Espacio de Bergman

En análisis complejo , análisis funcional y teoría de operadores , un espacio de Bergman , llamado así por Stefan Bergman , es un espacio de funciones holomorfas en un dominio D del plano complejo que se comportan suficientemente bien en el límite como para ser absolutamente integrables . Específicamente, para 0 < p < ∞ , el espacio de Bergman A ^p ( D ) es el espacio de todas las funciones holomorfas en D para las cuales la p -norma es finita: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|_{A^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)^{1/p}<\infty .}$

La cantidad se llama norma de la función f ; es una norma verdadera si . Por lo tanto A ^p ( D ) es el subespacio de funciones holomorfas que están en el espacio L p ( D ) . Los espacios de Bergman son espacios de Banach , lo cual es una consecuencia de la estimación, válida en subconjuntos compactos K de D : ${\displaystyle \|f\|_{A^{p}(D)}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Por lo tanto, la convergencia de una secuencia de funciones holomorfas en L ^p ( D ) implica también convergencia compacta , y por lo tanto la función límite también es holomorfa.

Si p = 2 , entonces A ^p ( D ) es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor , cuyo núcleo está dado por el núcleo de Bergman .

Casos especiales y generalizaciones

Si el dominio D está acotado , entonces la norma a menudo viene dada por:

${\displaystyle \|f\|_{A^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(z)|^{p}\,dA\right)^{1/p}\;\;\;\;\;(f\in A^{p}(D)),}$

donde es una medida de Lebesgue normalizada del plano complejo, es decir, dA = dz /Área( D ) . Alternativamente, se utiliza dA = dz / π , independientemente del área de D . El espacio de Bergman suele definirse en el disco unitario abierto del plano complejo, en cuyo caso . En el caso del espacio de Hilbert, dado: , tenemos: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle A^{p}(\mathbb {D} ):=A^{p}}$ ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\in A^{2}}$

${\displaystyle \|f\|_{A^{2}}^{2}:={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {D} }|f(z)|^{2}\,dz=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{n}|^{2}}{n+1}},}$

es decir, A ² es isométricamente isomorfo al espacio ponderado ℓ ^p (1/( n  + 1)) . ^[1] En particular, los polinomios son densos en A ² . De manera similar, si D = ₊ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , el semiplano complejo derecho (o superior), entonces:

${\displaystyle \|F\|_{A^{2}(\mathbb {C} _{+})}^{2}:={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} _{+}}|F(z)|^{2}\,dz=\int _{0}^{\infty }|f(t)|^{2}{\frac {dt}{t}},}$

donde , es decir, A ² ( ₊ ) es isométricamente isomorfo al espacio ponderado L p 1/ t (0,∞) (a través de la transformada de Laplace ). ^{[2] [3]} ${\displaystyle F(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-tz}\,dt}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

El espacio de Bergman ponderado A ^p ( D ) se define de manera análoga, ^[1] es decir,

${\displaystyle \|f\|_{A_{w}^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{2}\,w(x+iy)\,dx\,dy\right)^{1/p},}$

siempre que w  : D → [0, ∞) se elija de tal manera que sea un espacio de Banach (o un espacio de Hilbert , si p = 2 ). En el caso en que , por espacio de Bergman ponderado ^[4] entendemos el espacio de todas las funciones analíticas f tales que: ${\displaystyle A_{w}^{p}(D)}$ ${\displaystyle D=\mathbb {D} }$ ${\displaystyle A_{\alpha }^{p}}$

${\displaystyle \|f\|_{A_{\alpha }^{p}}:=\left((\alpha +1)\int _{\mathbb {D} }|f(z)|^{p}\,(1-|z|^{2})^{\alpha }dA(z)\right)^{1/p}<\infty ,}$

y de manera similar en el semiplano derecho (es decir, ) tenemos: ^[5] ${\displaystyle A_{\alpha }^{p}(\mathbb {C} _{+})}$

${\displaystyle \|f\|_{A_{\alpha }^{p}(\mathbb {C} _{+})}:=\left({\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} _{+}}|f(x+iy)|^{p}x^{\alpha }\,dx\,dy\right)^{1/p},}$

y este espacio es isométricamente isomorfo, a través de la transformada de Laplace, al espacio , ^{[6] [7]} donde: ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+},\,d\mu _{\alpha })}$

${\displaystyle d\mu _{\alpha }:={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{2^{\alpha }t^{\alpha +1}}}\,dt}$

(aquí Γ denota la función Gamma ).

A veces se consideran más generalizaciones, por ejemplo, denota un espacio de Bergman ponderado (a menudo llamado espacio Zen ^{[3] ) con respecto a una} medida de Borel regular positiva invariante a la traslación en el semiplano complejo derecho cerrado , es decir: ${\displaystyle A_{\nu }^{2}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} _{+}}}}$

${\displaystyle A_{\nu }^{p}:=\left\{f:\mathbb {C} _{+}\longrightarrow \mathbb {C} {\text{ analytic}}\;:\;\|f\|_{A_{\nu }^{p}}:=\left(\sup _{\varepsilon >0}\int _{\overline {\mathbb {C} _{+}}}|f(z+\varepsilon )|^{p}\,d\nu (z)\right)^{1/p}<\infty \right\}.}$

Reproducción de granos

El núcleo reproductor de A ² en el punto viene dado por: ^[1] ${\displaystyle k_{z}^{A^{2}}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$

${\displaystyle k_{z}^{A^{2}}(\zeta )={\frac {1}{(1-{\overline {z}}\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {D} ),}$

y de manera similar, pues tenemos: ^[5] ${\displaystyle A^{2}(\mathbb {C} _{+})}$

${\displaystyle k_{z}^{A^{2}(\mathbb {C} _{+})}(\zeta )={\frac {1}{({\overline {z}}+\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {C} _{+}),}$

En general, si se asigna un dominio conformemente a un dominio , entonces: ^[1] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle k_{z}^{A^{2}(\Omega )}(\zeta )=k_{\varphi (z)}^{{\mathcal {A}}^{2}(D)}(\varphi (\zeta ))\,{\overline {\varphi '(z)}}\varphi '(\zeta )\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \Omega ).}$

En el caso ponderado tenemos: ^[4]

${\displaystyle k_{z}^{A_{\alpha }^{2}}(\zeta )={\frac {\alpha +1}{(1-{\overline {z}}\zeta )^{\alpha +2}}}\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \mathbb {D} ),}$

y: ^[5]

${\displaystyle k_{z}^{A_{\alpha }^{2}(\mathbb {C} _{+})}(\zeta )={\frac {2^{\alpha }(\alpha +1)}{({\overline {z}}+\zeta )^{\alpha +2}}}\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \mathbb {C} _{+}).}$

Referencias

1. Duren, Peter L.; Schuster, Alexander (2004), Espacios de Bergman, Series matemáticas y monografías, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0810-8
2. Duren, Peter L. (1969), Extensión de un teorema de Carleson (PDF) , vol. 75, Boletín de la Sociedad Matemática Americana, págs. 143-146
3. Jacob, Brigit; Partington, Jonathan R.; Pott, Sandra (1 de febrero de 2013). "Sobre los teoremas de incrustación de Laplace-Carleson". Journal of Functional Analysis . 264 (3): 783–814. arXiv : 1201.1021 . doi :10.1016/j.jfa.2012.11.016. S2CID  7770226.
4. Cowen, Carl; MacCluer, Barbara (27 de abril de 1995), Operadores de composición en espacios de funciones analíticas, Estudios en matemáticas avanzadas, CRC Press, pág. 27, ISBN 9780849384929
5. Elliott, Sam J.; Wynn, Andrew (2011), "Operadores de composición en los espacios de Bergman ponderados del semiplano", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo , 54 (2): 374–379, arXiv : 0910.0408 , doi :10.1017/S0013091509001412, S2CID  18811195
6. Duren, Peter L.; Gallardo-Gutiérez, Eva A.; Montes-Rodríguez, Alfonso (3 de junio de 2007), Un teorema de Paley-Wiener para espacios de Bergman con aplicación a subespacios invariantes, vol. 39, Bulletin of the London Mathematical Society, pp. 459–466, archivado desde el original el 24 de diciembre de 2015
7. Gallrado-Gutiérez, Eva A.; Partington, Jonathan R.; Segura, Dolores (2009), Vectores cíclicos y subespacios invariantes para desplazamientos de Bergman y Dirichlet (PDF) , vol. 62, Journal of Operator Theory, pp. 199–214

Lectura adicional

• Bergman, Stefan (1970), La función kernel y el mapeo conforme , Mathematical Surveys, vol. 5 (2.ª ed.), American Mathematical Society
• Hedenmalm, H.; Korenblum, B.; Zhu, K. (2000), Teoría de los espacios de Bergman, Springer, ISBN 978-0-387-98791-0
• Richter, Stefan (2001) [1994], "Espacios de Bergman", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.

Véase también

• Núcleo de Bergman
• Espacio Banach
• Espacio de Hilbert
• Reproducción del espacio de Hilbert del núcleo
• Espacio resistente
• Espacio de Dirichlet