Ubicación-familia de escala

Familia de distribuciones de probabilidad

En teoría de la probabilidad , especialmente en estadística matemática , una familia de ubicación-escala es una familia de distribuciones de probabilidad parametrizadas por un parámetro de ubicación y un parámetro de escala no negativo . Para cualquier variable aleatoria cuya función de distribución de probabilidad pertenezca a dicha familia, la función de distribución de también pertenece a la familia (donde significa " igual en distribución ", es decir, "tiene la misma distribución que"). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y{\stackrel {d}{=}}a+bX}$ ${\displaystyle {\stackrel {d}{=}}}$

En otras palabras, una clase de distribuciones de probabilidad es una familia de ubicación-escala si para todas las funciones de distribución acumuladas y cualquier número real y , la función de distribución también es miembro de . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F\in \Omega }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle G(x)=F(a+bx)}$ ${\displaystyle \Omega }$

• Si tiene una función de distribución acumulativa , entonces tiene una función de distribución acumulativa . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}$ ${\displaystyle Y{=}a+bX}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$
• Si es una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad , entonces es una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)}$ ${\displaystyle Y{=}a+bX}$ ${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$
• Si es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad , entonces es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle Y{=}a+bX}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{b}}f_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$

Además, si y son dos variables aleatorias cuyas funciones de distribución son miembros de la familia, y suponiendo que existen los dos primeros momentos y tienen media cero y varianza unitaria, entonces se puede escribir como , donde y son la media y la desviación estándar de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y{\stackrel {d}{=}}\mu _{Y}+\sigma _{Y}X}$ ${\displaystyle \mu _{Y}}$ ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ ${\displaystyle Y}$

En la teoría de la decisión , si todas las distribuciones alternativas disponibles para quien toma decisiones están en la misma familia de ubicación-escala y los dos primeros momentos son finitos, entonces se puede aplicar un modelo de decisión de dos momentos y la toma de decisiones se puede enmarcar en términos de las medias y las varianzas de las distribuciones. ^{[1] [2] [3]}

Ejemplos

A menudo, las familias de escala de ubicación se restringen a aquellas en las que todos los miembros tienen la misma forma funcional. La mayoría de las familias de escala de ubicación son univariadas , aunque no todas. Las familias conocidas en las que la forma funcional de la distribución es consistente en toda la familia incluyen las siguientes:

• Distribución normal
• Distribuciones elípticas
• Distribución de Cauchy
• Distribución uniforme (continua)
• Distribución uniforme (discreta)
• Distribución logística
• Distribución de Laplace
• Distribución t de Student
• Distribución generalizada de valores extremos.

Convertir una distribución única en una familia de escala de ubicación

A continuación se muestra cómo implementar una familia de escala de ubicación en un paquete estadístico o entorno de programación donde solo están disponibles funciones para la versión "estándar" de una distribución. Está diseñado para R pero debería generalizarse a cualquier idioma y biblioteca.

El ejemplo aquí es de la distribución t de Student , que normalmente se proporciona en R solo en su forma estándar, con un único parámetro de grados de libertaddf . Las siguientes versiones _lsadjuntas muestran cómo generalizar esto a una distribución t de Student generalizadam con un parámetro de ubicación y un parámetro de escala arbitrarios s.

Tenga en cuenta que las funciones generalizadas no tienen desviación estándar ya que la distribución ts estándar no tiene una desviación estándar de 1.

Referencias

1. Meyer, Jack (1987). "Modelos de decisión de dos momentos y maximización de la utilidad esperada". Revista económica estadounidense . 77 (3): 421–430. JSTOR  1804104.
2. Mayshar, J. (1978). "Una nota sobre la crítica de Feldstein al análisis de varianza media". Revista de Estudios Económicos . 45 (1): 197–199. JSTOR  2297094.
3. Sinn, H.-W. (1983). Decisiones económicas bajo incertidumbre (Segunda ed. en inglés). Holanda del Norte.

enlaces externos

• http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html