En topología algebraica , la homología simplicial es la secuencia de grupos de homología de un complejo simplicial . Formaliza la idea del número de huecos de una dimensión determinada en el complejo. Esto generaliza el número de componentes conectados (el caso de la dimensión 0).
La homología simple surgió como una forma de estudiar espacios topológicos cuyos componentes básicos son n - símplices , los análogos n -dimensionales de los triángulos. Esto incluye un punto (0-símplex), un segmento de línea (1-símplex), un triángulo (2-símplex) y un tetraedro (3-símplex). Por definición, tal espacio es homeomorfo a un complejo simplicial (más precisamente, la realización geométrica de un complejo simplicial abstracto ). Este homeomorfismo se denomina triangulación del espacio dado. Se pueden triangular muchos espacios topológicos de interés, incluidas todas las variedades suaves (Cairns y Whitehead ). [1] : sección 5.3.2
La homología simplicial se define mediante una receta simple para cualquier complejo simplicial abstracto. Es un hecho notable que la homología simplicial sólo depende del espacio topológico asociado. [2] : sección 8.6 Como resultado, proporciona una forma computable de distinguir un espacio de otro.
Un concepto clave para definir la homología simplicial es la noción de orientación de un simplex. Por definición, una orientación de un k -simplex viene dada por un ordenamiento de los vértices, escrito como ( v 0 ,..., v k ), con la regla de que dos ordenamientos definen la misma orientación si y sólo si difieren en una permutación par . Por lo tanto, cada simplex tiene exactamente dos orientaciones y cambiar el orden de dos vértices cambia una orientación a la orientación opuesta. Por ejemplo, elegir una orientación de un 1-símplex equivale a elegir una de las dos direcciones posibles, y elegir una orientación de un 2-símplex equivale a elegir lo que debería significar "en sentido contrario a las agujas del reloj".
Sea S un complejo simplicial. Una k -cadena simplicial es una suma formal finita
donde cada ci es un número entero y σ i es un k -símplex orientado. En esta definición, declaramos que cada simplex orientado es igual al negativo del simplex con la orientación opuesta. Por ejemplo,
El grupo de k -cadenas en S se escribe C k . Este es un grupo abeliano libre que tiene una base en correspondencia uno a uno con el conjunto de k -símplices en S. Para definir una base explícitamente, hay que elegir una orientación de cada simplex. Una forma estándar de hacer esto es elegir un orden de todos los vértices y darle a cada simplex la orientación correspondiente al orden inducido de sus vértices.
Sea σ = ( v 0 ,..., v k ) un k -símplex orientado, visto como un elemento base de C k . El operador de frontera
es el homomorfismo definido por:
donde el simplex orientado
es la i- ésima cara de σ , obtenida eliminando su i- ésimo vértice.
En C k , elementos del subgrupo
se conocen como ciclos , y el subgrupo
Se dice que está formado por fronteras .
Porque , ¿dónde se elimina la segunda cara ? En términos geométricos, esto dice que el límite de cualquier cosa no tiene límite. De manera equivalente, los grupos abelianos
formar un complejo en cadena . Otra afirmación equivalente es que B k está contenido en Z k .
Como ejemplo, considere un tetraedro con vértices orientados como w,x,y,z . Por definición, su límite está dado por: xyz - wyz + wxz - wxy . El límite del límite está dado por: (yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy+wx) = 0 .
El k -ésimo grupo de homología H k de S se define como el grupo abeliano cociente
De ello se deduce que el grupo de homología H k ( S ) es distinto de cero exactamente cuando hay k ciclos en S que no son límites. En cierto sentido, esto significa que hay k -huecos dimensionales en el complejo. Por ejemplo, considere el complejo S obtenido pegando dos triángulos (sin interior) a lo largo de un borde, como se muestra en la imagen. Los bordes de cada triángulo se pueden orientar para formar un ciclo. Estos dos ciclos son, por construcción, no límites (ya que cada 2 cadenas es cero). Se puede calcular que el grupo de homología H 1 ( S ) es isomorfo a Z 2 , con una base dada por los dos ciclos mencionados. Esto precisa la idea informal de que S tiene dos "agujeros unidimensionales".
Los agujeros pueden ser de diferentes dimensiones. El rango del k- ésimo grupo de homología, el número
se llama k -ésimo número de Betti de S. Da una medida del número de k -huecos dimensionales en S.
Sea S un triángulo (sin su interior), visto como un complejo simple. Por tanto, S tiene tres vértices, que llamamos v 0 , v 1 , v 2 , y tres aristas, que son simples unidimensionales. Para calcular los grupos de homología de S , comenzamos describiendo los grupos de cadena C k :
El homomorfismo de frontera ∂ : C 1 → C 0 viene dado por:
Dado que C −1 = 0 , cada cadena 0 es un ciclo (es decir, Z 0 = C 0 ); además, el grupo B 0 de los límites 0 es generado por los tres elementos a la derecha de estas ecuaciones, creando un subgrupo bidimensional de C 0 . Entonces, el grupo de homología 0 H 0 ( S ) = Z 0 / B 0 es isomorfo a Z , con una base dada (por ejemplo) por la imagen del ciclo 0 ( v 0 ). De hecho, los tres vértices se vuelven iguales en el grupo del cociente; esto expresa el hecho de que S es conexo .
A continuación, el grupo de 1 ciclos es el núcleo del homomorfismo ∂ anterior, que es isomorfo a Z , con una base dada (por ejemplo) por ( v 0 , v 1 ) − ( v 0 , v 2 ) + ( v 1 , verso 2 ) . (Una imagen revela que este ciclo 1 rodea el triángulo en una de las dos direcciones posibles). Dado que C 2 = 0 , el grupo de límites 1 es cero, por lo que el primer grupo de homología H 1 ( S ) es isomorfo. a Z /0 ≅ Z . Esto precisa la idea de que el triángulo tiene un agujero unidimensional.
A continuación, dado que por definición no hay 2 ciclos, C 2 = 0 (el grupo trivial ). Por lo tanto , el segundo grupo de homología H2 ( S ) es cero. Lo mismo es cierto para H i ( S ) para todo i que no sea igual a 0 o 1. Por lo tanto, la conectividad homológica del triángulo es 0 (es el k más grande para el cual los grupos de homología reducidos hasta k son triviales).
Sea S un tetraedro (sin su interior), visto como un complejo simplicial. Por tanto, S tiene cuatro vértices de 0 dimensiones, seis aristas de 1 dimensión y cuatro caras de 2 dimensiones. Aquí se describe en detalle la construcción de los grupos de homología de un tetraedro. [3] Resulta que H 0 ( S ) es isomorfo a Z , H 2 ( S ) también es isomorfo a Z , y todos los demás grupos son triviales. Por tanto, la conectividad homológica del tetraedro es 0.
Si el tetraedro contiene su interior, entonces H 2 ( S ) también es trivial.
En general, si S es un simplex d -dimensional, se cumple lo siguiente:
Sean S y T complejos simpliciales . Un mapa simplicial f de S a T es una función del conjunto de vértices de S al conjunto de vértices de T tal que la imagen de cada simplex en S (visto como un conjunto de vértices) es un simplex en T. Un mapa simplicial f : S → T determina un homomorfismo de grupos de homología H k ( S ) → H k ( T ) para cada entero k . Este es el homomorfismo asociado a un mapa de cadenas desde el complejo de cadenas de S al complejo de cadenas de T. Explícitamente, este mapa de cadenas está dado en k -cadenas por
si f ( v 0 ), ..., f ( v k ) son todos distintos, y en caso contrario f (( v 0 , ..., v k )) = 0 .
Esta construcción hace que la homología simplicial sea un funtor desde complejos simpliciales hasta grupos abelianos. Esto es esencial para las aplicaciones de la teoría, incluido el teorema del punto fijo de Brouwer y la invariancia topológica de la homología simplicial.
La homología singular es una teoría relacionada que se adapta mejor a la teoría que a la computación. La homología singular se define para todos los espacios topológicos y depende únicamente de la topología, no de la triangulación; y concuerda con la homología simple para espacios que pueden triangularse. [4] : thm.2.27 No obstante, debido a que es posible calcular la homología simplicial de un complejo simplicial de forma automática y eficiente, la homología simplicial se ha vuelto importante para su aplicación en situaciones de la vida real, como análisis de imágenes , imágenes médicas y análisis de datos. en general.
Otra teoría relacionada es la homología celular .
Un escenario estándar en muchas aplicaciones informáticas es una colección de puntos (mediciones, píxeles oscuros en un mapa de bits, etc.) en los que se desea encontrar una característica topológica. La homología puede servir como una herramienta cualitativa para buscar dicha característica, ya que es fácilmente computable a partir de datos combinatorios como un complejo simplicial. Sin embargo, primero se deben triangular los puntos de datos , lo que significa que se reemplazan los datos con una aproximación compleja simple. El cálculo de la homología persistente [5] implica el análisis de la homología a diferentes resoluciones, registrando clases de homología (huecos) que persisten a medida que se cambia la resolución. Estas características se pueden utilizar para detectar estructuras de moléculas, tumores en rayos X y estructuras de grupos en datos complejos.
De manera más general, la homología simple juega un papel central en el análisis de datos topológicos , una técnica en el campo de la minería de datos .
