Teorema del elemento primitivo

En teoría de campos , el teorema del elemento primitivo establece que toda extensión de campo finita separable es simple , es decir, generada por un solo elemento. Este teorema implica en particular que todos los campos numéricos algebraicos sobre números racionales, y todas las extensiones en las que ambos campos son finitos, son simples.

Terminología

Sea una extensión de campo . Un elemento es un elemento primitivo para si , es decir, si cada elemento de puede escribirse como una función racional con coeficientes en . Si existe un elemento primitivo de este tipo, se lo denomina extensión simple . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E=F(\alpha ),}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$

Si la extensión del campo tiene un elemento primitivo y es de grado finito , entonces cada elemento se puede escribir en la forma ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n=[E:F]}$ ${\displaystyle \gamma \in E}$

${\displaystyle \gamma =a_{0}+a_{1}{\alpha }+\cdots +a_{n-1}{\alpha }^{n-1},}$

para coeficientes únicos . Es decir, el conjunto ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}\in F}$

${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,{\alpha }^{n-1}\}}$

es una base para E como espacio vectorial sobre F . El grado n es igual al grado del polinomio irreducible de α sobre F , el mónico único de grado mínimo con α como raíz (una dependencia lineal de ). ${\displaystyle f(X)\in F[X]}$ ${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,\alpha ^{n-1},\alpha ^{n}\}}$

Si L es un campo de división que contiene sus n raíces distintas , entonces hay n incrustaciones de campos definidas por y para , y éstas se extienden a automorfismos de L en el grupo de Galois . De hecho, para un campo de extensión con , un elemento es un elemento primitivo si y sólo si tiene n conjugados distintos en algún campo de división . ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}:F(\alpha )\hookrightarrow L}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \sigma (a)=a}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\in \mathrm {Gal} (L/F)}$ ${\displaystyle [E:F]=n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{1}(\alpha ),\ldots ,\sigma _{n}(\alpha )}$ ${\displaystyle L\supseteq E}$

Ejemplo

Si a los números racionales se unen los dos números irracionales y se obtiene el campo de extensión de grado 4, se puede demostrar que esta extensión es simple, es decir, para un solo . Tomando , las potencias 1, α , α ² , α ³ se pueden expandir como combinaciones lineales de 1, , , con coeficientes enteros. Se puede resolver este sistema de ecuaciones lineales para y sobre , para obtener y . Esto muestra que α es de hecho un elemento primitivo: ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-9\alpha )}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-11\alpha )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}).}$

También se puede utilizar el siguiente argumento más general. ^[1] El campo tiene claramente cuatro automorfismos de campo definidos por y para cada elección de signos. El polinomio mínimo de debe tener , por lo tanto, debe tener al menos cuatro raíces distintas . Así tiene grado al menos cuatro, y , pero este es el grado de todo el campo, entonces . ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}:E\to E}$ ${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {2}})=\pm {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {3}})=\pm {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}$ ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle f(\sigma _{i}(\alpha ))=\sigma _{i}(f(\alpha ))=0}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\pm {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]\geq 4}$ ${\displaystyle [E:\mathbb {Q} ]=4}$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$

Declaración del teorema

El teorema del elemento primitivo establece:

Toda extensión de campo separable de grado finito es simple.

Este teorema se aplica a cuerpos numéricos algebraicos , es decir, extensiones finitas de los números racionales Q , ya que Q tiene la característica 0 y, por lo tanto, cada extensión finita sobre Q es separable.

Utilizando el teorema fundamental de la teoría de Galois , el primer teorema se deriva inmediatamente del teorema de Steinitz .

Característica p

Para una extensión no separable de la característica p , existe sin embargo un elemento primitivo siempre que el grado [ E  :  F ] sea p: de hecho, no puede haber subcampos intermedios no triviales ya que sus grados serían factores del primo p . ${\displaystyle E/F}$

Cuando [ E  :  F ] = p ² , puede que no haya un elemento primitivo (en cuyo caso hay infinitos campos intermedios según el teorema de Steinitz ). El ejemplo más simple es el campo de funciones racionales en dos indeterminados T y U sobre el campo finito con p elementos, y . De hecho, para cualquier in , el endomorfismo de Frobenius muestra que el elemento se encuentra en F , por lo que α es una raíz de , y α no puede ser un elemento primitivo (de grado p ² sobre F ), sino que F ( α ) es un no -campo intermedio trivial. ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(T,U)}$ ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}(T^{p},U^{p})}$ ${\displaystyle \alpha =g(T,U)}$ ${\displaystyle E\setminus F}$ ${\displaystyle \alpha ^{p}}$ ${\displaystyle f(X)=X^{p}-\alpha ^{p}\in F[X]}$

Prueba

Supongamos primero que eso es infinito. Por inducción basta demostrar que cualquier extensión finita es simple. Porque supongamos que no es un elemento primitivo . Entonces , ya que de otra manera . Considere los polinomios mínimos de over , respectivamente , y tome un campo de división que contenga todas las raíces de y de . Desde entonces , hay otra raíz y un automorfismo de campo que fija y toma . Entonces tenemos y: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E=F(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle c\in F}$ ${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$ ${\displaystyle F(\alpha )\subsetneq F(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$ ${\displaystyle \beta =\alpha -c\gamma \in F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \beta ,\gamma }$ ${\displaystyle F(\alpha )}$ ${\displaystyle f(X),g(X)\in F(\alpha )[X]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta ,\beta ',\ldots }$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \gamma ,\gamma ',\ldots }$ ${\displaystyle g(X)}$ ${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$ ${\displaystyle \gamma '\neq \gamma }$ ${\displaystyle \sigma :L\to L}$ ${\displaystyle F(\alpha )}$ ${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$ ${\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha }$

${\displaystyle \beta +c\gamma =\sigma (\beta +c\gamma )=\sigma (\beta )+c\,\sigma (\gamma )}$, y por lo tanto . ${\displaystyle c={\frac {\sigma (\beta )-\beta }{\gamma -\sigma (\gamma )}}}$

Dado que sólo hay un número finito de posibilidades para y , sólo un número finito de posibilidades no dan un elemento primitivo . Todos los demás valores dan . ${\displaystyle \sigma (\beta )=\beta '}$ ${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$ ${\displaystyle c\in F}$ ${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$ ${\displaystyle F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$

Para el caso en el que es finito, simplemente lo tomamos como una raíz primitiva del campo de extensión finito . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E}$

Historia

En su Primera Memoria de 1831, publicada en 1846, ^[2] Évariste Galois esbozó una prueba del teorema clásico del elemento primitivo en el caso de un campo de división de un polinomio entre números racionales. Las lagunas en su boceto podrían llenarse fácilmente ^[3] (como señaló el árbitro Poisson ) explotando un teorema ^{[4] [5]} de Lagrange de 1771, que Galois ciertamente conocía. Es probable que Lagrange ya conociera el teorema del elemento primitivo para dividir campos. ^[5] Galois luego utilizó en gran medida este teorema en su desarrollo del grupo de Galois . Desde entonces se ha utilizado en el desarrollo de la teoría de Galois y del teorema fundamental de la teoría de Galois .

El teorema del elemento primitivo fue demostrado en su forma moderna por Ernst Steinitz, en un influyente artículo sobre teoría de campos de 1910, que también contiene el teorema de Steinitz ; ^[6] Steinitz llamó al resultado "clásico" Teorema de los elementos primitivos y su versión moderna Teorema de los campos intermedios .

Emil Artin reformuló la teoría de Galois en la década de 1930 sin basarse en elementos primitivos. ^{[7] [8]}

Referencias

1. Lang, Serge (2002). Álgebra. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 211. Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. pag. 243.doi :10.1007/978-1-4613-0041-0 . ISBN 978-1-4612-6551-1.
2. Neumann, Peter M. (2011). Los escritos matemáticos de Évariste Galois. Zúrich: Sociedad Matemática Europea. ISBN 978-3-03719-104-0. OCLC  757486602.
3. Tignol, Jean-Pierre (febrero de 2016). Teoría de Galois de las ecuaciones algebraicas (2 ed.). CIENTÍFICO MUNDIAL. pag. 231. doi : 10.1142/9719. ISBN 978-981-4704-69-4. OCLC  1020698655.
4. Tignol, Jean-Pierre (febrero de 2016). Teoría de Galois de las ecuaciones algebraicas (2 ed.). CIENTÍFICO MUNDIAL. pag. 135. doi : 10.1142/9719. ISBN 978-981-4704-69-4. OCLC  1020698655.
5. Cox, David A. (2012). Teoría de Galois (2ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons. pag. 322.ISBN​ 978-1-118-21845-7. OCLC  784952441.
6. Steinitz, Ernst (1910). "Teoría algebraica del Körper". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 1910 (137): 167–309. doi :10.1515/crll.1910.137.167. ISSN  1435-5345. S2CID  120807300.
7. Kleiner, Israel (2007). "§4.1 Teoría de Galois". Una historia del álgebra abstracta . Saltador. pag. 64.ISBN​ 978-0-8176-4685-1.
8. Artín, Emil (1998). Teoría de Galois. Arthur N. Milgram (Republicación de la edición revisada de 1944 de la primera publicación de 1942 de The University Notre Dame Press ed.). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-62342-4. OCLC  38144376.

enlaces externos

• Notas del curso de J. Milne sobre campos y teoría de Galois
• El teorema del elemento primitivo en mathreference.com
• El teorema del elemento primitivo en planetmath.org
• El teorema del elemento primitivo en el sitio web de Ken Brown (archivo pdf)