Acoplamiento mínimo

Teoría de campos: acoplamiento de carga pero no de momentos superiores

En mecánica analítica y teoría cuántica de campos , el acoplamiento mínimo se refiere a un acoplamiento entre campos que involucra solo la distribución de carga y no momentos multipolares superiores de la distribución de carga. Este acoplamiento mínimo contrasta, por ejemplo, con el acoplamiento de Pauli , que incluye el momento magnético de un electrón directamente en el lagrangiano . ^[1]

Electrodinámica

En electrodinámica , el acoplamiento mínimo es suficiente para explicar todas las interacciones electromagnéticas. Los momentos más elevados de las partículas son consecuencia del acoplamiento mínimo y del espín distinto de cero .

Partícula cargada no relativista en un campo electromagnético

En coordenadas cartesianas , el lagrangiano de una partícula clásica no relativista en un campo electromagnético es (en unidades SI ):

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }$

donde q es la carga eléctrica de la partícula, φ es el potencial escalar eléctrico y A _i , i = 1, 2, 3 , son los componentes del potencial vectorial magnético que pueden depender todos explícitamente de y . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Este lagrangiano, combinado con la ecuación de Euler-Lagrange , produce la ley de fuerza de Lorentz

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$

y se llama acoplamiento mínimo.

Tenga en cuenta que los valores del potencial escalar y del potencial vectorial cambiarían durante una transformación de calibre , ^[2] y el propio Lagrangiano también recogerá términos adicionales, pero los términos adicionales en el Lagrangiano se suman a una derivada de tiempo total de una función escalar y, por lo tanto, todavía producen la misma ecuación de Euler-Lagrange.

Los momentos canónicos están dados por

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$

Tenga en cuenta que los momentos canónicos no son invariantes de calibre y no se pueden medir físicamente. Sin embargo, los momentos cinéticos

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}$

son invariantes en cuanto al calibre y medibles físicamente.

El hamiltoniano , como la transformación de Legendre del lagrangiano, es por lo tanto

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

Esta ecuación se utiliza con frecuencia en la mecánica cuántica .

Bajo una transformación de calibre,

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$

donde f ( r , t ) es cualquier función escalar del espacio y el tiempo, los momentos lagrangianos, canónicos y la transformada hamiltoniana antes mencionados son como

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

que todavía produce la misma ecuación de Hamilton:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$

En mecánica cuántica, la función de onda también experimentará una transformación de grupo local U(1) ^[3] durante la transformación de calibre, lo que implica que todos los resultados físicos deben ser invariantes bajo transformaciones locales U(1).

Partícula cargada relativista en un campo electromagnético

El lagrangiano relativista para una partícula ( masa en reposo m y carga q ) viene dado por:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

Por lo tanto, el momento canónico de la partícula es

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

es decir, la suma del momento cinético y el momento potencial.

Resolviendo la velocidad, obtenemos

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$

Así que el hamiltoniano es

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$

Esto da como resultado la ecuación de fuerza (equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange )

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

de donde se puede derivar

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

La derivación anterior hace uso de la identidad del cálculo vectorial :

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

Una expresión equivalente para el hamiltoniano en función del momento relativista (cinético), P = γm ẋ ( t ) = p - q A , es

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

Esto tiene la ventaja de que el momento cinético P se puede medir experimentalmente, mientras que el momento canónico p no. Nótese que el hamiltoniano ( energía total ) se puede ver como la suma de la energía relativista (cinética + reposo) , E = γmc ² , más la energía potencial , V = eφ .

Inflación

En los estudios de inflación cosmológica , el acoplamiento mínimo de un campo escalar suele referirse al acoplamiento mínimo con la gravedad. Esto significa que la acción del campo inflatón no está acoplada a la curvatura escalar . Su único acoplamiento con la gravedad es el acoplamiento con la medida invariante de Lorentz construida a partir de la métrica (en unidades de Planck ): ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\sqrt {g}}\,d^{4}x}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)}$

donde , y utilizando la derivada covariante de calibre . ${\displaystyle g:=\det g_{\mu \nu }}$

Referencias

1. "Acoplamiento mínimo: descripción general | Temas de ScienceDirect" www.sciencedirect.com . Consultado el 31 de enero de 2023 .
2. Srednicki, Mark (enero de 2007). Teoría cuántica de campos. doi :10.1017/cbo9780511813917. ISBN 9780511813917. Recuperado el 8 de mayo de 2020 . {{cite book}}: |website=ignorado ( ayuda )
3. Zinn-Justin, Jean; Guida, Riccardo (4 de diciembre de 2008). "Invariancia de calibre". Scholarpedia . 3 (12): 8287. Bibcode :2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.