Espacio de Dirichlet

En matemáticas , el espacio de Dirichlet en el dominio (llamado así por Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), es el espacio de Hilbert del núcleo reproductor de funciones holomorfas , contenido dentro del espacio de Hardy , para el cual la integral de Dirichlet , definida por ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ,\,{\mathcal {D}}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f):={1 \over \pi }\iint _{\Omega }|f^{\prime }(z)|^{2}\,dA={1 \over 4\pi }\iint _{\Omega }|\partial _{x}f|^{2}+|\partial _{y}f|^{2}\,dx\,dy}$

es finito (aquí dA denota el área medida de Lebesgue en el plano complejo ). Esta última es la integral que aparece en el principio de Dirichlet para funciones armónicas . La integral de Dirichlet define una seminorma en . No es una norma en general, ya que siempre que f es una función constante . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(f)=0}$

Para , definimos ${\displaystyle f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f,\,g):={1 \over \pi }\iint _{\Omega }f'(z){\overline {g'(z)}}\,dA(z).}$

Este es un producto semi-interno y claramente podemos equiparlo con un producto interno dado por ${\displaystyle {\mathcal {D}}(f,\,f)={\mathcal {D}}(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{{\mathcal {D}}(\Omega )}:=\langle f,\,g\rangle _{H^{2}(\Omega )}+{\mathcal {D}}(f,\,g)\;\;\;\;\;(f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )),}$

donde es el producto interno usual en La norma correspondiente está dada por ${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle _{H^{2}(\Omega )}}$ ${\displaystyle H^{2}(\Omega ).}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}}$

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}^{2}:=\|f\|_{H^{2}(\Omega )}^{2}+{\mathcal {D}}(f)\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\Omega )).}$

Tenga en cuenta que esta definición no es única, otra opción común es tomar , para algún fijo . ${\displaystyle \|f\|^{2}=|f(c)|^{2}+{\mathcal {D}}(f)}$ ${\displaystyle c\in \Omega }$

El espacio de Dirichlet no es un álgebra , pero el espacio es un álgebra de Banach , con respecto a la norma. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )}$

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )}:=\|f\|_{H^{\infty }(\Omega )}+{\mathcal {D}}(f)^{1/2}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )).}$

Generalmente tenemos (el disco unitario del plano complejo ), en ese caso , y si ${\displaystyle \Omega =\mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {D} ):={\mathcal {D}}}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}),}$

entonces

${\displaystyle D(f)=\sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2},}$

y

${\displaystyle \|f\|_{\mathcal {D}}^{2}=\sum _{n\geq 0}(n+1)|a_{n}|^{2}.}$

Claramente, contiene todos los polinomios y, más generalmente, todas las funciones , holomorfas en tales que están acotadas en . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

El núcleo reproductor de at está dado por ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle k_{w}(z)={\frac {1}{z{\overline {w}}}}\log \left({\frac {1}{1-z{\overline {w}}}}\right)\;\;\;\;\;(z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}).}$

Véase también

• Espacio Banach
• Espacio de Bergman
• Espacio resistente
• Espacio de Hilbert

Referencias

• Arcozzi, Nicola; Rochberg, Richard; Sawyer, Eric T.; Wick, Brett D. (2011), "El espacio de Dirichlet: un estudio" (PDF) , New York J. Math. , 17a : 45–86
• El-Fallah, Omar; Kellay, Karim; Mashreghi, Javad; Ransford, Thomas (2014). Introducción al espacio de Dirichlet. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04752-5.