estadística de pedidos

Kth valor más pequeño en una muestra estadística

Funciones de densidad de probabilidad de los estadísticos de orden para una muestra de tamaño n  = 5 a partir de una distribución exponencial con parámetro de escala unitaria

En estadística , el estadístico de késimo orden de una muestra estadística es igual a su késimo valor más pequeño. ^[1] Junto con las estadísticas de rango , las estadísticas de orden se encuentran entre las herramientas más fundamentales en la inferencia y las estadísticas no paramétricas .

Casos especiales importantes de las estadísticas de orden son el valor mínimo y máximo de una muestra y (con algunas salvedades que se analizan más adelante) la mediana muestral y otros cuantiles muestrales .

Cuando se utiliza la teoría de la probabilidad para analizar estadísticas de orden de muestras aleatorias de una distribución continua , se utiliza la función de distribución acumulativa para reducir el análisis al caso de estadísticas de orden de la distribución uniforme .

Notación y ejemplos

Por ejemplo, supongamos que se observan o registran cuatro números, lo que da como resultado una muestra de tamaño 4. Si los valores de la muestra son

6, 9, 3, 8,

las estadísticas del pedido se indicarían

${\displaystyle x_{(1)}=3,\ \ x_{(2)}=6,\ \ x_{(3)}=8,\ \ x_{(4)}=9,\,}$

donde el subíndice ( i ) entre paréntesis indica el estadístico de iésimo orden de la muestra.

El estadístico de primer orden (o estadístico de orden más pequeño ) es siempre el mínimo de la muestra, es decir,

${\displaystyle X_{(1)}=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$

donde, siguiendo una convención común, utilizamos letras mayúsculas para referirnos a variables aleatorias y letras minúsculas (como arriba) para referirnos a sus valores reales observados.

De manera similar, para una muestra de tamaño n , el estadístico de orden n (o estadístico de orden mayor ) es el máximo , es decir,

${\displaystyle X_{(n)}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}.}$

El rango de muestra es la diferencia entre el máximo y el mínimo. Es función de las estadísticas del pedido:

${\displaystyle {\rm {Range}}\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}=X_{(n)}-X_{(1)}.}$

Una estadística importante similar en el análisis de datos exploratorios que simplemente se relaciona con las estadísticas de orden es el rango intercuartílico de la muestra .

La mediana muestral puede ser o no un estadístico de orden, ya que solo hay un valor medio único cuando el número n de observaciones es impar . Más precisamente, si n = 2 m +1 para algún número entero m , entonces la mediana muestral es y también lo es un estadístico de orden. Por otro lado, cuando n es par , n = 2 m y hay dos valores medios, y , y la mediana muestral es alguna función de los dos (normalmente el promedio) y, por tanto, no es un estadístico de orden. Se aplican observaciones similares a todos los cuantiles muestrales. ${\displaystyle X_{(m+1)}}$ ${\displaystyle X_{(m)}}$ ${\displaystyle X_{(m+1)}}$

Análisis probabilístico

Dadas cualquier variable aleatoria X ₁ , X ₂ ..., X _n , las estadísticas de orden X ₍₁₎ , X ₍₂₎ , ..., X _{( n )} también son variables aleatorias, definidas ordenando los valores ( realizaciones ) de X ₁ , ..., X _n en orden creciente.

Cuando las variables aleatorias X ₁ , X ₂ ..., X _n forman una muestra , son independientes y están distribuidas idénticamente . Este es el caso que se trata a continuación. En general, las variables aleatorias X ₁ , ..., X _n pueden surgir mediante muestreo de más de una población. Entonces son independientes , pero no necesariamente están distribuidas de manera idéntica, y su distribución de probabilidad conjunta viene dada por el teorema de Bapat-Beg .

De ahora en adelante, asumiremos que las variables aleatorias consideradas son continuas y, cuando sea conveniente, también asumiremos que tienen una función de densidad de probabilidad (PDF), es decir, que son absolutamente continuas . Las peculiaridades del análisis de distribuciones que asignan masa a puntos (en particular, distribuciones discretas ) se discuten al final.

Función de distribución acumulativa de estadísticas de pedidos.

Para una muestra aleatoria como la anterior, con distribución acumulativa , las estadísticas de orden para esa muestra tienen distribuciones acumulativas de la siguiente manera ^[2] (donde r especifica qué estadística de orden): ${\displaystyle F_{X}(x)}$

${\displaystyle F_{X_{(r)}}(x)=\sum _{j=r}^{n}{\binom {n}{j}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j}}$

la función de densidad de probabilidad correspondiente se puede derivar de este resultado, y se encuentra que es

${\displaystyle f_{X_{(r)}}(x)={\frac {n!}{(r-1)!(n-r)!}}f_{X}(x)[F_{X}(x)]^{r-1}[1-F_{X}(x)]^{n-r}.}$

Además, hay dos casos especiales en los que las CDF son fáciles de calcular.

${\displaystyle F_{X_{(n)}}(x)=\operatorname {Prob} (\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\leq x)=[F_{X}(x)]^{n}}$

${\displaystyle F_{X_{(1)}}(x)=\operatorname {Prob} (\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\leq x)=1-[1-F_{X}(x)]^{n}}$

Lo cual puede derivarse de una cuidadosa consideración de las probabilidades.

Distribuciones de probabilidad de estadísticas de pedidos.

Estadísticas de pedidos tomadas de una distribución uniforme

En esta sección mostramos que los estadísticos de orden de la distribución uniforme en el intervalo unitario tienen distribuciones marginales que pertenecen a la familia de distribuciones beta . También proporcionamos un método simple para derivar la distribución conjunta de cualquier número de estadísticas de orden y, finalmente, traducir estos resultados a distribuciones continuas arbitrarias utilizando la cdf .

A lo largo de esta sección asumimos que es una muestra aleatoria extraída de una distribución continua con CDF . Denotando obtenemos la muestra aleatoria correspondiente de la distribución uniforme estándar . Tenga en cuenta que las estadísticas de pedidos también satisfacen . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle U_{i}=F_{X}(X_{i})}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle U_{(i)}=F_{X}(X_{(i)})}$

La función de densidad de probabilidad del estadístico de orden es igual a ^[3] ${\displaystyle U_{(k)}}$

${\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}}$

es decir, el estadístico de orden k de la distribución uniforme es una variable aleatoria con distribución beta . ^{[3] [4]}

${\displaystyle U_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n+1\mathbf {-} k).}$

La prueba de estas afirmaciones es la siguiente. Para estar entre u y u  +  du , es necesario que exactamente k  − 1 elementos de la muestra sean menores que u , y que al menos uno esté entre u y u  + d u . La probabilidad de que más de uno esté en este último intervalo ya es , por lo que tenemos que calcular la probabilidad de que exactamente k  − 1, 1 y n  −  k observaciones caigan en los intervalos , y respectivamente. Esto es igual (consulte la distribución multinomial para obtener más detalles) ${\displaystyle U_{(k)}}$ ${\displaystyle O(du^{2})}$ ${\displaystyle (0,u)}$ ${\displaystyle (u,u+du)}$ ${\displaystyle (u+du,1)}$

${\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot du\cdot (1-u-du)^{n-k}}$

y el resultado sigue.

La media de esta distribución es k / ( n + 1).

La distribución conjunta de las estadísticas de orden de la distribución uniforme.

De manera similar, para i  <  j , se puede demostrar que la función de densidad de probabilidad conjunta de las estadísticas de dos órdenes U _{( i )}  <  U _{( j ) es}

${\displaystyle f_{U_{(i)},U_{(j)}}(u,v)=n!{u^{i-1} \over (i-1)!}{(v-u)^{j-i-1} \over (j-i-1)!}{(1-v)^{n-j} \over (n-j)!}}$

que es (hasta términos de orden superior a ) la probabilidad de que i − 1  , 1, j  − 1 −  i , 1 y n  −  j elementos muestrales caigan en los intervalos , , , respectivamente. ${\displaystyle O(du\,dv)}$ ${\displaystyle (0,u)}$ ${\displaystyle (u,u+du)}$ ${\displaystyle (u+du,v)}$ ${\displaystyle (v,v+dv)}$ ${\displaystyle (v+dv,1)}$

Uno razona de manera completamente análoga para derivar las distribuciones conjuntas de orden superior. Quizás sea sorprendente que la densidad conjunta de las estadísticas de orden n resulte ser constante :

${\displaystyle f_{U_{(1)},U_{(2)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})=n!.}$

Una forma de entender esto es que la muestra desordenada tiene una densidad constante igual a 1 y que hay n ! diferentes permutaciones de la muestra correspondientes a la misma secuencia de estadísticas de orden. Esto está relacionado con el hecho de que 1/ n ! es el volumen de la región . También está relacionado con otra particularidad de las estadísticas de orden de variables aleatorias uniformes: de la desigualdad BRS se deduce que el número máximo esperado de variables aleatorias uniformes U(0,1] que se puede elegir de una muestra de tamaño n con una suma no exceder está acotado arriba por , que por lo tanto es invariante en el conjunto de todos con producto constante . ${\displaystyle 0<u_{1}<\cdots <u_{n}<1}$ ${\displaystyle 0<s<n/2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2sn}}}$ ${\displaystyle s,n}$ ${\displaystyle sn}$

Utilizando las fórmulas anteriores, se puede derivar la distribución del rango de las estadísticas de orden, es decir, la distribución de , es decir, máximo menos mínimo. De manera más general, for , también tiene una distribución beta: ${\displaystyle U_{(n)}-U_{(1)}}$ ${\displaystyle n\geq k>j\geq 1}$ ${\displaystyle U_{(k)}-U_{(j)}}$

$${\displaystyle U_{(k)}-U_{(j)}\sim \operatorname {Beta} (k-j,n-(k-j)+1)}$$

$${\displaystyle \operatorname {Cov} (U_{(k)},U_{(j)})={\frac {j(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {Var} (U_{(k)}-U_{(j)})=\operatorname {Var} (U_{(k)})+\operatorname {Var} (U_{(j)})-2\cdot \operatorname {Cov} (U_{(k)},U_{(j)})={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}+{\frac {j(n-j+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}-2\cdot \operatorname {Cov} (U_{(k)},U_{(j)})}$$

$${\displaystyle \operatorname {Var} (U)={\frac {(k-j)(n-(k-j)+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}}$$

${\displaystyle U\sim \operatorname {Beta} (k-j,n-(k-j)+1)}$

Estadísticas de pedidos muestreadas a partir de una distribución exponencial

Para una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución exponencial con parámetro λ , los estadísticos de orden X _{( i )} para i = 1,2,3, ..., n cada uno tiene distribución ${\displaystyle X_{1},X_{2},..,X_{n}}$

${\displaystyle X_{(i)}{\stackrel {d}{=}}{\frac {1}{\lambda }}\left(\sum _{j=1}^{i}{\frac {Z_{j}}{n-j+1}}\right)}$

donde Z _j son variables aleatorias exponenciales estándar iid (es decir, con parámetro de tasa 1). Este resultado fue publicado por primera vez por Alfréd Rényi . ^{[5] [6]}

Estadísticas de pedidos tomadas de una distribución de Erlang

La transformada de Laplace de las estadísticas de orden se puede muestrear a partir de una distribución de Erlang mediante un método de conteo de rutas ^{[ se necesita aclaración ]} . ^[7]

La distribución conjunta de las estadísticas de orden de una distribución absolutamente continua.

Si F _X es absolutamente continuo , tiene una densidad tal que , y podemos usar las sustituciones ${\displaystyle dF_{X}(x)=f_{X}(x)\,dx}$

${\displaystyle u=F_{X}(x)}$

y

${\displaystyle du=f_{X}(x)\,dx}$

derivar las siguientes funciones de densidad de probabilidad para las estadísticas de orden de una muestra de tamaño n extraída de la distribución de X :

${\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)}$

${\displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x,y)={\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[F_{X}(y)-F_{X}(x)]^{k-1-j}[1-F_{X}(y)]^{n-k}f_{X}(x)f_{X}(y)}$dónde ${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle f_{X_{(1)},\ldots ,X_{(n)}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=n!f_{X}(x_{1})\cdots f_{X}(x_{n})}$dónde ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n}.}$

Aplicación: intervalos de confianza para cuantiles

Una pregunta interesante es qué tan bien funcionan las estadísticas de orden como estimadores de los cuantiles de la distribución subyacente.

Un ejemplo de tamaño de muestra pequeño

El caso más simple a considerar es qué tan bien la mediana muestral estima la mediana poblacional.

Como ejemplo, considere una muestra aleatoria de tamaño 6. En ese caso, la mediana muestral generalmente se define como el punto medio del intervalo delimitado por los estadísticos de tercer y cuarto orden. Sin embargo, sabemos por la discusión anterior que la probabilidad de que este intervalo realmente contenga la mediana poblacional es ^{[ se necesita aclaración ]}

${\displaystyle {6 \choose 3}(1/2)^{6}={5 \over 16}\approx 31\%.}$

Aunque la mediana muestral probablemente se encuentre entre las mejores estimaciones puntuales de la mediana poblacional independientes de la distribución, lo que este ejemplo ilustra es que no es particularmente buena en términos absolutos. En este caso particular, un mejor intervalo de confianza para la mediana es el delimitado por los estadísticos de segundo y quinto orden, que contiene la mediana poblacional con probabilidad

${\displaystyle \left[{6 \choose 2}+{6 \choose 3}+{6 \choose 4}\right](1/2)^{6}={25 \over 32}\approx 78\%.}$

Con un tamaño de muestra tan pequeño, si se quiere al menos un 95% de confianza, se reduce a decir que la mediana está entre el mínimo y el máximo de las 6 observaciones con una probabilidad de 31/32 o aproximadamente el 97%. El tamaño 6 es, de hecho, el tamaño de muestra más pequeño, de modo que el intervalo determinado por el mínimo y el máximo sea al menos un intervalo de confianza del 95% para la mediana de la población.

Tamaños de muestra grandes

Para la distribución uniforme, cuando n tiende a infinito, el p ^-ésimo cuantil de muestra tiene una distribución asintóticamente normal , ya que se aproxima por

${\displaystyle U_{(\lceil np\rceil )}\sim AN\left(p,{\frac {p(1-p)}{n}}\right).}$

Para una distribución general F con una densidad continua distinta de cero en F  ⁻¹ ( p ), se aplica una normalidad asintótica similar:

${\displaystyle X_{(\lceil np\rceil )}\sim AN\left(F^{-1}(p),{\frac {p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^{2}}}\right)}$

donde f es la función de densidad y F  ⁻¹ es la función cuantil asociada con F . Una de las primeras personas en mencionar y demostrar este resultado fue Frederick Mosteller en su artículo fundamental de 1946. ^[8] Investigaciones posteriores condujeron en la década de 1960 a la representación de Bahadur , que proporciona información sobre los límites de error. La convergencia a la distribución normal también se cumple en un sentido más fuerte, como la convergencia en entropía relativa o la divergencia KL . ^[9]

Se puede hacer una observación interesante en el caso en que la distribución es simétrica y la mediana poblacional es igual a la media poblacional. En este caso, la media muestral , según el teorema del límite central , también está distribuida asintóticamente normalmente, pero con varianza σ ² /n en su lugar. Este análisis asintótico sugiere que la media supera a la mediana en casos de curtosis baja , y viceversa. Por ejemplo, la mediana logra mejores intervalos de confianza para la distribución de Laplace , mientras que la media funciona mejor para X que se distribuyen normalmente.

Prueba

Se puede demostrar que

${\displaystyle B(k,n+1-k)\ {\stackrel {\mathrm {d} }{=}}\ {\frac {X}{X+Y}},}$

dónde

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i},\quad Y=\sum _{i=k+1}^{n+1}Z_{i},}$

siendo Z _i variables aleatorias exponenciales independientes distribuidas idénticamente con tasa 1. Dado que X / n e Y / n están distribuidos asintóticamente normalmente por el CLT, nuestros resultados se siguen mediante la aplicación del método delta .

Aplicación: Estimación de densidad no paramétrica

Los momentos de la distribución del estadístico de primer orden se pueden utilizar para desarrollar un estimador de densidad no paramétrico. ^[10] Supongamos que queremos estimar la densidad en el punto . Considere las variables aleatorias , que son iid con función de distribución . En particular, . ${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle Y_{i}=|X_{i}-x^{*}|}$ ${\displaystyle g_{Y}(y)=f_{X}(y+x^{*})+f_{X}(x^{*}-y)}$ ${\displaystyle f_{X}(x^{*})={\frac {g_{Y}(0)}{2}}}$

El valor esperado del estadístico de primer orden dada una muestra de observaciones totales produce, ${\displaystyle Y_{(1)}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle E(Y_{(1)})={\frac {1}{(N+1)g(0)}}+{\frac {1}{(N+1)(N+2)}}\int _{0}^{1}Q''(z)\delta _{N+1}(z)\,dz}$

donde es la función cuantil asociada con la distribución , y . Esta ecuación, en combinación con una técnica de jackknifing, se convierte en la base del siguiente algoritmo de estimación de densidad: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g_{Y}}$ ${\displaystyle \delta _{N}(z)=(N+1)(1-z)^{N}}$

 Entrada: Una muestra de observaciones. Puntos de evaluación de densidad. Parámetro de sintonización (normalmente 1/3). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{x_{\ell }\}_{\ell =1}^{M}}$ ${\displaystyle a\in (0,1)}$ Salida: densidad estimada en los puntos de evaluación. ${\displaystyle \{{\hat {f}}_{\ell }\}_{\ell =1}^{M}}$

 1: Conjunto 2: Conjunto 3: Cree una matriz que contenga subconjuntos con observaciones cada uno. ${\displaystyle m_{N}=\operatorname {round} (N^{1-a})}$ ${\displaystyle s_{N}={\frac {N}{m_{N}}}}$ ${\displaystyle s_{N}\times m_{N}}$ ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle m_{N}}$ ${\displaystyle s_{N}}$ 4: Cree un vector para contener las evaluaciones de densidad. ${\displaystyle {\hat {f}}}$ 5: para  hacer 6: para hacer 7: encontrar la distancia más cercana al punto actual dentro del subconjunto ${\displaystyle \ell =1\to M}$   ${\displaystyle k=1\to m_{N}}$  ${\displaystyle d_{\ell k}}$ ${\displaystyle x_{\ell }}$ ${\displaystyle k}$ 8: final para 9: Calcular el promedio del subconjunto de distancias a 10: Calcular la estimación de densidad en 11: final para 12: regresar ${\displaystyle x_{\ell }:d_{\ell }=\sum _{k=1}^{m_{N}}{\frac {d_{\ell k}}{m_{N}}}}$ ${\displaystyle x_{\ell }:{\hat {f}}_{\ell }={\frac {1}{2(1+s_{N})d_{\ell }}}}$  ${\displaystyle {\hat {f}}}$

A diferencia de los parámetros de ajuste basados ​​en ancho de banda/longitud para los enfoques basados ​​en histograma y kernel , el parámetro de ajuste para el estimador de densidad basado en estadística de orden es el tamaño de los subconjuntos de muestra. Un estimador de este tipo es más robusto que los enfoques basados ​​en histogramas y kernel; por ejemplo, densidades como la distribución de Cauchy (que carecen de momentos finitos) se pueden inferir sin la necesidad de modificaciones especializadas, como los anchos de banda basados ​​en IQR . Esto se debe a que el primer momento de la estadística de orden siempre existe si el valor esperado de la distribución subyacente existe, pero lo contrario no es necesariamente cierto. ^[11]

Manejo de variables discretas

Supongamos que son variables aleatorias iid de una distribución discreta con función de distribución acumulativa y función de masa de probabilidad . Para encontrar las probabilidades de las estadísticas de orden, primero se necesitan tres valores, a saber ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

${\displaystyle p_{1}=P(X<x)=F(x)-f(x),\ p_{2}=P(X=x)=f(x),{\text{ and }}p_{3}=P(X>x)=1-F(x).}$

La función de distribución acumulativa del estadístico de orden se puede calcular observando que ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{(k)}\leq x)&=P({\text{there are at least }}k{\text{ observations less than or equal to }}x),\\&=P({\text{there are at most }}n-k{\text{ observations greater than }}x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}p_{3}^{j}(p_{1}+p_{2})^{n-j}.\end{aligned}}}$

De manera similar, está dada por ${\displaystyle P(X_{(k)}<x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{(k)}<x)&=P({\text{there are at least }}k{\text{ observations less than }}x),\\&=P({\text{there are at most }}n-k{\text{ observations greater than or equal to }}x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}(p_{2}+p_{3})^{j}(p_{1})^{n-j}.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que la función de masa de probabilidad de es solo la diferencia de estos valores, es decir ${\displaystyle X_{(k)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{(k)}=x)&=P(X_{(k)}\leq x)-P(X_{(k)}<x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}\left(p_{3}^{j}(p_{1}+p_{2})^{n-j}-(p_{2}+p_{3})^{j}(p_{1})^{n-j}\right),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}\left((1-F(x))^{j}(F(x))^{n-j}-(1-F(x)+f(x))^{j}(F(x)-f(x))^{n-j}\right).\end{aligned}}}$

Calcular estadísticas de pedidos

El problema de calcular el k -ésimo elemento más pequeño (o más grande) de una lista se llama problema de selección y se resuelve mediante un algoritmo de selección. Aunque este problema es difícil para listas muy grandes, se han creado algoritmos de selección sofisticados que pueden resolverlo en un tiempo proporcional al número de elementos de la lista, incluso si la lista está totalmente desordenada. Si los datos se almacenan en ciertas estructuras de datos especializadas, este tiempo se puede reducir a O (log n ). En muchas aplicaciones se requieren todas las estadísticas de orden, en cuyo caso se puede utilizar un algoritmo de clasificación y el tiempo necesario es O ( n log n ).

Ver también

• rango
• Diagrama de caja
• BRS-desigualdad
• Concomitante (estadísticas)
• Distribución de Fisher-Tippett
• Teorema de Bapat-Beg para las estadísticas de orden de variables aleatorias independientes pero no necesariamente distribuidas de manera idéntica
• polinomio de Bernstein
• Estimador L : combinaciones lineales de estadísticas de orden
• Distribución de tamaño de rango
• Algoritmo de selección

Ejemplos de estadísticas de pedidos

• Muestra máxima y mínima
• Cuantil
• percentil
• Décimo
• Cuartilla
• Mediana
• Significar
• Media muestral y covarianza

Referencias

1. David, HA; Nagaraja, HN (2003). Estadísticas de pedidos . Serie Wiley en probabilidad y estadística. doi :10.1002/0471722162. ISBN 9780471722168.
2. Casella, George; Berger, Roger (2002). Inferencia estadística (2ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 229.ISBN​ 9788131503942.
3. Gentle, James E. (2009), Estadística computacional, Springer, p. 63, ISBN 9780387981444.
4. Jones, MC (2009), "Distribución de Kumaraswamy: una distribución de tipo beta con algunas ventajas de manejabilidad", Statistical Methodology , 6 (1): 70–81, doi :10.1016/j.stamet.2008.04.001, como también conocida, la distribución beta es la distribución del estadístico de orden m de una muestra aleatoria de tamaño n de la distribución uniforme (en (0,1)).
5. David, HA; Nagaraja, HN (2003), "Capítulo 2. Teoría básica de la distribución", Estadísticas de orden , Serie Wiley en probabilidad y estadística, p. 9, doi :10.1002/0471722162.ch2, ISBN 9780471722168
6. Rényi, Alfred (1953). "Sobre la teoría de la estadística del orden". Acta Mathematica Hungarica . 4 (3): 191–231. doi : 10.1007/BF02127580 .
7. Hlynka, M.; Brillante, PH; Cuerno, W. (2010). "Un método para obtener transformadas de Laplace de estadísticas de orden de variables aleatorias de Erlang". Cartas de estadística y probabilidad . 80 : 9–18. doi :10.1016/j.spl.2009.09.006.
8. Mosteller, Federico (1946). "Sobre algunas estadísticas" ineficientes "útiles". Anales de estadística matemática . 17 (4): 377–408. doi : 10.1214/aoms/1177730881 . Consultado el 26 de febrero de 2015 .
9. M. Cardone, A. Dytso y C. Rush, "Teorema del límite central entrópico para estadísticas de pedidos", en IEEE Transactions on Information Theory, vol. 69, núm. 4, págs. 2193-2205, abril de 2023, doi: 10.1109/TIT.2022.3219344.
10. Garg, Vikram V.; Tenorio, Luis; Willcox, Karen (2017). "Estimación de densidad de distancia local mínima". Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos . 46 (1): 148-164. arXiv : 1412.2851 . doi :10.1080/03610926.2014.988260. S2CID  14334678.
11. David, HA; Nagaraja, HN (2003), "Capítulo 3. Valores y momentos esperados", Estadísticas de orden , Serie Wiley en probabilidad y estadística, p. 34, doi :10.1002/0471722162.ch3, ISBN 9780471722168

enlaces externos

• Solicite estadísticas en PlanetMath . Consultado el 2 de febrero de 2005.
• Weisstein, Eric W. "Estadística de pedidos". MundoMatemático .Consultado el 2 de febrero de 2005.
• Estadísticas de pedidos dinámicos de origen C++