Ecuación de Dirac-Kähler

Análogo geométrico de la ecuación de Dirac.

En física teórica , la ecuación de Dirac-Kähler , también conocida como ecuación de Ivanenko-Landau-Kähler , es el análogo geométrico de la ecuación de Dirac que puede definirse en cualquier variedad pseudo-riemanniana utilizando el operador de Laplace-de Rham . En el espaciotiempo plano de cuatro dimensiones , equivale a cuatro copias de la ecuación de Dirac que se transforman entre sí bajo transformaciones de Lorentz , aunque esto ya no es cierto en el espaciotiempo curvo . La estructura geométrica le da a la ecuación una discretización natural que es equivalente al formalismo de fermiones escalonados en la teoría de campos reticulares , lo que convierte a los fermiones de Dirac-Kähler en el límite continuo formal de los fermiones escalonados. La ecuación fue descubierta por Dmitri Ivanenko y Lev Landau en 1928 ^[1] y posteriormente redescubierta por Erich Kähler en 1962. ^[2]

Descripción matemática

En el espacio-tiempo euclidiano de cuatro dimensiones, campos genéricos de formas diferenciales.

${\displaystyle \Phi =\sum _{H}\Phi _{H}(x)dx_{H},}$

se escribe como una combinación lineal de dieciséis formas básicas indexadas por , que recorre las dieciséis combinaciones ordenadas de índices con . Cada índice va del uno al cuatro. Aquí están los campos tensoriales antisimétricos, mientras que los elementos básicos de forma diferencial correspondientes ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{\mu _{1},\dots ,\mu _{h}\}}$ ${\displaystyle \mu _{1}<\cdots <\mu _{h}}$ ${\displaystyle \Phi _{H}(x)=\Phi _{\mu _{1}\dots \mu _{h}}(x)}$ ${\displaystyle dx_{H}}$

${\displaystyle dx_{H}=dx^{\mu _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\mu _{h}}.}$

Utilizando el operador estrella de Hodge , la derivada exterior se relaciona con la codiferencial mediante . Estos forman el operador de Laplace-de Rham , que puede verse como la raíz cuadrada del operador laplaciano desde . La ecuación de Dirac-Kähler está motivada por observar que esto también es propiedad del operador de Dirac, lo que produce ^[3] ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta =-\star d\star }$ ${\displaystyle d-\delta }$ ${\displaystyle (d-\delta )^{2}=\square }$

Ecuación de Dirac-Kähler

${\displaystyle (d-\delta +m)\Phi =0.}$

Esta ecuación está estrechamente relacionada con la ecuación de Dirac habitual, una conexión que surge de la estrecha relación entre el álgebra exterior de formas diferenciales y el álgebra de Clifford de la cual los espinores de Dirac son representaciones irreducibles . Para que los elementos básicos satisfagan el álgebra de Clifford , es necesario introducir un nuevo producto de Clifford que actúe sobre los elementos básicos como ${\displaystyle \{dx^{\mu },dx^{\nu }\}=2\delta ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \vee }$

${\displaystyle dx_{\mu }\vee dx_{\nu }=dx_{\mu }\wedge dx_{\nu }+\delta _{\mu \nu }.}$

Usando este producto, la acción del operador de Laplace-de Rham sobre elementos de base de forma diferencial se escribe como

${\displaystyle (d-\delta )\Phi (x)=dx^{\mu }\vee \partial _{\mu }\Phi (x).}$

Para adquirir la ecuación de Dirac, se debe realizar un cambio de base, donde la nueva base se puede empaquetar en una matriz definida usando las matrices de Dirac. ${\displaystyle Z_{ab}}$

${\displaystyle Z_{ab}=\sum _{H}(-1)^{h(h-1)/2}(\gamma _{H})_{ab}^{T}dx_{H}.}$

La matriz está diseñada para satisfacer , descomponiendo el álgebra de Clifford en cuatro copias irreducibles del álgebra de Dirac . Esto se debe a que, de esta manera, el producto Clifford solo mezcla los elementos de columna indexados por . Escribiendo la forma diferencial en esta base. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle dx_{\mu }\vee Z=\gamma _{\mu }^{T}Z}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \Phi =\sum _{ab}\Psi (x)_{ab}Z_{ab},}$

transforma la ecuación de Dirac-Kähler en cuatro conjuntos de la ecuación de Dirac indexados por ${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\Psi (x)_{b}=0.}$

La ecuación de Dirac-Kähler mínimamente acoplada se encuentra reemplazando la derivada con la derivada covariante que conduce a ${\displaystyle dx^{\mu }\vee \partial _{\mu }\rightarrow dx^{\mu }\vee D_{\mu }}$

${\displaystyle (d-\delta +m)\Phi =iA\vee \Phi .}$

Como antes, esto también equivale a cuatro copias de la ecuación de Dirac. En el caso abeliano , mientras que en el caso no abeliano existen índices de color adicionales . El fermión de Dirac-Kähler también recoge índices de color, correspondiendo formalmente a secciones transversales del producto de Whitney del paquete de formas diferenciales de Atiyah-Kähler con el paquete vectorial de espacios de color locales. ^[4] ${\displaystyle A=eA_{\mu }dx^{\mu }}$ ${\displaystyle \Phi }$

Discretización

Existe una forma natural de discretizar la ecuación de Dirac-Kähler utilizando la correspondencia entre álgebra exterior y complejos simpliciales . En el espacio de cuatro dimensiones, una red puede considerarse como un complejo simplicial, cuyos símplex se construyen utilizando una base de hipercubos de dimensiones con un punto base y una orientación determinada por . ^[5] Entonces una cadena h es una combinación lineal formal ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle C_{x,H}^{(h)}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle C^{(h)}=\sum _{x,H}\alpha _{x,H}C_{x,H}^{(h)}.}$

Las cadenas h admiten un operador de frontera definido como el (h-1)-símplejo que forma el límite de la cadena h. Un operador colímite se puede definir de manera similar para producir una cadena (h+1). El espacio dual de cadenas consta de -cocadenas , que son funciones lineales que actúan sobre las cadenas h y las asignan a números reales. Los operadores de frontera y cofrontera admiten estructuras similares en el espacio dual llamadas frontera dual y cofrontera dual definidas para satisfacer ${\displaystyle \Delta C_{x,H}^{(h)}}$ ${\displaystyle \nabla C_{x,H}^{(h)}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Phi ^{(h)}(C^{(h)})}$ ${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$ ${\displaystyle {\hat {\nabla }}}$

${\displaystyle ({\hat {\Delta }}\Phi )(C)=\Phi (\Delta C),\ \ \ \ \ \ \ ({\hat {\nabla }}\Phi )(C)=\Phi (\nabla C).}$

Según la correspondencia entre el álgebra exterior y los complejos simpliciales, las formas diferenciales son equivalentes a cocadenas, mientras que la derivada exterior y el codiferencial corresponden al límite dual y al colímite dual, respectivamente. Por lo tanto, la ecuación de Dirac-Kähler se escribe en complejos simpliciales como ^[6]

${\displaystyle ({\hat {\Delta }}-{\hat {\nabla }}+m)\Phi (C)=0.}$

El fermión discretizado de Dirac-Kähler resultante es equivalente al fermión escalonado que se encuentra en la teoría de campos reticulares, que puede verse explícitamente mediante un cambio explícito de base. Esta equivalencia muestra que el fermión continuo de Dirac-Kähler es el límite continuo formal de fermiones escalonados. ${\displaystyle \Phi (C)}$

Relación con la ecuación de Dirac

Como se describió anteriormente, la ecuación de Dirac-Kähler en el espacio-tiempo plano equivale a cuatro copias de la ecuación de Dirac, a pesar de ser un conjunto de ecuaciones para campos tensoriales antisimétricos . La capacidad de los campos tensoriales de espín entero para describir campos de espinor medio entero se explica por el hecho de que las transformaciones de Lorentz no conmutan con la simetría interna de Dirac-Kähler , siendo los parámetros de esta simetría tensores en lugar de escalares . ^[7] Esto significa que las transformaciones de Lorentz mezclan diferentes espines y los fermiones de Dirac no son, estrictamente hablando, representaciones de espines semienteros del álgebra de Clifford. Más bien corresponden a una superposición coherente de formas diferenciales. En dimensiones superiores, particularmente en superficies dimensionales, la ecuación de Dirac-Kähler es equivalente a las ecuaciones de Dirac. ^[8] ${\displaystyle {\text{SO}}(2,4)}$ ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{n-1}}}$

En el espacio-tiempo curvo, la ecuación de Dirac-Kähler ya no se descompone en cuatro ecuaciones de Dirac. Más bien es una ecuación de Dirac modificada adquirida si el operador de Dirac seguía siendo la raíz cuadrada del operador de Laplace, una propiedad que no comparte la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo . ^[9] Esto se produce a expensas de la invariancia de Lorentz , aunque estos efectos son suprimidos por los poderes de la masa de Planck . La ecuación también difiere en que siempre se garantiza que sus modos cero en una variedad compacta existirán siempre que algunos de los números de Betti desaparezcan, dados por las formas armónicas, a diferencia de la ecuación de Dirac, que nunca tiene modos cero en una variedad con curvatura positiva.

Ver también

• Duplicación de fermiones
• QCD de celosía

Referencias

1. Iwanenko, D .; Landau, L. (1928). "Zur Theorie des magnetischen Elektrons. I (traducción al inglés: Sobre la teoría del electrón magnético )". Zeitschrift für Physik . 48 (5): 340–348. doi :10.1007/BF01339119. S2CID  121640016.
2. Kähler, E. (1962). "Der internale Differentialkalkül". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 25 (3): 192-205. doi :10.1007/BF02992927.
3. Montvay, yo; Münster, G. (1994). "4". Campos cuánticos en una red . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 205-207. doi :10.1017/CBO9780511470783. ISBN 9780511470783. S2CID  118339104.
4. Graf, W. (1978). "Formas diferenciales como espinores". Annales de l'Institut Henri Poincaré A. 29 : 85-109.
5. Nakahara, M. (2003). Geometría, Topología y Física (2 ed.). Prensa CRC. págs. 98-120. ISBN 978-0750306065.
6. Becher, P.; Joos, H. (1982). "La ecuación de Dirac-Kähler y los fermiones en la red". Zeitschrift für Physik C . 15 (4): 343–365. Código bibliográfico : 1982ZPhyC..15..343B. doi :10.1007/BF01614426. S2CID  121826544.
7. Kruglov, SI (2002). "Ecuación de Dirac-Kahler". En t. J. Theor. Física . 41 (4): 653–687. arXiv : hep-th/0110060 . doi :10.1023/A:1015280310677. S2CID  16868433.
8. Obujov, YN; Solodukhin, SN (1994), "La ecuación de Dirac y la ecuación de Ivanenko-Landau-Kähler", Revista Internacional de Física Teórica , 33 (2): 225–245, Bibcode :1994IJTP...33..225O, doi :10.1007/ BF00844970, S2CID  122939466
9. Bancos, T.; Dothan, Y.; Cuerno, D. (1982). "Fermiones geométricos". Física. Letón. B . 117 (6): 413–417. Código bibliográfico : 1982PhLB..117..413B. doi :10.1016/0370-2693(82)90571-8.