Las fórmulas de Vieta

Relacionar coeficientes y raíces de un polinomio

François Viète

En matemáticas, las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes de un polinomio con sumas y productos de sus raíces . ^[1] Llevan el nombre de François Viète (más comúnmente conocido por la forma latinizada de su nombre, "Franciscus Vieta").

Fórmulas básicas

Cualquier polinomio general de grado n (con coeficientes siendo números reales o complejos y an _≠ 0 ) tiene n raíces complejas (no necesariamente distintas) r ₁ , r ₂ , ..., r _n según el teorema fundamental del álgebra . Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes polinomiales con sumas con signo de productos de las raíces r ₁ , r ₂ , ..., r _n de la siguiente manera: $${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$$

Las fórmulas de Vieta se pueden escribir de manera equivalente para k = 1, 2, ..., n (los índices i _k se ordenan en orden creciente para garantizar que cada producto de k raíces se use exactamente una vez). $${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$$

Los lados izquierdos de las fórmulas de Vieta son los polinomios simétricos elementales de las raíces.

El sistema de Vieta (*) puede resolverse mediante el método de Newton mediante una fórmula iterativa simple explícita, el método de Durand-Kerner .

Generalización a anillos

Las fórmulas de Vieta se utilizan frecuentemente con polinomios con coeficientes en cualquier dominio integral R. Entonces, los cocientes pertenecen al cuerpo de fracciones de R (y posiblemente estén en el propio R si resulta ser invertible en R ) y las raíces se toman en una extensión algebraicamente cerrada . Normalmente, R es el anillo de los números enteros , el campo de las fracciones es el campo de los números racionales y el campo algebraicamente cerrado es el campo de los números complejos . ${\displaystyle a_{i}/a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

Las fórmulas de Vieta son entonces útiles porque proporcionan relaciones entre las raíces sin tener que calcularlas.

Para polinomios sobre un anillo conmutativo que no es un dominio integral, las fórmulas de Vieta solo son válidas cuando no es divisor de cero y se factoriza como . Por ejemplo, en el anillo de los números enteros módulo 8, el polinomio cuadrático tiene cuatro raíces: 1, 3, 5 y 7. Las fórmulas de Vieta no son verdaderas si, digamos, y , porque . Sin embargo, factoriza como y también como , y las fórmulas de Vieta son válidas si establecemos y o y . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})}$ ${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$ ${\displaystyle r_{1}=1}$ ${\displaystyle r_{2}=3}$ ${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle (x-1)(x-7)}$ ${\displaystyle (x-3)(x-5)}$ ${\displaystyle r_{1}=1}$ ${\displaystyle r_{2}=7}$ ${\displaystyle r_{1}=3}$ ${\displaystyle r_{2}=5}$

Ejemplo

Fórmulas de Vieta aplicadas a polinomios cuadráticos y cúbicos :

Las raíces del polinomio cuadrático satisfacen ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$$

La primera de estas ecuaciones se puede utilizar para encontrar el mínimo (o máximo) de P ; ver Ecuación cuadrática § Fórmulas de Vieta .

Las raíces del polinomio cúbico satisfacen ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$$

Prueba

Las fórmulas de Vieta se pueden probar expandiendo la igualdad (lo cual es cierto ya que todas las raíces de este polinomio), multiplicando los factores del lado derecho e identificando los coeficientes de cada potencia de $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$ ${\displaystyle x.}$

Formalmente, si uno expande los términos son precisamente donde es 0 o 1, dependiendo de si está incluido en el producto o no, y k es el número de factores que están incluidos, por lo que el número total de factores en el producto es n (contando con multiplicidad k ) – como hay n opciones binarias (incluyen o x ), hay términos – geométricamente, estos pueden entenderse como los vértices de un hipercubo. Al agrupar estos términos por grado se obtienen los polinomios simétricos elementales en – para x ^k , todos los productos distintos k veces de ${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),}$ ${\displaystyle (-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}.}$

Como ejemplo, considere la cuadrática $${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).}$$

Comparando potencias idénticas de , encontramos , y , con las que podemos por ejemplo identificar y , que son las fórmulas de Vieta para . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{2}=a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$ ${\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$ ${\displaystyle n=2}$

Prueba alternativa (inducción matemática)

Las fórmulas de Vieta también se pueden probar por inducción como se muestra a continuación.

Hipótesis inductiva:

Sea un polinomio de grado , con raíces complejas y coeficientes complejos donde . Entonces la hipótesis inductiva es que ${\displaystyle {P(x)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {r_{1}},{r_{2}},{\dots },{r_{n}}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {a_{n}}\neq 0}$ $${\displaystyle {P(x)}={a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{(a_{n})}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}$$

Caso base, (cuadrático): ${\displaystyle n=2}$

Sean coeficientes de la cuadrática y sea el término constante. De manera similar, sean las raíces de la cuadrática: Expanda el lado derecho usando la propiedad distributiva : Reúna los términos semejantes : Aplique la propiedad distributiva nuevamente: Ahora se ha demostrado que la hipótesis inductiva es cierta para . ${\displaystyle {a_{2}},{a_{1}}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle {r_{1}},{r_{2}}}$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{(x-r_{1})(x-r_{2})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{r_{1}x}-{r_{2}x}+{r_{1}}{r_{2}})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{r_{1}}{r_{2}})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={{a_{2}}{x^{2}}-{{a_{2}}({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{a_{2}}{({r_{1}}{r_{2}})}}}$$ ${\displaystyle n=2}$

Paso de inducción:

Suponiendo que la hipótesis inductiva sea cierta para todos , debe serlo para todos . Según el teorema del factor , se puede factorizar dejando un resto 0. Tenga en cuenta que las raíces del polinomio entre corchetes son : Factorizar , el coeficiente principal , del polinomio entre corchetes: Por razones de simplicidad, permita que los coeficientes y la constante del polinomio se denoten como : Usando la hipótesis inductiva, el polinomio entre corchetes se puede reescribir como: Usando la propiedad distributiva: Después de expandir y reunir términos semejantes: La hipótesis inductiva es verdadera para , por lo tanto debe ser verdadera ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle n+1}$ $${\displaystyle {P(x)}={a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}$$ ${\displaystyle {(x-r_{n+1})}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}}$ $${\displaystyle {P(x)}={(x-r_{n+1})}{[{\frac {{a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}{x-r_{n+1}}}]}}$$ ${\displaystyle a_{n+1}}$ ${\displaystyle P(x)}$ $${\displaystyle {P(x)}={(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}{[{\frac {{x^{n+1}}+{\frac {{a_{n}}{x^{n}}}{(a_{n+{1}})}}+{\cdots }+{{\frac {a_{1}}{(a_{n+{1}})}}{x}}+{\frac {a_{0}}{(a_{n+{1}})}}}{x-r_{n+1}}}]}}$$ ${\displaystyle \zeta }$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}+{\zeta _{n-1}x^{n-1}}+{\cdots }+{\zeta _{0}}]}}$$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}}$$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{({x}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}{-r_{n+1}}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]})}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{P(x)}={{a_{n+1}}{x^{n+1}}}-{a_{n+1}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}+{r_{n+1}}){x^{n}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n+1}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}}{r_{n+1}})}}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$

Conclusión: Al dividir ambos lados entre , se demuestra que las fórmulas de Vieta son verdaderas. $${\displaystyle {a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$

Historia

Como refleja el nombre, las fórmulas fueron descubiertas por el matemático francés del siglo XVI François Viète , para el caso de las raíces positivas.

En opinión del matemático británico del siglo XVIII Charles Hutton , citado por Funkhouser, ^[2] el principio general (no restringido a raíces reales positivas) fue entendido por primera vez por el matemático francés del siglo XVII Albert Girard :

...[Girard fue] la primera persona que entendió la doctrina general de la formación de los coeficientes de las potencias a partir de la suma de las raíces y sus productos. Fue el primero en descubrir las reglas para sumar las potencias de las raíces de cualquier ecuación.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Contenido (álgebra)
• La regla de los signos de Descartes
• Las identidades de Newton
• Teorema de Gauss-Lucas
• Propiedades de las raíces polinómicas.
• Teorema de la raíz racional
• Polinomio simétrico y polinomio simétrico elemental

Referencias

1. Weisstein, Eric W. (22 de junio de 2024). "Fórmulas de Vieta". MathWorld: un recurso web de Wolfram .
2. (Funkhouser 1930)

• "Teorema de Viète", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkhouser, H. Gray (1930), "Un breve relato de la historia de las funciones simétricas de raíces de ecuaciones", American Mathematical Monthly , 37 (7), Mathematical Association of America: 357–365, doi :10.2307/2299273, JSTOR  2299273
• Vinberg, EB (2003), Un curso de álgebra , Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4
• Djukić, Dušan; et al. (2006), Compendio de la OMI: una colección de problemas sugeridos para las Olimpíadas Internacionales de Matemáticas, 1959-2004 , Springer, Nueva York, NY, ISBN 0-387-24299-6