Espectroscopia de fotoemisión con resolución angular

Técnica experimental para determinar la distribución de electrones en sólidos

Espectro ARPES de un estado electrónico bidimensional localizado en la superficie (111) del cobre. La energía tiene una dependencia del momento similar a la del electrón libre , p ² /2 m , donde m = 0,46 ‍ m e . La escala de colores representa los conteos de electrones por canal de energía cinética y ángulo de emisión. Cuando  se utilizan fotones de 21,22 eV , el nivel de Fermi se representa a 16,64 eV.

La espectroscopia de fotoemisión con resolución angular ( ARPES ) es una técnica experimental utilizada en física de la materia condensada para investigar las energías y los momentos permitidos de los electrones en un material, generalmente un sólido cristalino . Se basa en el efecto fotoeléctrico , en el que un fotón entrante de energía suficiente expulsa un electrón de la superficie de un material. Al medir directamente la energía cinética y las distribuciones del ángulo de emisión de los fotoelectrones emitidos, la técnica puede mapear la estructura de la banda electrónica y las superficies de Fermi . ARPES es más adecuada para el estudio de materiales unidimensionales o bidimensionales. Los físicos la han utilizado para investigar superconductores de alta temperatura , grafeno , materiales topológicos , estados de pozo cuántico y materiales que exhiben ondas de densidad de carga . ^[1]

Los sistemas ARPES constan de una fuente de luz monocromática para emitir un haz estrecho de fotones, un portamuestras conectado a un manipulador utilizado para posicionar la muestra de un material y un espectrómetro de electrones . El equipo está contenido dentro de un entorno de ultra alto vacío (UHV), que protege la muestra y evita la dispersión de los electrones emitidos. Después de dispersarse a lo largo de dos direcciones perpendiculares con respecto a la energía cinética y el ángulo de emisión, los electrones se dirigen a un detector y se cuentan para proporcionar espectros ARPES: cortes de la estructura de bandas a lo largo de una dirección de momento. Algunos instrumentos ARPES pueden extraer una porción de los electrones junto al detector para medir la polarización de su espín .

Principio

Los electrones en los sólidos cristalinos solo pueden ocupar estados de ciertas energías y momentos, ya que otros están prohibidos por la mecánica cuántica . Forman un continuo de estados conocido como la estructura de bandas del sólido. La estructura de bandas determina si un material es un aislante , un semiconductor o un metal , cómo conduce la electricidad y en qué direcciones conduce mejor, o cómo se comporta en un campo magnético .

La espectroscopia de fotoemisión con resolución angular determina la estructura de bandas y ayuda a comprender los procesos de dispersión y las interacciones de los electrones con otros componentes de un material. Lo hace observando los electrones expulsados ​​por los fotones desde su estado inicial de energía y momento hasta el estado cuya energía es, por la energía del fotón, mayor que la energía inicial y mayor que la energía de enlace del electrón en el sólido. En el proceso, el momento del electrón permanece prácticamente intacto, excepto su componente perpendicular a la superficie del material. De este modo, la estructura de bandas se traduce de energías en las que los electrones están ligados dentro del material a energías que los liberan de la unión cristalina y permiten su detección fuera del material.

Midiendo la energía cinética del electrón liberado, se puede calcular su velocidad y momento absoluto. Midiendo el ángulo de emisión con respecto a la normal de la superficie, ARPES también puede determinar los dos componentes del momento en el plano que se conservan en el proceso de fotoemisión. En muchos casos, si es necesario, también se puede reconstruir el tercer componente.

Instrumentación

Configuración típica de laboratorio de un experimento ARPES (no a escala): lámpara de descarga de helio como fuente de luz ultravioleta, portamuestras que se conecta a un manipulador de vacío y analizador de energía electrónica hemisférico .

Un instrumento típico para la fotoemisión con resolución angular consta de una fuente de luz, un portamuestras conectado a un manipulador y un espectrómetro electrónico. Todos ellos forman parte de un sistema de vacío ultraalto que proporciona la protección necesaria contra los adsorbentes para la superficie de la muestra y elimina la dispersión de los electrones en su camino hacia el analizador. ^{[2] [3]}

La fuente de luz emite a la muestra un haz monocromático , generalmente polarizado , enfocado y de alta intensidad de ~10 ¹² fotones/s con una dispersión de energía de unos pocos meV . ^[3] Las fuentes de luz varían desde lámparas UV compactas de descarga de gas noble y fuentes de plasma de radiofrecuencia (10–⁠40 eV), ^{[4] [5] [6]} láseres ultravioleta (5–⁠11 eV) ^[7] hasta dispositivos de inserción de sincrotrón ^[8] que están optimizados para diferentes partes del espectro electromagnético (desde 10 eV en el ultravioleta hasta 1000 eV en rayos X).

Vista a través de la ventana de una cámara de ultra alto vacío para espectroscopia de fotoemisión con resolución angular. El soporte de cristal con calefacción por haz de electrones integrado está conectado a un manipulador xyz+theta en la parte superior y, mediante una trenza de plata, a un refrigerador criogénico en la parte inferior. La lente del analizador de electrones y el capilar de la fuente de rayos ultravioleta son visibles a la derecha.

El portamuestras aloja muestras de materiales cristalinos, cuyas propiedades electrónicas se van a investigar. Facilita su inserción en el vacío, la división para exponer superficies limpias y el posicionamiento preciso. El portamuestras funciona como la extensión de un manipulador que hace posibles las traslaciones a lo largo de tres ejes y las rotaciones para ajustar los ángulos polar, acimutal e inclinado de la muestra. El portamuestras tiene sensores o termopares para la medición y el control precisos de la temperatura. El enfriamiento a temperaturas tan bajas como 1 kelvin se proporciona mediante gases licuados criogénicos , refrigeradores criogénicos y refrigeradores de dilución . Los calentadores resistivos unidos al portamuestras proporcionan calentamiento hasta unos pocos cientos de °C, mientras que los dispositivos de bombardeo de haz de electrones en miniatura en la parte posterior pueden producir temperaturas de muestra tan altas como 2000 °C. Algunos portamuestras también pueden tener accesorios para el enfoque y la calibración del haz de luz .

Trayectorias de electrones en una lente electrostática de un espectrómetro ARPES mostradas en el plano de dispersión angular. El instrumento muestra un cierto grado de concentración en el mismo canal de detección de los electrones que salen del cristal en el mismo ángulo pero que se originan en dos puntos separados de la muestra. Aquí, la separación simulada es de 0,5 mm.

El espectrómetro electrónico dispersa los electrones a lo largo de dos direcciones espaciales de acuerdo con su energía cinética y su ángulo de emisión al salir de la muestra; en otras palabras, proporciona un mapeo de diferentes energías y ángulos de emisión a diferentes posiciones en el detector. En el tipo más comúnmente utilizado, el analizador de energía electrónica hemisférico , los electrones pasan primero a través de una lente electrostática . La lente tiene un punto focal estrecho que se encuentra a unos 40 mm de la entrada a la lente. Mejora aún más la dispersión angular de la columna de electrones y la sirve con energía ajustada a la ranura de entrada estrecha de la parte de dispersión de energía.

Espectrómetro electrónico de resolución angular y energética para ARPES (esquema)

La dispersión de energía se lleva a cabo para un rango estrecho de energías alrededor de la llamada energía de paso en la dirección perpendicular a la dirección de dispersión angular, es decir perpendicular al corte de una rendija de ~25 mm de largo y ⪆0,1 mm de ancho. La dispersión angular previamente lograda alrededor del eje de la lente cilíndrica solo se conserva a lo largo de la rendija, y dependiendo del modo de lente y la resolución angular deseada generalmente se establece en ±3°, ±7° o ±15°. ^{[4] [5] [6]} Los hemisferios del analizador de energía se mantienen a voltajes constantes de modo que la trayectoria central es seguida por electrones que tienen la energía cinética igual a la energía de paso establecida; aquellos con energías mayores o menores terminan más cerca del hemisferio externo o interno en el otro extremo del analizador. Aquí es donde se monta un detector de electrones , generalmente en forma de una placa de microcanal de 40 mm emparejada con una pantalla fluorescente . Los eventos de detección de electrones se registran mediante una cámara externa y se cuentan en cientos de miles de canales separados de energía angular y cinética. Algunos instrumentos están equipados adicionalmente con un tubo de extracción de electrones en un lado del detector para permitir la medición de la polarización de espín de los electrones .

Los analizadores modernos son capaces de resolver ángulos de emisión de electrones tan bajos como 0,1°. La resolución de energía depende de la energía de paso y del ancho de la rendija, por lo que el operador elige entre mediciones con una resolución ultraalta y baja intensidad (< 1 meV a una energía de paso de 1 eV) o resoluciones de energía más pobres de 10 meV o más a energías de paso más altas y con rendijas más anchas que resultan en una mayor intensidad de señal. La resolución del instrumento se muestra como un ensanchamiento artificial de las características espectrales: un corte de energía de Fermi más amplio de lo esperado a partir de la temperatura de la muestra únicamente, y la función espectral teórica del electrón convolucionada con la función de resolución del instrumento tanto en energía como en momento/ángulo. ^{[4] [5] [6]}

A veces, en lugar de analizadores hemisféricos, se utilizan analizadores de tiempo de vuelo . Sin embargo, estos requieren fuentes de fotones pulsados ​​y son más comunes en los laboratorios ARPES basados ​​en láser . ^[9]

Relaciones básicas

La espectroscopia de fotoemisión con resolución angular es un potente refinamiento de la espectroscopia de fotoemisión ordinaria . La luz de frecuencia compuesta por fotones de energía , donde es la constante de Planck , se utiliza para estimular las transiciones de electrones del estado electrónico ocupado al desocupado del sólido. Si la energía de un fotón es mayor que la energía de enlace de un electrón , el electrón finalmente abandonará el sólido sin dispersarse y se observará con energía cinética ^[10] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=h\nu -E_{\text{B}}}$

en ángulo con respecto a la normal de la superficie , ambos característicos del material estudiado. ^{[nota 1]} ${\displaystyle \vartheta }$

Izquierda : Ángulo del analizador: mapa de energía I ₀ ( α , E _k ) alrededor de la emisión vertical. Derecha : Ángulo del analizador: mapas de energía I _θ ( α , E _k ) en varios ángulos polares alejados de la emisión vertical.

Los mapas de intensidad de emisión de electrones medidos por ARPES en función de y son representativos de la distribución intrínseca de electrones en el sólido expresados ​​en términos de su energía de enlace y el vector de onda de Bloch , que está relacionado con el momento cristalino de los electrones y la velocidad de grupo . En el proceso de fotoemisión, el vector de onda de Bloch está vinculado al momento del electrón medido , donde la magnitud del momento está dada por la ecuación ${\displaystyle E_{\text{k}}}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |={\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}}$.

A medida que el electrón cruza la barrera superficial, pierde parte de su energía debido a la función de trabajo superficial , ^{[nota 1]} solo se conserva el componente de que es paralelo a la superficie, . Por lo tanto, a partir de ARPES solo se conoce con certeza y su magnitud está dada por ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{\Vert }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} _{\Vert }={\tfrac {1}{\hbar }}\mathbf {p} _{\Vert }}$

${\displaystyle |\mathbf {k} _{\Vert }|={\tfrac {1}{\hbar }}|\mathbf {p_{\Vert }} |={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}\sin \vartheta }$. ^[11]

Aquí está la constante de Planck reducida . ${\displaystyle \hbar }$

Debido a la determinación incompleta del vector de onda tridimensional y la pronunciada sensibilidad superficial del proceso de fotoemisión elástica, ARPES es el método más adecuado para la caracterización completa de la estructura de bandas en sistemas ordenados de baja dimensión , como materiales bidimensionales , películas ultradelgadas y nanocables . Cuando se utiliza para materiales tridimensionales, el componente perpendicular del vector de onda suele aproximarse, suponiendo un estado final parabólico , similar al de los electrones libres, con el fondo a energía . Esto da: ${\displaystyle k_{\perp }}$ ${\displaystyle -V_{0}}$

${\displaystyle k_{\perp }={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}(E_{\text{k}}\cos ^{2}\!\vartheta +V_{0})}}}$. ^[11]

El potencial interno es un parámetro desconocido a priori. Para sistemas de electrones d, los experimentos sugieren que ≈ 15 eV . ^[12] En general, el potencial interno se estima a través de una serie de experimentos dependientes de la energía de los fotones, especialmente en experimentos de mapeo de bandas de fotoemisión. ^[13] ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Mapeo de la superficie de Fermi

Izquierda : Mapa de energía constante cerca de E _F en unidades de ángulo del analizador – ángulo polar (movimiento polar perpendicular a la rendija del analizador). Derecha : Mapa de energía constante cerca de E _F en unidades de momento cristalino (transformado a partir del mapa de ángulo del analizador – ángulo polar).

Los analizadores de electrones que utilizan una rendija para evitar la mezcla de canales de momento y energía solo son capaces de tomar mapas angulares a lo largo de una dirección. Para tomar mapas sobre el espacio de energía y momento bidimensional, se gira la muestra en la dirección adecuada de modo que la rendija reciba electrones de ángulos de emisión adyacentes, o se dirige la columna de electrones dentro de la lente electrostática con la muestra fija. El ancho de la rendija determinará el tamaño del paso de los escaneos angulares. Por ejemplo, cuando una columna de ±15° dispersa alrededor del eje de la lente se aplica a una rendija de 30 mm de largo y 1 mm de ancho, cada milímetro de la rendija recibe una porción de 1°, en ambas direcciones; pero en el detector la otra dirección se interpreta como la energía cinética del electrón y se pierde la información del ángulo de emisión. Este promedio determina la resolución angular máxima del escaneo en la dirección perpendicular a la rendija: con una rendija de 1 mm, los pasos más gruesos que 1° dan lugar a datos faltantes, y los pasos más finos a superposiciones. Los analizadores modernos tienen ranuras de hasta 0,05 mm de ancho. Los mapas de energía-ángulo-ángulo suelen procesarse más para obtener mapas de energía - k _x – k _y , y se cortan de tal manera que se muestren superficies de energía constante en la estructura de bandas y, lo más importante, el mapa de superficie de Fermi cuando se cortan cerca del nivel de Fermi.

Conversión de ángulo de emisión a momento

Geometría de un experimento ARPES (no a escala). En esta posición, θ = 0° y τ = 0° , el analizador acepta electrones emitidos verticalmente desde la superficie y α ≤ 8° alrededor.

El espectrómetro ARPES mide la dispersión angular en un corte α a lo largo de su rendija. Los analizadores modernos registran estos ángulos simultáneamente, en su marco de referencia, normalmente en el rango de ±15°. Para mapear la estructura de la banda sobre un espacio de momento bidimensional, se gira la muestra mientras se mantiene fijo el punto de luz en la superficie. La opción más común es cambiar el ángulo polar θ alrededor del eje que es paralelo a la rendija y ajustar la inclinación τ o el acimut φ para que se pueda alcanzar la emisión de una región particular de la zona de Brillouin .

Los componentes del momento de los electrones se pueden expresar en términos de las cantidades medidas en el marco de referencia del analizador como

${\displaystyle \mathbf {P} =[0,P\sin \alpha ,P\cos \alpha ]}$, dónde . ${\displaystyle P={\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}}$

Rotaciones del marco de referencia de la muestra. El analizador mide un rango de ángulos α en su propio marco de referencia.

Estos componentes se pueden transformar en los componentes apropiados del momento en el marco de referencia de la muestra, , utilizando matrices de rotación . Cuando la muestra se gira alrededor del eje y por θ , tiene componentes . Si la muestra también se inclina alrededor de x por τ , esto da como resultado , y los componentes del momento cristalino del electrón determinados por ARPES en esta geometría de mapeo son ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle R_{\textrm {axis}}({\textrm {angle}})}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle R_{y}(\vartheta )\,\mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =R_{x}(\tau )R_{y}(\vartheta )\,\mathbf {P} }$

${\displaystyle k_{x}={\tfrac {1}{\hbar }}p_{x}={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}\,\cos \alpha \sin \vartheta }$

${\displaystyle k_{y}={\tfrac {1}{\hbar }}p_{y}={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E_{\text{k}}}}\,(\pm \sin \alpha \cos \tau +\cos \alpha \sin \tau \cos \vartheta )}$

Elige el signo en función de si es proporcional ${\displaystyle \vartheta =0}$ ${\displaystyle k_{y}}$

a o ${\displaystyle \sin(\alpha +\tau )}$ ${\displaystyle \sin(\alpha -\tau )}$

Si se conocen ejes de alta simetría de la muestra y es necesario alinearlos, se puede aplicar una corrección por acimut φ rotando alrededor de z, cuando o rotando el mapa transformado I ( E , k _x , k _y ) alrededor del origen en planos de momento bidimensionales. ${\displaystyle \mathbf {p} =R_{z}(\varphi )R_{x}(\tau )R_{y}(\vartheta )\,\mathbf {P} }$

Teoría de las relaciones de intensidad de fotoemisión

La teoría de la fotoemisión ^{[2] [10] [11]} es la de las transiciones ópticas directas entre los estados y de un sistema de N electrones. La excitación luminosa se introduce como potencial vectorial magnético a través de la sustitución mínima en la parte cinética del hamiltoniano mecánico-cuántico de los electrones en el cristal. La parte de perturbación del hamiltoniano resulta ser: ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto \mathbf {p} +e\mathbf {A} }$

${\displaystyle H'={\frac {e}{2m}}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} +\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} )+{\frac {e^{2}}{2m}}|\mathbf {A} |^{2}}$.

En este tratamiento, se descuida el acoplamiento de espín del electrón al campo electromagnético. El potencial escalar se establece en cero ya sea imponiendo el calibre de Weyl ^[2] o trabajando en el calibre de Coulomb en el que se vuelve despreciablemente pequeño lejos de las fuentes. De cualquier manera, el conmutador se toma como cero. Específicamente, en el calibre de Weyl porque el período de para la luz ultravioleta es aproximadamente dos órdenes de magnitud mayor que el período de la función de onda del electrón . En ambos calibres se supone que los electrones en la superficie tuvieron poco tiempo para responder a la perturbación entrante y no agregar nada a ninguno de los dos potenciales. Para la mayoría de los usos prácticos es seguro ignorar el término cuadrático. Por lo tanto, ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \left[\mathbf {A} ,\mathbf {p} \right]=i\hbar \,\nabla \cdot \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} \approx 0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle |A|^{2}}$

${\displaystyle H'={\frac {e}{m}}\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} }$.

La probabilidad de transición se calcula mediante la teoría de perturbación dependiente del tiempo y viene dada por la regla de oro de Fermi :

${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|H'|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu )\propto |\langle f|\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} |i\rangle |^{2}\,\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu )}$,

La distribución delta anterior es una forma de decir que la energía se conserva cuando se absorbe un fotón de energía . ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle E_{f}=E_{i}+h\nu }$

Si el campo eléctrico de una onda electromagnética se escribe como , donde , el potencial vectorial hereda su polarización y es igual a . La probabilidad de transición se expresa entonces en términos del campo eléctrico como ^[14] ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E_{0}} \sin(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$ ${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$ ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\tfrac {1}{\omega }}\mathbf {E_{0}} \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

${\displaystyle \Gamma _{i\to f}\propto |\langle f|{\tfrac {1}{\nu }}\mathbf {E_{0}} \cdot \mathbf {p} |i\rangle |^{2}\,\delta (E_{f}-E_{i}-h\nu )}$.

En la aproximación repentina , que supone que un electrón se elimina instantáneamente del sistema de N electrones, los estados final e inicial del sistema se toman como productos antisimetrizados adecuadamente de los estados de partículas individuales del fotoelectrón y los estados que representan los sistemas de ( N − 1) electrones restantes. ^[2] ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ ${\displaystyle |k_{f}\rangle }$

La corriente de fotoemisión de electrones de energía y momento se expresa entonces como los productos de ${\displaystyle E_{f}=E_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

• ${\displaystyle |\langle k_{f}|\mathbf {E_{0}} \cdot \mathbf {p} |k_{i}\rangle |^{2}=M_{fi}}$, conocidas como reglas de selección de dipolos para transiciones ópticas, y
• ${\displaystyle A(\mathbf {k} ,E)}$, la función espectral de eliminación de un electrón conocida a partir de la teoría de muchos cuerpos de la física de la materia condensada

sumado sobre todos los estados iniciales y finales permitidos que conducen a la energía y el momento que se observan. ^[2] Aquí, E se mide con respecto al nivel de Fermi E _F , y E _k con respecto al vacío, de modo que donde , la función de trabajo , es la diferencia de energía entre los dos niveles de referencia. La función de trabajo depende del material, la orientación de la superficie y la condición de la superficie. Debido a que los estados iniciales permitidos son solo aquellos que están ocupados, la señal de fotoemisión reflejará la función de distribución de Fermi-Dirac en forma de una caída de intensidad en forma de sigmoide dependiente de la temperatura en la vecindad de E _F . En el caso de un sistema electrónico bidimensional de una banda, la relación de intensidad se reduce aún más a ${\displaystyle E_{\text{k}}=E+h\nu -W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{(E-E_{\text{F}})/k_{\text{B}}T}}}}$

${\displaystyle I(E_{\text{k}},\mathbf {k_{\Vert }} )=I_{M}(\mathbf {k_{\Vert }} ,\mathbf {E_{0}} ,\nu )\,f(E)\,A(\mathbf {k_{\Vert }} ,E)}$. ^[2]

Reglas de selección

Los estados electrónicos en los cristales están organizados en bandas de energía , que tienen asociadas dispersiones de bandas de energía que son valores propios de energía para electrones deslocalizados según el teorema de Bloch. Del factor de onda plana en la descomposición de Bloch de las funciones de onda, se deduce que las únicas transiciones permitidas cuando no intervienen otras partículas son entre los estados cuyos momentos cristalinos difieren por los vectores reticulares recíprocos , es decir, aquellos estados que están en el esquema de zona reducida uno encima del otro (de ahí el nombre de transiciones ópticas directas ). ^[11] ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Otro conjunto de reglas de selección proviene de (o ) cuando se tienen en cuenta la polarización de los fotones contenidos en (o ) y las simetrías de los estados de Bloch de un electrón inicial y final . Estas pueden conducir a la supresión de la señal de fotoemisión en ciertas partes del espacio recíproco o pueden indicar el origen atómico-orbital específico de los estados inicial y final. ^[15] ${\displaystyle M_{fi}}$ ${\displaystyle I_{M}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {E_{0}} }$ ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ ${\displaystyle |k_{f}\rangle }$

Efectos de muchos cuerpos

Espectro ARPES de la banda π renormalizada del grafeno dopado con electrones ; luz p-polarizada de 40 eV, T = 80 K. La línea de puntos es la banda desnuda. La torcedura en −0,2 eV se debe a los fonones del grafeno . ^[16]

La función espectral de un electrón que se mide directamente en ARPES mapea la probabilidad de que el estado del sistema de N electrones del cual se ha eliminado instantáneamente un electrón sea cualquiera de los estados fundamentales del sistema de ( N − 1) partículas:

${\displaystyle A(\mathbf {k} ,E)=\sum _{m}\left|\,\left\langle {\begin{matrix}{\scriptstyle (N-1)\,\mathrm {eigenstate} }\\{\scriptstyle m}\end{matrix}}\,\,|\,\,{\begin{matrix}{\scriptstyle (N)\,\mathrm {eigenstate} }\\{\scriptstyle \mathrm {with\,} \mathbf {k} \mathrm {\,removed} }\end{matrix}}\right\rangle \,\right|^{2}\,\delta (E-E_{m}^{N-1}+E^{N})}$.

Si los electrones fueran independientes entre sí, el estado de N electrones con el estado eliminado sería exactamente un estado propio del sistema de N − 1 partículas y la función espectral se convertiría en una función delta infinitamente aguda en la energía y el momento de la partícula eliminada; rastrearía la dispersión de las partículas independientes en el espacio de energía-momento . En el caso de correlaciones electrónicas aumentadas, la función espectral se amplía y comienza a desarrollar características más ricas que reflejan las interacciones en el sistema subyacente de muchos cuerpos . Estas se describen habitualmente mediante la corrección compleja a la dispersión de energía de una sola partícula que se llama autoenergía de la cuasipartícula . ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ ${\displaystyle E_{o}(\mathbf {k} )}$

${\textstyle \Sigma (\mathbf {k} ,E)=\Sigma '(\mathbf {k} ,E)+i\Sigma ''(\mathbf {k} ,E)}$.

Esta función contiene la información completa sobre la renormalización de la dispersión electrónica debido a las interacciones y la vida útil del agujero creado por la excitación. Ambos pueden determinarse experimentalmente a partir del análisis de espectros ARPES de alta resolución bajo algunas suposiciones razonables. Es decir, se puede suponer que la parte del espectro es casi constante a lo largo de direcciones de alta simetría en el espacio de momento y que la única parte variable proviene de la función espectral, que en términos de , donde los dos componentes de se toman generalmente como dependientes solo de , se lee ${\displaystyle M_{fi}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle A(\mathbf {k} ,E)=-{\frac {1}{\pi }}{\frac {\Sigma ''(E)}{\left[E-E_{o}(\mathbf {k} )-\Sigma '(E)\right]^{2}+\left[\Sigma ''(E)\right]^{2}}}}$

Los cortes de energía constante de la función espectral son aproximadamente lorentzianos cuyo ancho en la mitad del máximo está determinado por la parte imaginaria de la autoenergía , mientras que su desviación de la banda desnuda está dada por su parte real.

Esta función se conoce en ARPES como un escaneo a lo largo de una dirección elegida en el espacio de momento y es un mapa bidimensional de la forma . Cuando se corta a una energía constante , se obtiene una curva de tipo Lorentziano en cuya posición de pico renormalizada está dada por y cuyo ancho en la mitad del máximo está determinado por , de la siguiente manera: ^{[17] [16]} ${\displaystyle A(k,E)}$ ${\displaystyle E_{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle \Sigma '(E_{m})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Sigma ''(E_{m})}$

1. ${\displaystyle \Sigma '(E_{m})=E_{m}-E_{o}(k_{m})}$
2. ${\displaystyle \Sigma ''(E_{m})={\frac {1}{2}}\left[E_{o}(k_{m}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}w)-E_{o}(k_{m}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}w)\right]}$

La única incógnita restante en el análisis es la banda desnuda . La banda desnuda se puede encontrar de forma autoconsistente aplicando la relación de Kramers-Kronig entre los dos componentes de la función compleja que se obtiene de las dos ecuaciones anteriores. El algoritmo es el siguiente: empezar con una banda desnuda ansatz , calcular mediante la ecuación (2), transformarla en usando la relación de Kramers-Kronig , luego usar esta función para calcular la dispersión de la banda desnuda en un conjunto discreto de puntos mediante la ecuación (1), y alimentar al algoritmo su ajuste a una curva adecuada como una nueva banda desnuda ansatz; la convergencia se logra generalmente en unas pocas iteraciones rápidas. ^[16] ${\displaystyle E_{o}(k)}$ ${\displaystyle \Sigma (E)}$ ${\displaystyle \Sigma ''(E)}$ ${\displaystyle \Sigma '(E)}$ ${\displaystyle k_{m}}$

A partir de la autoenergía obtenida de esta manera se puede juzgar la fuerza y ​​la forma de las correlaciones electrón-electrón, la interacción electrón- fonón (más generalmente, electrón- bosón ), las energías activas de los fonones y la duración de la vida de las cuasipartículas . ^{[18] [19] [20] [21] [22]}

En casos simples de aplanamiento de banda cerca del nivel de Fermi debido a la interacción con los fonones de Debye , la masa de la banda se mejora en (1 + λ ) y el factor de acoplamiento electrón-fonón λ se puede determinar a partir de la dependencia lineal de los anchos de pico de la temperatura. ^[21]

En el caso de sistemas fuertemente correlacionados, como los superconductores de cuprato, el conocimiento de la autoenergía es, lamentablemente, insuficiente para una comprensión integral de los procesos físicos que conducen a ciertas características en el espectro. ^[23] De hecho, en el caso de los superconductores de cuprato, diferentes tratamientos teóricos a menudo conducen a explicaciones muy diferentes del origen de características específicas en el espectro. Un ejemplo típico es el pseudogap en los cupratos, es decir, la supresión selectiva del momento del peso espectral en el nivel de Fermi, que ha sido relacionada con fluctuaciones de espín, carga o emparejamiento (de ondas d) por diferentes autores. Esta ambigüedad sobre el mecanismo físico subyacente en funcionamiento se puede superar considerando funciones de correlación de dos partículas (como la espectroscopia electrónica Auger y la espectroscopia de potencial de apariencia), ya que pueden describir el modo colectivo del sistema y también pueden estar relacionadas con ciertas propiedades del estado fundamental. ^[24]

Usos

ARPES se ha utilizado para mapear la estructura de banda ocupada de muchos metales y semiconductores , estados que aparecen en los huecos de banda proyectados en sus superficies, ^[10] estados de pozo cuántico que surgen en sistemas con dimensionalidad reducida , ^[25] materiales de un átomo de espesor como el grafeno , ^[26] dicalcogenuros de metales de transición y muchos sabores de materiales topológicos . ^{[27] [28]} También se ha utilizado para mapear la estructura de banda subyacente, los huecos y la dinámica de cuasipartículas en materiales altamente correlacionados como superconductores de alta temperatura y materiales que exhiben ondas de densidad de carga . ^{[2] [29] [30] [9]}

Cuando se necesita estudiar la dinámica de los electrones en los estados ligados justo por encima del nivel de Fermi, se utiliza la excitación de dos fotones en configuraciones de bombeo-sonda ( 2PPE ). Allí, el primer fotón de energía suficientemente baja se utiliza para excitar electrones en bandas desocupadas que todavía están por debajo de la energía necesaria para la fotoemisión (es decir, entre los niveles de Fermi y de vacío). El segundo fotón se utiliza para expulsar a estos electrones del sólido para que puedan medirse con ARPES. Al cronometrar con precisión el segundo fotón, generalmente mediante el uso de la multiplicación de frecuencia del láser pulsado de baja energía y el retraso entre los pulsos cambiando sus trayectorias ópticas , se puede determinar la vida útil del electrón en la escala por debajo de los picosegundos . ^{[31] [32]}

Notas

1. Por razones de simplicidad, la función de trabajo se ha incluido en la expresión como parte de (verdadero significado de la energía de enlace). En la práctica, sin embargo, la energía de enlace se expresa en relación con el nivel de Fermi de un material, que se puede leer en un espectro ARPES. La función de trabajo es la diferencia entre el nivel de Fermi y el nivel de vacío donde los electrones están libres. ${\displaystyle E_{\text{k}}}$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$

Referencias

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Enlaces externos

• Introducción a ARPES en la línea de luz Diamond Light Source i05