En teoría de la probabilidad , especialmente en estadística matemática , una familia de ubicación-escala es una familia de distribuciones de probabilidad parametrizadas por un parámetro de ubicación y un parámetro de escala no negativo . Para cualquier variable aleatoria cuya función de distribución de probabilidad pertenezca a dicha familia, la función de distribución de también pertenece a la familia (donde significa " igual en distribución ", es decir, "tiene la misma distribución que").
En otras palabras, una clase de distribuciones de probabilidad es una familia de ubicación-escala si para todas las funciones de distribución acumuladas y cualquier número real y , la función de distribución también es miembro de .
Además, si y son dos variables aleatorias cuyas funciones de distribución son miembros de la familia, y suponiendo que existen los dos primeros momentos y tienen media cero y varianza unitaria, entonces se puede escribir como , donde y son la media y la desviación estándar de .
En la teoría de la decisión , si todas las distribuciones alternativas disponibles para quien toma decisiones están en la misma familia de ubicación-escala y los dos primeros momentos son finitos, entonces se puede aplicar un modelo de decisión de dos momentos y la toma de decisiones se puede enmarcar en términos de las medias y las varianzas de las distribuciones. [1] [2] [3]
A menudo, las familias de escala de ubicación se restringen a aquellas en las que todos los miembros tienen la misma forma funcional. La mayoría de las familias de escala de ubicación son univariadas , aunque no todas. Las familias conocidas en las que la forma funcional de la distribución es consistente en toda la familia incluyen las siguientes:
A continuación se muestra cómo implementar una familia de escala de ubicación en un paquete estadístico o entorno de programación donde solo están disponibles funciones para la versión "estándar" de una distribución. Está diseñado para R pero debería generalizarse a cualquier idioma y biblioteca.
El ejemplo aquí es de la distribución t de Student , que normalmente se proporciona en R solo en su forma estándar, con un único parámetro de grados de libertaddf
. Las siguientes versiones _ls
adjuntas muestran cómo generalizar esto a una distribución t de Student generalizadam
con un parámetro de ubicación y un parámetro de escala arbitrarios s
.
Tenga en cuenta que las funciones generalizadas no tienen desviación estándar ya que la distribución ts
estándar no tiene una desviación estándar de 1.