Recta de números reales extendida

Números reales con +∞ y −∞ sumados

En matemáticas , el sistema de números reales extendido ^[a] se obtiene del sistema de números reales sumando dos elementos infinitos : y ^[b] donde los infinitos se tratan como números reales. Es útil para describir el álgebra sobre infinitos y los diversos comportamientos limitantes en cálculo y análisis matemático , especialmente en la teoría de la medida y la integración . ^[1] El sistema de números reales extendido se denota por o o ^[2] Es la compleción de Dedekind-MacNeille de los números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty ,}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.}$

Cuando el significado queda claro a partir del contexto, el símbolo suele escribirse simplemente como ^[2] ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \infty .}$

También existe la línea real proyectivamente extendida donde y no se distinguen, por lo que el infinito se denota solo por . ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Motivación

Límites

A menudo es útil describir el comportamiento de una función cuando el argumento o el valor de la función se vuelven "infinitamente grandes" en algún sentido. Por ejemplo, considere la función definida por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en Geométricamente, cuando se mueve cada vez más hacia la derecha a lo largo del eje -, el valor de se acerca a 0 . Este comportamiento limitante es similar al límite de una función en la que el número real se acerca, excepto que no hay un número real al que se acerca. ${\displaystyle y=0.}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x}$

Al unir los elementos y a él se permite la formulación de un "límite en el infinito", con propiedades topológicas similares a las de ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Para hacer las cosas completamente formales, la definición de secuencias de Cauchy permite definir como el conjunto de todas las secuencias de números racionales tales que cada está asociado con un correspondiente para el cual para todos. La definición de se puede construir de manera similar. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{n}>M}$ ${\displaystyle n>N.}$ ${\displaystyle -\infty }$

Medida e integración

En teoría de la medida , suele ser útil permitir conjuntos que tengan medidas infinitas e integrales cuyo valor pueda ser infinito.

Estas medidas surgen naturalmente del cálculo. Por ejemplo, al asignar una medida que concuerde con la duración habitual de los intervalos , esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. Además, al considerar integrales impropias , como ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

Surge el valor "infinito". Finalmente, a menudo es útil considerar el límite de una secuencia de funciones, como

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}$

Sin permitir que las funciones adopten valores infinitos, resultados esenciales como el teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada no tendrían sentido.

Orden y propiedades topológicas.

El sistema de números reales extendido , definido como o , puede convertirse en un conjunto totalmente ordenado definiendo para todos. Con esta topología de orden , tiene la propiedad deseable de compacidad : cada subconjunto de tiene un supremo y un mínimo ^[3] (el mínimo de el conjunto vacío es y su supremo es ). Además, con esta topología , es homeomorfa al intervalo unitario. Por lo tanto, la topología es metrizable , correspondiente (para un homeomorfismo dado) a la métrica ordinaria en este intervalo. Sin embargo, no existe ninguna métrica que sea una extensión de la métrica ordinaria en ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$ ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

En esta topología, un conjunto es una vecindad de si y sólo si contiene un conjunto para algún número real. La noción de vecindad de se puede definir de manera similar. Usando esta caracterización de vecindades reales extendidas, los límites que tienden a o y los límites "iguales" a y se reducen a la definición topológica general de límites, en lugar de tener una definición especial en el sistema de números reales. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \{x:x>a\}}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Operaciones aritmeticas

Las operaciones aritméticas de se pueden extender parcialmente a lo siguiente: ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

Para conocer la exponenciación, consulte Exponenciación § Límites de potencias . Aquí, significa ambos y mientras significa ambos y ${\displaystyle a+\infty }$ ${\displaystyle a+(+\infty )}$ ${\displaystyle a-(-\infty ),}$ ${\displaystyle a-\infty }$ ${\displaystyle a-(+\infty )}$ ${\displaystyle a+(-\infty ).}$

Las expresiones y (llamadas formas indeterminadas ) suelen dejarse sin definir . Estas reglas se basan en las leyes de límites infinitos . Sin embargo, en el contexto de la probabilidad o teoría de la medida, a menudo se define como ^[4] ${\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}$ ${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$ ${\displaystyle 0\times \pm \infty }$ ${\displaystyle 0.}$

Cuando se trata de números reales extendidos positivos y negativos, la expresión generalmente se deja sin definir, porque, si bien es cierto que por cada secuencia real distinta de cero que converge a la secuencia recíproca eventualmente está contenida en cada vecindad de ella, no es cierto que la secuencia debe converger a cualquiera de los dos Dicho de otra manera, si una función continua alcanza un cero en un cierto valor entonces no tiene por qué ser el caso que tiende a cualquiera de los dos o en el límite como tiende a Este es el caso de los límites de la función identidad cuando tiende a y de (para esta última función, ni ni es un límite de incluso si solo se consideran valores positivos de). ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle \{\infty ,-\infty \},}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/f(x),}$ ${\displaystyle x}$

Sin embargo, en contextos donde solo se consideran valores no negativos, a menudo es conveniente definir. Por ejemplo, cuando se trabaja con series de potencias , el radio de convergencia de una serie de potencias con coeficientes a menudo se define como el recíproco del límite supremo de la secuencia . Por lo tanto, si se permite tomar el valor , entonces se puede usar esta fórmula independientemente de si el límite supremo lo es o no. ${\displaystyle 1/0=+\infty .}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle 0}$

Propiedades algebraicas

Con estas definiciones, ni siquiera es un semigrupo , y mucho menos un grupo , un anillo o un campo como en el caso de Sin embargo, tiene varias propiedades convenientes: ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• ${\displaystyle a+(b+c)}$y son iguales o ambos indefinidos. ${\displaystyle (a+b)+c}$
• ${\displaystyle a+b}$y son iguales o ambos indefinidos. ${\displaystyle b+a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$y son iguales o ambos indefinidos. ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$
• ${\displaystyle a\cdot b}$y son iguales o ambos indefinidos ${\displaystyle b\cdot a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$y son iguales si ambos están definidos. ${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$
• Si y si ambos y están definidos, entonces ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a+c}$ ${\displaystyle b+c}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c.}$
• Si y y si ambos y están definidos, entonces ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle a\cdot c}$ ${\displaystyle b\cdot c}$ ${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c.}$

En general, todas las leyes de la aritmética son válidas en —siempre que todas las expresiones que aparecen estén definidas. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

Misceláneas

Se pueden ampliar continuamente varias funciones estableciendo límites. Por ejemplo, se pueden definir los puntos extremos de las siguientes funciones como: ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \exp(-\infty )=0,}$

${\displaystyle \ln(0)=-\infty ,}$

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1,}$

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.}$

También se pueden eliminar algunas singularidades . Por ejemplo, la función se puede extender continuamente a (según algunas definiciones de continuidad), estableciendo el valor en for y for y. Por otro lado, la función no se puede extender continuamente, porque la función se aproxima desde abajo , y como enfoques desde arriba, es decir, la función que no converge al mismo valor que su variable independiente se acerca al mismo elemento de dominio tanto desde el lado del valor positivo como del negativo. ${\displaystyle 1/x^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=+\infty }$ ${\displaystyle x=-\infty .}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

Un sistema de líneas reales similar pero diferente, la línea real proyectivamente extendida , no distingue entre y (es decir, el infinito no tiene signo). ^[5] Como resultado, una función puede tener un límite en la recta real proyectivamente extendida, mientras que en el sistema de números reales extendido sólo el valor absoluto de la función tiene un límite, por ejemplo en el caso de la función en . en la línea real proyectivamente extendida, y corresponden solo a un límite de la derecha y uno de la izquierda, respectivamente, existiendo el límite completo solo cuando los dos son iguales. Por tanto, las funciones y no pueden hacerse continuas en la línea real proyectivamente extendida. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \arctan(x)}$ ${\displaystyle x=\infty }$

Ver también

• División por cero
• Plano complejo extendido
• números naturales extendidos
• Integral impropia
• Infinidad
• Semirredondo de troncos
• Serie (matemáticas)
• Línea real extendida proyectivamente
• Representaciones por computadora de números reales extendidos, consulte Aritmética de coma flotante § Infinitos y coma flotante IEEE

Notas

1. Algunos autores utilizan el sistema de números reales afinamente extendido y la recta numérica real afinamente extendida , aunque los números reales extendidos no forman una recta afín .
2. Leído como "infinito positivo" e "infinito negativo" respectivamente.

Referencias

1. Wilkins, David (2007). "Sección 6: El sistema de números reales ampliado" (PDF) . matemáticas.tcd.ie . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Números reales afines extendidos". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
3. Oden, J. Tinsley; Demkowicz, Leszek (16 de enero de 2018). Análisis funcional aplicado (3 ed.). Chapman y Hall/CRC. pag. 74.ISBN​ 9781498761147. Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
4. "número real extendido en nLab". ncatlab.org . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
5. Weisstein, Eric W. "Números reales extendidos proyectivamente". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .

Otras lecturas

• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principios del análisis real (3ª ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29, ISBN 0-12-050257-7, señor  1669668
• David W. Cantrell. "Números reales afines extendidos". MundoMatemático .