Espacio curvo

El espacio curvo a menudo se refiere a una geometría espacial que no es "plana", donde un espacio plano tiene curvatura cero , como lo describe la geometría euclidiana . ^[1] Los espacios curvos generalmente se pueden describir mediante la geometría de Riemann , aunque algunos casos simples se pueden describir de otras maneras. Los espacios curvos juegan un papel esencial en la relatividad general , donde la gravedad a menudo se visualiza como un espacio curvo. ^[2] La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker es una métrica curva que forma la base actual para la descripción de la expansión del espacio y la forma del universo . ^{[ cita necesaria ]}

Ejemplo bidimensional simple

Un ejemplo muy familiar de espacio curvo es la superficie de una esfera. Si bien desde nuestro punto de vista familiar la esfera parece tridimensional, si un objeto está obligado a permanecer en la superficie, sólo tiene dos dimensiones en las que puede moverse. La superficie de una esfera se puede describir completamente mediante dos dimensiones, ya que no importa Por muy rugosa que parezca la superficie, sigue siendo sólo una superficie, que es el borde exterior bidimensional de un volumen. Incluso la superficie de la Tierra, que es de complejidad fractal, sigue siendo sólo un límite bidimensional a lo largo del exterior de un volumen. ^[3]

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En un espacio plano, la suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Esta relación no se cumple para espacios curvos.

Una de las características definitorias de un espacio curvo es su desviación del teorema de Pitágoras . ^{[ cita necesaria ]} En un espacio curvo

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}$.

La relación pitagórica a menudo puede restablecerse describiendo el espacio con una dimensión adicional. Supongamos que tenemos un espacio tridimensional no euclidiano con coordenadas . porque no es plano ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$

${\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}$.

Pero si ahora describimos el espacio tridimensional con cuatro dimensiones ( ) podemos elegir coordenadas tales que ${\displaystyle x,y,z,w}$

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$.

Tenga en cuenta que la coordenada no es la misma que la coordenada . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

Para que la elección de las coordenadas 4D sean descriptores válidos del espacio 3D original, debe tener el mismo número de grados de libertad . Dado que cuatro coordenadas tienen cuatro grados de libertad, se le debe imponer una restricción. Podemos elegir una restricción tal que el teorema de Pitágoras se cumpla en el nuevo espacio 4D. Eso es

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constant}}\,}$.

La constante puede ser positiva o negativa. Por conveniencia podemos elegir la constante como

${\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}$donde ahora es positivo y . ${\displaystyle R^{2}\,}$ ${\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}$

Ahora podemos usar esta restricción para eliminar la cuarta coordenada artificial . El diferencial de la ecuación restrictiva es ${\displaystyle w}$

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$llevando a . ${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$

Al conectar la ecuación original se obtiene ${\displaystyle dw}$

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$.

Esta forma no suele ser especialmente atractiva, por lo que a menudo se aplica una transformación de coordenadas: , , . Con esta transformación de coordenadas ${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$ ${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$ ${\displaystyle z=r\cos \theta }$

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

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La geometría de un espacio de n dimensiones también se puede describir con geometría de Riemann . Un espacio isotrópico y homogéneo se puede describir mediante la métrica:

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.

Esto se reduce al espacio euclidiano cuando . Pero se puede decir que un espacio es " plano " cuando el tensor de Weyl tiene todos componentes cero. En tres dimensiones esta condición se cumple cuando el tensor de Ricci ( ) es igual a la métrica por el escalar de Ricci ( , no confundir con el R del apartado anterior). Eso es . El cálculo de estos componentes a partir de la métrica da que ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$dónde . ${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$

Esto da la métrica:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

donde puede ser cero, positivo o negativo y no está limitado a ±1. ${\displaystyle k}$

Abierto, plano, cerrado

Un espacio isotrópico y homogéneo se puede describir mediante la métrica: ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

En el límite en el que la constante de curvatura ( ) se vuelve infinitamente grande, se devuelve un espacio euclidiano plano . Es esencialmente lo mismo que ponerlo a cero. Si no es cero el espacio no es euclidiano. Cuando se dice que el espacio es cerrado o elíptico . Cuando se dice que el espacio es abierto o hiperbólico . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa =+1}$ ${\displaystyle \kappa =-1}$

Los triángulos que se encuentran en la superficie de un espacio abierto tendrán una suma de ángulos inferior a 180°. Los triángulos que se encuentran en la superficie de un espacio cerrado tendrán una suma de ángulos mayor que 180°. El volumen, sin embargo, no lo es . ${\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}$

Ver también

• espacio CAT( k )
• Curvatura no positiva

Referencias

1. "Las conferencias Feynman sobre física Vol. II Capítulo 42: Espacio curvo". www.feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 18 de enero de 2024 .
2. "Espacio curvo". www.math.brown.edu . Consultado el 18 de enero de 2024 .
3. "Espacio curvo - Relatividad general y especial - La física del universo". www.físicadeluniverso.com . Consultado el 18 de enero de 2024 .

Otras lecturas

• Las conferencias Feynman sobre física vol. II Cap. 42: Espacio curvo
• Papastavridis, John G. (1999). "Superficies generales n-dimensionales (riemannianas)". Cálculo tensorial y dinámica analítica . Boca Ratón: CRC Press. págs. 211-218. ISBN 0-8493-8514-8.

enlaces externos

• Curved Spaces, simulador de universos multiconectados desarrollado por Jeffrey Weeks