Teorema de Bapat-Beg

En teoría de la probabilidad , el teorema de Bapat-Beg proporciona la distribución de probabilidad conjunta de las estadísticas de orden de variables aleatorias independientes pero no necesariamente idénticamente distribuidas en términos de las funciones de distribución acumulativa de las variables aleatorias. Ravindra Bapat y MI Beg publicaron el teorema en 1989, ^[1] aunque no ofrecieron una prueba. Hande ofreció una prueba simple en 1994. ^[2]

A menudo, todos los elementos de la muestra se obtienen de la misma población y, por lo tanto, tienen la misma distribución de probabilidad . El teorema de Bapat-Beg describe las estadísticas de orden cuando cada elemento de la muestra se obtiene de una población estadística diferente y, por lo tanto, tiene su propia distribución de probabilidad . ^[1]

Declaración

Sean variables aleatorias independientes de valor real con funciones de distribución acumulativa respectivamente . Escriba para las estadísticas de orden. Entonces, la distribución de probabilidad conjunta de las estadísticas de orden (con y ) es ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F_{1}(x),F_{2}(x),\ldots ,F_{n}(x)}$ ${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)}}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2}\ldots ,n_{k}}$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{k}}$ ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X_{(n_{1})},\ldots ,X_{(n_{k})}}(x_{1},\ldots ,x_{k})&=\Pr(X_{(n_{1})}\leq x_{1}\land X_{(n_{2})}\leq x_{2}\land \cdots \land X_{(n_{k})}\leq x_{k})\\&=\sum _{i_{k}=n_{k}}^{n}\cdots \sum _{i_{2}=n_{2}}^{i_{3}}\sum _{i_{1}=n_{1}}^{i_{2}}{\frac {P_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})}{i_{1}!(i_{2}-i_{1})!\cdots (n-i_{k})!}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\operatorname {per} {\begin{bmatrix}F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{1})&F_{1}(x_{2})-F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{2})-F_{1}(x_{1})&\cdots &1-F_{1}(x_{k})\cdots 1-F_{1}(x_{k})\\F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{1})&F_{2}(x_{2})-F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{2})-F_{2}(x_{1})&\cdots &1-F_{2}(x_{k})\cdots 1-F_{1}(x_{k})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\underbrace {F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{1})} _{i_{1}}&\underbrace {F_{n}(x_{2})-F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{2})-F_{n}(x_{1})} _{i_{2}-i_{1}}&\cdots &\underbrace {1-F_{n}(x_{k})\cdots 1-F_{n}(x_{k})} _{n-i_{k}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

es la permanente de la matriz de bloques dada . (Las cifras bajo las llaves muestran el número de columnas). ^[1]

Caso independiente distribuido de forma idéntica

En el caso en que las variables sean independientes y estén distribuidas de manera idéntica con una función de distribución de probabilidad acumulativa para todo i, el teorema se reduce a ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F_{i}=F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X_{(n_{1})},\ldots ,X_{(n_{k})}}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\sum _{i_{k}=n_{k}}^{n}\cdots \sum _{i_{2}=n_{2}}^{i_{3}}\sum _{i_{1}=n_{1}}^{i_{2}}n!{\frac {F(x_{1})^{i_{1}}}{i_{1}!}}{\frac {(1-F(x_{k}))^{n-i_{k}}}{(n-i_{k})!}}\prod \limits _{j=2}^{k}{\frac {\left[F(x_{j})-F(x_{j-1})\right]^{i_{j}-i_{j-1}}}{(i_{j}-i_{j-1})!}}.\end{aligned}}}$

Observaciones

• No es necesario suponer la continuidad de las funciones de distribución acumulativa. ^[2]
• Si no se imponen las desigualdades x ₁ < x ₂ < ... < x _k , algunas de las desigualdades "pueden ser redundantes y la probabilidad puede evaluarse después de hacer la reducción necesaria". ^[1]

Complejidad

Glueck y coautores señalan que la fórmula de Bapat‒Beg es computacionalmente intratable, porque involucra un número exponencial de permanentes del tamaño del número de variables aleatorias. ^[3] Sin embargo, cuando las variables aleatorias tienen solo dos distribuciones posibles, la complejidad se puede reducir a . ^[3] Por lo tanto, en el caso de dos poblaciones, la complejidad es polinómica en para cualquier número fijo de estadísticas . ${\displaystyle O(m^{2k})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

Referencias

1. Bapat, RB; Beg, MI (1989). "Estadísticas de orden para variables y permanentes no idénticamente distribuidas". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Serie A (1961–2002) . 51 (1): 79–93. JSTOR  25050725. MR  1065561.
2. Hande, Sayaji (1994). "Una nota sobre las estadísticas de orden para variables distribuidas de forma no idéntica". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Serie A (1961–2002) . 56 (2): 365–368. JSTOR  25050995. MR  1664921.
3. Glueck; Anis Karimpour-Fard; Jan Mandel; Larry Hunter; Muller (2008). "Cálculo rápido por bloques permanentes de funciones de distribución acumulativas de estadísticas de orden de varias poblaciones". Comunicaciones en Estadística – Teoría y Métodos . 37 (18): 2815–2824. arXiv : 0705.3851 . doi :10.1080/03610920802001896. PMC 2768298 . PMID  19865590.