Estado fundamental

Nivel de energía más bajo de un sistema cuántico.

Niveles de energía de un electrón en un átomo : estado fundamental y estados excitados . Después de absorber energía , un electrón puede saltar del estado fundamental a un estado excitado de mayor energía.

El estado fundamental de un sistema mecánico cuántico es su estado estacionario de menor energía ; la energía del estado fundamental se conoce como energía de punto cero del sistema. Un estado excitado es cualquier estado con energía mayor que el estado fundamental. En la teoría cuántica de campos , el estado fundamental suele denominarse estado de vacío o vacío .

Si existe más de un estado fundamental, se dice que están degenerados . Muchos sistemas tienen estados fundamentales degenerados. La degeneración ocurre siempre que existe un operador unitario que actúa de manera no trivial en un estado fundamental y conmuta con el hamiltoniano del sistema.

Según la tercera ley de la termodinámica , un sistema a temperatura del cero absoluto existe en su estado fundamental; por tanto, su entropía está determinada por la degeneración del estado fundamental. Muchos sistemas, como una red cristalina perfecta , tienen un estado fundamental único y, por lo tanto, tienen entropía cero en el cero absoluto. También es posible que el estado excitado más alto tenga temperatura de cero absoluto para sistemas que exhiben temperatura negativa .

Ausencia de nodos en una dimensión.

En una dimensión , se puede demostrar que el estado fundamental de la ecuación de Schrödinger no tiene nodos . ^[1]

Derivación

Considere la energía promedio de un estado con un nodo en x = 0 ; es decir, ψ (0) = 0 . La energía promedio en este estado sería

$${\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),}$$

donde V ( x ) es el potencial.

Con integración por partes :

$${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}{\frac {d\psi }{dx}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx}$$

Por lo tanto, en caso de que sea igual a cero , se obtiene: ${\displaystyle \left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim _{b\to \infty }\psi ^{*}(b){\frac {d\psi }{dx}}(b)-\lim _{a\to -\infty }\psi ^{*}(a){\frac {d\psi }{dx}}(a)}$

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx}$$

Ahora, considere un pequeño intervalo alrededor de ; es decir, . Considere una nueva función de onda ( deformada ) ψ ' ( x ) que se definirá como , para ; y para ; y constante para . Si es lo suficientemente pequeño, siempre es posible hacerlo, de modo que ψ ' ( x ) sea continua. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$ ${\displaystyle \psi '(x)=\psi (x)}$ ${\displaystyle x<-\varepsilon }$ ${\displaystyle \psi '(x)=-\psi (x)}$ ${\displaystyle x>\varepsilon }$ ${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Suponiendo que se pueda escribir ${\displaystyle \psi (x)\approx -cx}$ ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle \psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\varepsilon ,\\c\varepsilon ,&|x|\leq \varepsilon ,\end{cases}}}$$

${\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}}}$

Tenga en cuenta que las densidades de energía cinética se mantienen en todas partes debido a la normalización. Más significativamente, la energía cinética promedio se reduce mediante la deformación a ψ ' . ${\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}}$ ${\displaystyle O(\varepsilon )}$

Ahora, considere la energía potencial . Para ser más precisos, elijamos . Entonces está claro que, fuera del intervalo , la densidad de energía potencial es menor para el ψ ' porque existe. ${\displaystyle V(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$ ${\displaystyle |\psi '|<|\psi |}$

Por otro lado, en el intervalo tenemos ${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$

$${\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\varepsilon }}'=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)\simeq 2\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$

${\displaystyle \varepsilon ^{3}}$

Sin embargo, la contribución a la energía potencial de esta región para el estado ψ con un nodo es

$${\displaystyle V_{\text{avg}}^{\varepsilon }=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$

ψ 'ψ ' ${\displaystyle O(\varepsilon ^{3})}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$

Por lo tanto, podemos eliminar todos los nodos y reducir la energía en , lo que implica que ψ ' no puede ser el estado fundamental. Por tanto, la función de onda del estado fundamental no puede tener un nodo. Esto completa la prueba. (La energía promedio puede entonces reducirse aún más eliminando las ondulaciones, hasta el mínimo absoluto variacional). ${\displaystyle O(\varepsilon )}$

Implicación

Como el estado fundamental no tiene nodos, es espacialmente no degenerado, es decir, no hay dos estados cuánticos estacionarios con el valor propio de energía del estado fundamental (llamémoslo ) y el mismo estado de espín y, por lo tanto, solo diferirían en su posición-espacio. funciones de onda . ^[1] ${\displaystyle E_{g}}$

El razonamiento va por contradicción : porque si el estado fundamental fuera degenerado, entonces habría dos estados estacionarios ortonormales ^[2] y , más tarde representados por sus funciones de onda espacial-posición de valores complejos y , y cualquier superposición con números complejos que cumplan la condición también sería tal estado, es decir, tendría el mismo valor propio de energía y el mismo estado de espín. ${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$ ${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\psi _{1}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$ ${\displaystyle \psi _{2}(x,t)=\psi _{2}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$ ${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle :=c_{1}\left|\psi _{1}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{2}\right\rangle }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$ ${\displaystyle E_{g}}$

Ahora sea un punto aleatorio (donde se definen ambas funciones de onda) y establezca: ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle c_{1}={\frac {\psi _{2}(x_{0},0)}{a}}}$$

$${\displaystyle c_{2}={\frac {-\psi _{1}(x_{0},0)}{a}}}$$

$${\displaystyle a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0}$$

no hay nodos

Por lo tanto, la función de onda posición-espacio de es ${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle }$

$${\displaystyle \psi _{3}(x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x,0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x,0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }.}$$

Por eso

$${\displaystyle \psi _{3}(x_{0},t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x_{0},0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x_{0},0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }=0}$$

${\displaystyle t}$

Pero , es decir, es un nodo de la función de onda del estado fundamental y eso contradice la premisa de que esta función de onda no puede tener un nodo. ${\displaystyle \left\langle \psi _{3}|\psi _{3}\right\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Tenga en cuenta que el estado fundamental podría degenerarse debido a diferentes estados de espín como y mientras tienen la misma función de onda espacial de posición: cualquier superposición de estos estados crearía un estado de espín mixto pero dejaría la parte espacial (como factor común de ambos) inalterada. . ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

Ejemplos

Funciones de onda iniciales para los primeros cuatro estados de una partícula unidimensional en una caja

• La función de onda del estado fundamental de una partícula en una caja unidimensional es una onda sinusoidal de medio período , que llega a cero en los dos bordes del pozo. La energía de la partícula está dada por , donde h es la constante de Planck , m es la masa de la partícula, n es el estado energético ( n = 1 corresponde a la energía del estado fundamental) y L es el ancho del pozo. . ${\textstyle {\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}}$
• La función de onda del estado fundamental de un átomo de hidrógeno es una distribución esféricamente simétrica centrada en el núcleo , que es mayor en el centro y se reduce exponencialmente a distancias mayores. Lo más probable es que el electrón se encuentre a una distancia del núcleo igual al radio de Bohr . Esta función se conoce como orbital atómico 1s . Para el hidrógeno (H), un electrón en el estado fundamental tiene energía.−13,6 eV , relativo al umbral de ionización . En otras palabras, 13,6 eV es el aporte de energía necesario para que el electrón ya no esté unido al átomo.
• La definición exacta de un segundo de tiempo desde 1997 ha sido la duración de9 192 631 770 períodos de radiación correspondientes a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio -133 en reposo a una temperatura de 0 K. ^[3]

Notas

1. Véase, por ejemplo, Cohen, M. (1956). "Apéndice A: Prueba de no degeneración del estado fundamental" (PDF) . El espectro de energía de las excitaciones en helio líquido (Ph.D.). Instituto de Tecnología de California. Publicado como Feynman, RP; Cohen, Michael (1956). "Espectro energético de las excitaciones en helio líquido" (PDF) . Revisión física . 102 (5): 1189. Código bibliográfico : 1956PhRv..102.1189F. doi : 10.1103/PhysRev.102.1189.
2. es decir ${\displaystyle \left\langle \psi _{1}|\psi _{2}\right\rangle =\delta _{ij}}$
3. "Unidad de tiempo (segundo)". Folleto SI . Oficina Internacional de Pesas y Medidas . Consultado el 22 de diciembre de 2013 .

Bibliografía

• Feynman, Richard ; Leighton, Robert; Arenas, Mateo (1965). "consulte la sección 2-5 para los niveles de energía, 19 para el átomo de hidrógeno". Las conferencias Feynman sobre física . vol. 3.