En geometría , una configuración de vértice [1] [2] [3] [4] es una notación abreviada para representar la figura de vértice de un poliedro o mosaico como la secuencia de caras alrededor de un vértice . Para poliedros uniformes solo hay un tipo de vértice y, por lo tanto, la configuración del vértice define completamente el poliedro. ( Los poliedros quirales existen en pares de imágenes especulares con la misma configuración de vértice).
Una configuración de vértice se da como una secuencia de números que representan el número de lados de las caras que rodean el vértice. La notación " abc " describe un vértice que tiene 3 caras a su alrededor, caras con lados a , b y c .
Por ejemplo, " 3.5.3.5 " indica un vértice perteneciente a 4 caras, alternando triángulos y pentágonos . Esta configuración de vértice define el icosidodecaedro transitivo de vértice . La notación es cíclica y por tanto es equivalente con diferentes puntos de partida, por lo que 3.5.3.5 es lo mismo que 5.3.5.3. El orden es importante, por eso 3.3.5.5 es diferente de 3.5.3.5 (el primero tiene dos triángulos seguidos de dos pentágonos). Los elementos repetidos se pueden recopilar como exponentes, por lo que este ejemplo también se representa como (3.5) 2 .
Se le ha llamado de diversas formas descripción de vértice , [5] [6] [7] tipo de vértice , [8] [9] símbolo de vértice , [10] [11] disposición de vértice , [12] patrón de vértice , [13] cara- vector . [14] También se le llama símbolo de Cundy y Rollett por su uso para los sólidos de Arquímedes en su libro Mathematical Models de 1952 . [15] [16] [17]
Una configuración de vértice también se puede representar como una figura de vértice poligonal que muestra las caras alrededor del vértice. Esta figura de vértice tiene una estructura tridimensional ya que las caras no están en el mismo plano para los poliedros, pero para los poliedros uniformes de vértice todos los vértices vecinos están en el mismo plano y, por lo tanto, esta proyección plana se puede usar para representar visualmente la configuración del vértice. .
Se utilizan diferentes notaciones, a veces con una coma (,) y otras veces con un punto (.) como separador. El operador de período es útil porque parece un producto y se puede usar una notación de exponente. Por ejemplo, 3.5.3.5 a veces se escribe como (3.5) 2 .
La notación también puede considerarse una forma expansiva del simple símbolo de Schläfli para poliedros regulares . La notación de Schläfli { p , q } significa q p -gons alrededor de cada vértice. Entonces { p , q } se puede escribir como ppp.. ( q veces) o p q . Por ejemplo, un icosaedro es {3,5} = 3.3.3.3.3 o 3 5 .
Esta notación se aplica tanto a mosaicos poligonales como a poliedros. Una configuración de vértice plano denota un mosaico uniforme al igual que una configuración de vértice no plano denota un poliedro uniforme.
La notación es ambigua para las formas quirales . Por ejemplo, el cubo chato tiene formas en sentido horario y antihorario que son idénticas en imágenes especulares. Ambos tienen una configuración de vértice 3.3.3.3.4.
La notación también se aplica a caras regulares no convexas, los polígonos en estrella . Por ejemplo, un pentagrama tiene el símbolo {5/2}, lo que significa que tiene 5 lados que dan dos vueltas alrededor del centro.
Por ejemplo, hay 4 poliedros de estrellas regulares con figuras de vértices de polígonos regulares o de polígonos de estrellas. El pequeño dodecaedro estrellado tiene el símbolo de Schläfli de {5/2,5} que se expande a una configuración de vértice explícita 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 o combinado como (5/2) 5 . El gran dodecaedro estrellado , {5/2,3} tiene figura de vértice triangular y configuración (5/2.5/2.5/2) o (5/2) 3 . El gran dodecaedro , {5,5/2} tiene una figura de vértice pentagramática, con configuración de vértice es (5.5.5.5.5)/2 o (5 5 )/2. Un gran icosaedro , {3,5/2} también tiene una figura de vértice pentagramática, con configuración de vértice (3.3.3.3.3)/2 o (3 5 )/2.
Se considera que las caras de una figura de vértice progresan en una dirección. Algunos poliedros uniformes tienen figuras de vértices con inversiones donde las caras progresan retrógradas. Una figura de vértice representa esto en la notación de polígono estrella de lados p/q tal que p <2 q , donde p es el número de lados yq el número de vueltas alrededor de un círculo. Por ejemplo, "3/2" significa un triángulo que tiene vértices que dan dos vueltas, lo que equivale a retroceder una vez. De manera similar, "5/3" es un pentagrama al revés 5/2.
Los poliedros semirregulares tienen configuraciones de vértices con defecto de ángulo positivo .
NOTA: La figura del vértice puede representar un mosaico regular o semirregular en el plano si su defecto es cero. Puede representar un mosaico del plano hiperbólico si su defecto es negativo.
Para poliedros uniformes, el defecto del ángulo se puede utilizar para calcular el número de vértices. El teorema de Descartes establece que todos los defectos angulares en una esfera topológica deben sumar 4 π radianes o 720 grados.
Dado que los poliedros uniformes tienen todos los vértices idénticos, esta relación nos permite calcular el número de vértices, que es 4 π / defecto o 720/ defecto .
Ejemplo: Un cubo truncado 3.8.8 tiene un defecto de ángulo de 30 grados. Por tanto, tiene 720/30 = 24 vértices.
En particular, se deduce que { a , b } tiene 4 / (2 - b (1 - 2/ a )) vértices.
Cada configuración de vértice enumerada define potencialmente de forma única un poliedro semirregular. Sin embargo, no todas las configuraciones son posibles.
Los requisitos topológicos limitan la existencia. Específicamente , pqr implica que un p -gon está rodeado por q -gons y r -gons alternos, por lo que p es par o q es igual a r . De manera similar, q es par o p es igual a r , y r es par o p es igual a q . Por lo tanto, los triples potencialmente posibles son 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (para cualquier n >2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. De hecho, todas estas configuraciones con tres caras que se encuentran en cada vértice resultan existir.
El número entre paréntesis es el número de vértices, determinado por el defecto del ángulo.
Los sólidos duales uniformes o catalanes , incluidas las bipirámides y los trapezoedros , son verticalmente regulares ( transitivos de caras ) y, por lo tanto, pueden identificarse mediante una notación similar que a veces se denomina configuración de caras . [ 3] Cundy y Rollett antepusieron estos símbolos duales con una V. Por el contrario, Mosaicos y patrones utilizan corchetes alrededor del símbolo para mosaicos isoédricos.
Esta notación representa un recuento secuencial del número de caras que existen en cada vértice alrededor de una cara . [18] Por ejemplo, V3.4.3.4 o V(3.4) 2 representa el dodecaedro rómbico que es transitivo de caras: cada cara es un rombo , y los vértices alternos del rombo contienen 3 o 4 caras cada uno.