La paradoja de la costa es la observación contraintuitiva de que la costa de una masa continental no tiene una longitud bien definida. Esto resulta de las propiedades de las líneas costeras similares a curvas fractales ; es decir, el hecho de que una costa suele tener una dimensión fractal . Aunque la "paradoja de la longitud" fue señalada previamente por Hugo Steinhaus , [1] el primer estudio sistemático de este fenómeno fue realizado por Lewis Fry Richardson , [2] [3] y Benoit Mandelbrot lo amplió . [4] [5]
La longitud medida del litoral depende del método utilizado para medirla y del grado de generalización cartográfica . Dado que una masa terrestre tiene características en todas las escalas, desde cientos de kilómetros de tamaño hasta pequeñas fracciones de un milímetro e inferiores, no existe un tamaño obvio de la característica más pequeña que deba tenerse en cuenta al medir y, por lo tanto, no existe un perímetro único bien definido. a la masa terrestre. Existen varias aproximaciones cuando se hacen suposiciones específicas sobre el tamaño mínimo de la característica.
El problema es fundamentalmente diferente al de la medición de otras aristas más sencillas. Es posible, por ejemplo, medir con precisión la longitud de una barra de metal recta e idealizada utilizando un dispositivo de medición para determinar que la longitud es menor que una cierta cantidad y mayor que otra cantidad, es decir, medirla dentro de un cierto rango. grado de incertidumbre . Cuanto más preciso sea el dispositivo de medición, más se acercarán los resultados a la longitud real del borde. Sin embargo, cuando se mide una línea costera, la medición más cercana no da como resultado un aumento en la precisión: la medición solo aumenta en longitud; A diferencia de la barra de metal, no hay forma de obtener un valor exacto de la longitud de la costa.
En el espacio tridimensional, la paradoja de la costa se extiende fácilmente al concepto de superficies fractales , según el cual el área de una superficie varía según la resolución de la medición.
Poco antes de 1951, Lewis Fry Richardson , al investigar el posible efecto de la longitud de las fronteras en la probabilidad de guerra, notó que los portugueses informaron que su frontera medida con España era de 987 km (613 millas), pero los españoles la informaron como 1214 km ( 754 millas). Este fue el comienzo del problema de la línea costera, que es una incertidumbre matemática inherente a la medición de límites irregulares. [6]
El método predominante para estimar la longitud de una frontera (o línea costera) era trazar n segmentos de línea recta iguales de longitud l con divisores en un mapa o fotografía aérea. Cada extremo del segmento debe estar en el límite. Al investigar las discrepancias en la estimación de los límites, Richardson descubrió lo que ahora se denomina "efecto Richardson": la suma de los segmentos aumenta monótonamente cuando la longitud común de los segmentos disminuye. En efecto, cuanto más corta sea la regla, más largo será el borde medido; los geógrafos españoles y portugueses simplemente usaban reglas de diferentes longitudes.
El resultado que más sorprende a Richardson es que, en determinadas circunstancias, cuando l se acerca a cero, la longitud de la costa se acerca al infinito . Richardson había creído, basándose en la geometría euclidiana, que una línea costera se acercaría a una longitud fija, al igual que estimaciones similares de figuras geométricas regulares. Por ejemplo, el perímetro de un polígono regular inscrito en un círculo se acerca a la circunferencia a medida que aumenta el número de lados (y disminuye la longitud de un lado). En la teoría de la medida geométrica, una curva tan suave como el círculo que puede aproximarse mediante pequeños segmentos rectos con un límite definido se denomina curva rectificable . [7] Benoit Mandelbrot demostró que D es independiente de ε .
El concepto básico de longitud tiene su origen en la distancia euclidiana . En geometría euclidiana, una línea recta representa la distancia más corta entre dos puntos . Esta línea tiene una sola longitud. En la superficie de una esfera, esto se reemplaza por la longitud geodésica (también llamada longitud del círculo máximo ), que se mide a lo largo de la curva de la superficie que existe en el plano que contiene tanto los puntos finales como el centro de la esfera. La longitud de las curvas básicas es más complicada pero también se puede calcular. Midiendo con reglas, se puede aproximar la longitud de una curva sumando la suma de las rectas que conectan los puntos:
El uso de algunas líneas rectas para aproximar la longitud de una curva producirá una estimación inferior a la longitud real; cuando se utilizan líneas cada vez más cortas (y por tanto más numerosas), la suma se acerca a la longitud real de la curva. Se puede encontrar un valor preciso para esta longitud mediante el cálculo , la rama de las matemáticas que permite calcular distancias infinitamente pequeñas. La siguiente animación ilustra cómo se puede asignar de manera significativa una longitud precisa a una curva suave :
No todas las curvas se pueden medir de esta forma. Un fractal es, por definición, una curva cuya complejidad percibida cambia con la escala de medición. Mientras que las aproximaciones de una curva suave tienden a un solo valor a medida que aumenta la precisión de la medición, el valor medido de un fractal no converge.
Como la longitud de una curva fractal siempre diverge hacia el infinito, si uno midiera una línea costera con resolución infinita o casi infinita, la longitud de las curvas infinitamente cortas en la línea costera sumaría infinito. [8] Sin embargo, esta cifra se basa en el supuesto de que el espacio se puede subdividir en secciones infinitesimales. El valor de verdad de esta suposición, que subyace a la geometría euclidiana y sirve como modelo útil en las mediciones cotidianas, es una cuestión de especulación filosófica y puede reflejar o no las realidades cambiantes del "espacio" y la "distancia" en el nivel atómico ( aproximadamente la escala de un nanómetro ).
Las líneas costeras son menos definidas en su construcción que los fractales idealizados como el conjunto de Mandelbrot porque están formadas por diversos eventos naturales que crean patrones de manera estadísticamente aleatoria , mientras que los fractales idealizados se forman a través de iteraciones repetidas de secuencias simples y formuladas. [9]
Más de una década después de que Richardson completara su trabajo, Benoît Mandelbrot desarrolló una nueva rama de las matemáticas , la geometría fractal , para describir complejos no rectificables de la naturaleza como la línea costera infinita. [10] Su propia definición de la nueva figura que le sirve de base para su estudio es: [11]
Acuñé fractal del adjetivo latino fractus . El verbo latino correspondiente frangere significa "romper": crear fragmentos irregulares. Por lo tanto, es sensato... que, además de "fragmentado"... fractus también signifique "irregular".
En " How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension ", publicado el 5 de mayo de 1967, [12] Mandelbrot analiza las curvas autosemejantes que tienen una dimensión de Hausdorff entre 1 y 2. Estas curvas son ejemplos de fractales . aunque Mandelbrot no utiliza este término en el artículo, ya que no lo acuñó hasta 1975. El artículo es una de las primeras publicaciones de Mandelbrot sobre el tema de los fractales. [13]
La evidencia empírica sugiere que cuanto menor es el incremento de la medición, más larga se vuelve la longitud medida. Si uno midiera un tramo de costa con una vara de medir , obtendría un resultado más corto que si el mismo tramo se midiera con una regla de 1 pie (30 cm) . Esto se debe a que estaríamos colocando la regla a lo largo de una ruta más curvilínea que la seguida por la vara de medir. La evidencia empírica sugiere una regla que, si se extrapola, muestra que la longitud medida aumenta sin límite a medida que la escala de medición disminuye hacia cero. Esta discusión implica que no tiene sentido hablar de la longitud de una línea costera; Se necesitan otros medios para cuantificar las costas. Mandelbrot describe a continuación varias curvas matemáticas, relacionadas con el copo de nieve de Koch , que están definidas de tal manera que son estrictamente autosemejantes. Mandelbrot muestra cómo calcular la dimensión de Hausdorff de cada una de estas curvas, cada una de las cuales tiene una dimensión D entre 1 y 2 (también menciona, pero no da, una construcción para la curva de Peano que llena el espacio , que tiene una dimensión exactamente 2). . El artículo no afirma que ninguna línea costera o frontera geográfica tenga realmente una dimensión fraccionaria. En cambio, señala que la ley empírica de Richardson es compatible con la idea de que las curvas geográficas, como las líneas costeras, pueden modelarse mediante figuras aleatorias autosemejantes de dimensión fraccionaria. Cerca del final del artículo, Mandelbrot analiza brevemente cómo se podría abordar el estudio de objetos de tipo fractal en la naturaleza que parecen aleatorios en lugar de regulares. Para ello define cifras estadísticamente autosemejantes y dice que se encuentran en la naturaleza. El artículo es importante porque supone un "punto de inflexión" en el pensamiento inicial de Mandelbrot sobre los fractales. [14] Es un ejemplo de la vinculación de objetos matemáticos con formas naturales que fue un tema de gran parte de su trabajo posterior.
Una propiedad clave de algunos fractales es la autosimilitud ; es decir, a cualquier escala aparece la misma configuración general. Una costa se percibe como bahías que se alternan con promontorios. En la situación hipotética de que una línea costera determinada tenga esta propiedad de autosimilitud, entonces no importa cuán grande se magnifique una pequeña sección de la línea costera, aparece un patrón similar de bahías y promontorios más pequeños superpuestos a bahías y promontorios más grandes, hasta el final. granos de arena. A esa escala, la costa aparece como un hilo momentáneamente cambiante, potencialmente infinitamente largo, con una disposición estocástica de bahías y promontorios formados a partir de los pequeños objetos a mano. En un entorno así (a diferencia de las curvas suaves), Mandelbrot afirma [10] "la longitud de la costa resulta ser una noción esquiva que se escapa entre los dedos de quienes quieren captarla".
Hay diferentes tipos de fractales. Una línea de costa con la propiedad indicada se encuentra en "una primera categoría de fractales, es decir, curvas cuya dimensión fractal es mayor que 1". Esta última afirmación representa una extensión por parte de Mandelbrot del pensamiento de Richardson. La afirmación de Mandelbrot sobre el efecto Richardson es: [15]
donde L , longitud de la costa, función de la unidad de medida ε , se aproxima mediante la expresión. F es una constante y D es un parámetro que Richardson encontró que dependía de la línea costera aproximada por L. No dio ninguna explicación teórica, pero Mandelbrot identificó D con una forma no entera de la dimensión de Hausdorff , más tarde la dimensión fractal. Al reorganizar la expresión se obtiene
donde Fε − D debe ser el número de unidades ε necesarias para obtener L . La línea discontinua que mide una costa no se extiende en una dirección ni representa un área, sino que es intermedia entre ambas y puede considerarse como una banda de ancho 2 ε . D es su dimensión fractal, que oscila entre 1 y 2 (y normalmente menos de 1,5). Las costas más quebradas tienen mayor D y, por lo tanto, L es más larga para el mismo ε . D es aproximadamente 1,02 para la costa de Sudáfrica y aproximadamente 1,25 para la costa occidental de Gran Bretaña. [5] Para las costas de los lagos, el valor típico de D es 1,28. [dieciséis]
La paradoja de la costa describe un problema con aplicaciones del mundo real. Para resolver este problema se han propuesto varias soluciones. [17] Estas soluciones resuelven los problemas prácticos relacionados con el problema estableciendo la definición de "costa", estableciendo los límites físicos prácticos de una línea costera y utilizando números enteros matemáticos dentro de estas limitaciones prácticas para calcular la longitud con un nivel significativo de precisión. [17] Estas soluciones prácticas al problema pueden resolver el problema para todas las aplicaciones prácticas mientras persista como un concepto teórico/matemático dentro de nuestros modelos. [18]
La paradoja de la costa es a menudo criticada porque las costas son características inherentemente finitas y reales en el espacio y, por lo tanto, existe una respuesta cuantificable sobre su longitud. [17] [19] La comparación con los fractales, si bien es útil como metáfora para explicar el problema, se critica por no ser completamente precisa, ya que las costas no se repiten y son fundamentalmente finitas. [17]
El origen de la paradoja se basa en la forma en que medimos la realidad y es más relevante cuando se intenta utilizar esas mediciones para crear modelos cartográficos de costas. [19] La tecnología moderna, como LiDAR , los sistemas de posicionamiento global y los sistemas de información geográfica , ha hecho que abordar la paradoja sea mucho más fácil; sin embargo, persisten las limitaciones de las mediciones topográficas y del software vectorial. [17] Los críticos argumentan que estos problemas son consideraciones más teóricas y no prácticas para los planificadores. [17]
La orilla izquierda del Vístula, medida con mayor precisión, proporcionaría longitudes diez, cien y hasta mil veces mayores que la longitud leída en el mapa escolar. Una afirmación casi adecuada a la realidad sería decir que la mayoría de los arcos que se encuentran en la naturaleza no son rectificables.
