange o tensor de deformación de Green-St-Venant , definido como

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

o en función del tensor de gradiente de desplazamiento o $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]}$$ $${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)}$$

El tensor de deformación Green-Lagrangiano es una medida de cuánto difiere de . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$

El tensor de deformación finito euleriano , o tensor de deformación finito euleriano-almansi , referenciado a la configuración deformada (es decir, descripción euleriana) se define como

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

o en función de los gradientes de desplazamiento tenemos $${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

Derivación de los tensores de deformación finitos de Lagrange y Euler

Una medida de la deformación es la diferencia entre los cuadrados del elemento de línea diferencial , en la configuración no deformada, y , en la configuración deformada (Figura 2). Se ha producido una deformación si la diferencia no es cero; de lo contrario, se ha producido un desplazamiento del cuerpo rígido. Por tanto, tenemos: ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$

$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}}$$

En la descripción lagrangiana, utilizando las coordenadas materiales como marco de referencia, la transformación lineal entre las líneas diferenciales es

$${\displaystyle d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}}$$

Entonces tenemos,

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}}$$

donde son los componentes del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho , . Luego, reemplazando esta ecuación en la primera ecuación tenemos, ${\displaystyle C_{KL}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}}$$o donde , son los componentes de un tensor de segundo orden llamado tensor de deformación de Green-St-Venant o tensor de deformación finita de Lagrangian , $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle E_{KL}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

En la descripción euleriana, utilizando las coordenadas espaciales como marco de referencia, la transformación lineal entre las líneas diferenciales es donde son los componentes del tensor del gradiente de deformación espacial , . Por lo tanto, tenemos $${\displaystyle d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}}$$donde el tensor de segundo orden se llama tensor de deformación de Cauchy , . Entonces tenemos, ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}}$$o $${\displaystyle {\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}}$$

donde , son los componentes de un tensor de segundo orden llamado tensor de deformación finita de Euler-Almansi , ${\displaystyle e_{rs}\,\!}$ $${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

Tanto el tensor de deformación finito lagrangiano como el euleriano se pueden expresar convenientemente en términos del tensor de gradiente de desplazamiento . Para el tensor de deformación lagrangiano, primero diferenciamos el vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas del material para obtener el tensor de gradiente de desplazamiento del material , ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)}$ ${\displaystyle X_{M}}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\&={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}+\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

Reemplazando esta ecuación en la expresión para el tensor de deformación finito de Lagrangian tenemos o $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}}$$

De manera similar, el tensor de deformación finita de Euler-Almansi se puede expresar como

$${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

Familia Seth-Hill de tensores de deformación generalizados

BR Seth del Instituto Indio de Tecnología Kharagpur fue el primero en demostrar que los tensores de deformación de Green y Almansi son casos especiales de una medida de deformación más general . ^{[10] [11]} La idea fue ampliada aún más por Rodney Hill en 1968. ^[12] La familia de medidas de deformación de Seth-Hill (también llamadas tensores Doyle-Ericksen) ^[13] se puede expresar como

$${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]}$$

Para diferentes valores de tenemos: ${\displaystyle m}$

• Tensor de deformación lagrangiano de Green $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1)}={\frac {1}{2}}(\mathbf {U} ^{2}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )}$$
• Tensor de deformación de Biot $${\displaystyle \mathbf {E} _{(1/2)}=(\mathbf {U} -\mathbf {I} )=\mathbf {C} ^{1/2}-\mathbf {I} }$$
• Deformación logarítmica, deformación natural, deformación verdadera o deformación de Hencky $${\displaystyle \mathbf {E} _{(0)}=\ln \mathbf {U} ={\frac {1}{2}}\,\ln \mathbf {C} }$$
• Cepa Almansi $${\displaystyle \mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]}$$

La aproximación de segundo orden de estos tensores es donde es el tensor de deformación infinitesimal. $${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {\varepsilon }}^{T}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

Son admisibles muchas otras definiciones diferentes de tensores , siempre que todas ellas satisfagan las condiciones de que: ^[14] ${\displaystyle \mathbf {E} }$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$desaparece para todos los movimientos de cuerpo rígido
• La dependencia del tensor de gradiente de desplazamiento es continua, continuamente diferenciable y monótona. ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$
• También se desea que se reduzca al tensor de deformación infinitesimal como norma ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |\to 0}$

Un ejemplo es el conjunto de tensores que no pertenecen a la clase Seth-Hill, pero tienen la misma aproximación de segundo orden que las medidas de Seth-Hill en para cualquier valor de . ^[15] $${\displaystyle \mathbf {E} ^{(n)}=\left({\mathbf {U} }^{n}-{\mathbf {U} }^{-n}\right)/2n}$$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle n}$

Interpretación física del tensor de deformación finita

Los componentes diagonales del tensor de deformación finita de Lagrangiano están relacionados con la deformación normal, por ejemplo ${\displaystyle E_{KL}}$

$${\displaystyle E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}}$$

¿Dónde está la deformación normal o deformación de ingeniería en la dirección ? ${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\,\!}$

Los componentes fuera de la diagonal del tensor de deformación finita de Lagrangiano están relacionados con la deformación cortante, por ejemplo ${\displaystyle E_{KL}}$

$${\displaystyle E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}}$$

donde es el cambio en el ángulo entre dos elementos de línea que originalmente eran perpendiculares con las direcciones y , respectivamente. ${\displaystyle \phi _{12}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$

En determinadas circunstancias, es decir, pequeños desplazamientos y pequeñas tasas de desplazamiento, los componentes del tensor de deformación finito de Lagrangiano pueden aproximarse mediante los componentes del tensor de deformación infinitesimal.

Derivación de la interpretación física de los tensores de deformación finitos de Lagrange y Euler

La relación de estiramiento para el elemento diferencial (Figura) en la dirección del vector unitario en el punto material , en la configuración no deformada, se define como ${\displaystyle d\mathbf {X} =dX\mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle P\,\!}$

$${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}}$$

donde es la magnitud deformada del elemento diferencial . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$

De manera similar, la relación de estiramiento para el elemento diferencial (Figura), en la dirección del vector unitario en el punto material , en la configuración deformada, se define como ${\displaystyle d\mathbf {x} =dx\mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle p\,\!}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}={\frac {dX}{dx}}}$$

El cuadrado de la relación de estiramiento se define como $${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=\left({\frac {dx}{dX}}\right)^{2}}$$

Sabiendo que tenemos donde y son vectores unitarios. $${\displaystyle (dx)^{2}=C_{KL}dX_{K}dX_{L}}$$ $${\displaystyle \Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=C_{KL}N_{K}N_{L}}$$ ${\displaystyle N_{K}}$ ${\displaystyle N_{L}}$

La deformación normal o deformación de ingeniería en cualquier dirección se puede expresar como una función de la relación de estiramiento, ${\displaystyle e_{\mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$

$${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}={\frac {dx-dX}{dX}}=\Lambda _{(\mathbf {N} )}-1}$$

Por lo tanto, la deformación normal en la dirección en el punto material puede expresarse en términos de la relación de estiramiento como ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{(\mathbf {I} _{1})}={\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}&=\Lambda _{(\mathbf {I} _{1})}-1\\&={\sqrt {C_{11}}}-1={\sqrt {\delta _{11}+2E_{11}}}-1\\&={\sqrt {1+2E_{11}}}-1\end{aligned}}}$$

Resolviendo para tenemos ${\displaystyle E_{11}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2E_{11}&={\frac {(dx_{1})^{2}-(dX_{1})^{2}}{(dX_{1})^{2}}}\\E_{11}&=\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)^{2}\\&=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}\end{aligned}}}$$

La deformación cortante , o cambio de ángulo entre dos elementos de línea y inicialmente perpendiculares, y orientados en las direcciones principales y , respectivamente, también se puede expresar como una función de la relación de estiramiento. A partir del producto escalar entre las líneas deformadas y tenemos ${\displaystyle d\mathbf {X} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{2}\,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} _{1}\cdot d\mathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}\cos \theta _{12}\\\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}&={\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}\cos \theta _{12}\\{\frac {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={\frac {{\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}\cos \theta _{12}\\\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}&=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\cos \theta _{12}\end{aligned}}}$$

donde es el ángulo entre las líneas y en la configuración deformada. Definiendo como la deformación cortante o reducción del ángulo entre dos elementos de línea que originalmente eran perpendiculares, tenemos ${\displaystyle \theta _{12}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle d\mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{12}}$

$${\displaystyle \phi _{12}={\frac {\pi }{2}}-\theta _{12}}$$Por lo tanto, entonces $${\displaystyle \cos \theta _{12}=\sin \phi _{12}}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\sin \phi _{12}}$$

o

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{12}&={\sqrt {C_{11}}}{\sqrt {C_{22}}}\sin \phi _{12}\\2E_{12}+\delta _{12}&={\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\end{aligned}}}$$

Condiciones de compatibilidad

El problema de compatibilidad en mecánica de medios continuos implica la determinación de campos continuos univalentes admisibles en los cuerpos. Estas condiciones admisibles dejan al cuerpo sin huecos no físicos ni superposiciones después de una deformación. La mayoría de estas condiciones se aplican a cuerpos simplemente conectados. Se requieren condiciones adicionales para los límites internos de cuerpos multiconectados.

Compatibilidad del gradiente de deformación

Las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un campo compatible sobre un cuerpo simplemente conexo son ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}}$$

Compatibilidad del tensor de deformación de Cauchy-Green correcto

Las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un campo compatible sobre un cuerpo simplemente conexo son Podemos demostrar que estas son las componentes mixtas del tensor de curvatura de Riemann-Christoffel . Por lo tanto, las condiciones necesarias para la -compatibilidad son que la curvatura de Riemann-Christoffel de la deformación sea cero. ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ $${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

Compatibilidad del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo

Amit Acharya derivó las condiciones generales de suficiencia para el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo en tres dimensiones. ^[16] Janet Blume encontró las condiciones de compatibilidad para los campos bidimensionales . ^[17] ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

Véase también

• Deformación infinitesimal
• Compatibilidad (mecánica)
• Coordenadas curvilíneas
• Tensor de tensión de Piola-Kirchhoff , el tensor de tensión para deformaciones finitas.
• Medidas de estrés
• Partición de tensiones

Referencias

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2. A. Yavari, JE Marsden y M. Ortiz, Sobre leyes de equilibrio covariante espacial y material en elasticidad, Journal of Mathematical Physics, 47, 2006, 042903; págs. 1–53.
3. Eduardo de Souza Neto; Djordje Peric; Owens, David (2008). Métodos computacionales para plasticidad: teoría y aplicaciones . Chichester, West Sussex, Reino Unido: Wiley. p. 65. ISBN 978-0-470-69452-7.
4. A. Kaye, RFT Stepto, WJ Work, JV Aleman (España), A. Ya. Malkin (1998). "Definición de términos relacionados con las propiedades mecánicas no últimas de los polímeros". Pure Appl. Chem . 70 (3): 701–754. doi : 10.1351/pac199870030701 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Eduardo N. Dvorkin, Marcela B. Goldschmit, 2006 Continua no lineal, p. 25, Springer ISBN 3-540-24985-0 . 
6. Jirásek, Milán; Bažant, ZP (2002) Análisis inelástico de estructuras, Wiley, p. 463ISBN 0-471-98716-6​ 
7. JN Reddy, David K. Gartling (2000) El método de elementos finitos en transferencia de calor y dinámica de fluidos, pág. 317, CRC Press ISBN 1-4200-8598-0 . 
8. Belytschko, Ted; Liu, Wing Kam; Moran, Brian (2000). Elementos finitos no lineales para continuos y estructuras (reimpresión con correcciones, edición de 2006). John Wiley & Sons Ltd., págs. 92-94. ISBN 978-0-471-98773-4.
9. Zeidi, Mahdi; Kim, Chun IL (2018). "Mecánica de un sólido elástico reforzado con fibra bidireccional en elastostática de plano finito: análisis completo". Mecánica del medio continuo y termodinámica . 30 (3): 573–592. Bibcode :2018CMT....30..573Z. doi :10.1007/s00161-018-0623-0. ISSN  1432-0959. S2CID  253674037.
10. Seth, BR (1961), "Generalized strength measure with applications to physical problems", Informe técnico resumido del MRC n.° 248 , Centro de investigación matemática, Ejército de los Estados Unidos, Universidad de Wisconsin: 1–18, archivado desde el original el 22 de agosto de 2013
11. Seth, BR (1962), "Medida de deformación generalizada con aplicaciones a problemas físicos", Simposio IUTAM sobre Efectos de Segundo Orden en Elasticidad, Plasticidad y Mecánica de Fluidos, Haifa, 1962.
12. Hill, R. (1968), "Sobre desigualdades constitutivas para materiales simples—I", Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 16 (4): 229–242, Bibcode :1968JMPSo..16..229H, doi :10.1016/0022-5096(68)90031-8
13. TC Doyle y JL Eriksen (1956). "Elasticidad no lineal". Advances in Applied Mechanics 4, 53-115.
14. ZP Bažant y L. Cedolin (1991). Estabilidad de estructuras. Teorías elásticas, inelásticas, de fractura y de daño. Oxford Univ. Press, Nueva York (2.ª ed., Dover Publ., Nueva York 2003; 3.ª ed., World Scientific 2010).
15. ZP Bažant (1998). "Tensores fáciles de calcular con aproximación inversa simétrica de la deformación finita de Hencky y su velocidad". Journal of Materials of Technology ASME , 120 (abril), 131–136.
16. Acharya, A. (1999). "Sobre las condiciones de compatibilidad para el campo de deformación Cauchy-Green izquierdo en tres dimensiones" (PDF) . Journal of Elasticity . 56 (2): 95–105. doi :10.1023/A:1007653400249. S2CID  116767781.
17. Blume, JA (1989). "Condiciones de compatibilidad para un campo de deformaciones Cauchy-Green izquierdo". Journal of Elasticity . 21 (3): 271–308. doi :10.1007/BF00045780. S2CID  54889553.

Lectura adicional

• Dill, Ellis Harold (2006). Mecánica del medio continuo: elasticidad, plasticidad, viscoelasticidad. Alemania: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Dimitrienko, Yuriy (2011). Mecánica de medios continuos no lineales y grandes deformaciones inelásticas. Alemania: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.
• Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Métodos continuos de modelado físico. Alemania: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Lubarda, Vlado A. (2001). Teoría de la elastoplasticidad. Prensa CRC. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, CW (1994). Reología: principios, medición y aplicaciones . VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Mecánica del medio continuo. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Mecánica de medios continuos para ingenieros (segunda edición). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticidad: un tratado sobre la deformación finita de materiales inelásticos heterogéneos. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
• Rees, David (2006). Plasticidad básica en ingeniería: una introducción con aplicaciones en ingeniería y fabricación. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-8025-3.

Enlaces externos

• Notas del profesor Amit Acharya sobre compatibilidad en iMechanica