En matemáticas , una forma sesquilineal es una generalización de una forma bilineal que, a su vez, es una generalización del concepto de producto escalar del espacio euclidiano . Una forma bilineal es lineal en cada uno de sus argumentos, pero una forma sesquilineal permite "torcer" uno de los argumentos de manera semilineal , de ahí el nombre; que se origina del prefijo numérico latino sesqui- que significa "uno y medio". El concepto básico del producto escalar (producir un escalar a partir de un par de vectores) se puede generalizar permitiendo una gama más amplia de valores escalares y, quizás simultáneamente, ampliando la definición de vector.
Un caso especial motivador es una forma sesquilineal en un espacio vectorial complejo , V. Este es un mapa V × V → C que es lineal en un argumento y "tuerce" la linealidad del otro argumento mediante conjugación compleja (denominada antilineal en el otro argumento). Este caso surge naturalmente en las aplicaciones de la física matemática. Otro caso importante permite que los escalares provengan de cualquier campo y el giro lo proporciona un automorfismo de campo .
Una aplicación en geometría proyectiva requiere que los escalares provengan de un anillo de división (campo sesgado), K , y esto significa que los "vectores" deben ser reemplazados por elementos de un módulo K. En un entorno muy general, las formas sesquilineales se pueden definir sobre R -módulos para anillos arbitrarios R .
Las formas sesquilineales abstraen y generalizan la noción básica de una forma hermitiana en un espacio vectorial complejo . Las formas hermitianas se ven comúnmente en física , como el producto interno de un espacio de Hilbert complejo . En tales casos, la forma hermitiana estándar en C n viene dada por
donde denota el conjugado complejo de Este producto se puede generalizar a situaciones en las que no se trabaja con una base ortonormal para C n , o incluso con cualquier base. Al insertar un factor adicional de en el producto, se obtiene la forma sesgada-hermitiana , definida con mayor precisión a continuación. No hay ninguna razón particular para restringir la definición a los números complejos; se puede definir para anillos arbitrarios que llevan un antiautomorfismo , entendido informalmente como un concepto generalizado de "conjugación compleja" para el anillo.
Las convenciones difieren en cuanto a qué argumento debe ser lineal. En el caso conmutativo, tomaremos la primera como lineal, como es común en la literatura matemática, excepto en la sección dedicada a las formas sesquilineales en espacios vectoriales complejos. Allí usamos la otra convención y tomamos el primer argumento como lineal conjugado (es decir, antilineal) y el segundo como lineal. Esta es la convención utilizada principalmente por los físicos [1] y se origina en la notación bracket de Dirac en mecánica cuántica . También es coherente con la definición del producto habitual (euclidiano) de as .
En el entorno no conmutativo más general, con los módulos derechos tomamos el segundo argumento como lineal y con los módulos izquierdos tomamos el primer argumento como lineal.
Sobre un espacio vectorial complejo, una aplicación es sesquilineal si
para todos y todos Aquí, está el conjugado complejo de un escalar
Una forma sesquilineal compleja también puede verse como un mapa bilineal complejo.
Para un fijo, el mapa es un funcional lineal (es decir , un elemento del espacio dual ). Asimismo, el mapa es un funcional lineal conjugado en
Dada cualquier forma sesquilineal compleja, podemos definir una segunda forma sesquilineal compleja mediante la transpuesta conjugada :
Si es un espacio vectorial complejo de dimensión finita, entonces, con respecto a cualquier base de una forma sesquilineal, está representada por una matriz y dada por
Una forma hermitiana compleja (también llamada forma sesquilineal simétrica ), es una forma sesquilineal tal que
Se introduce un signo menos en la forma hermitiana para definir el grupo SU(1,1) .
Un espacio vectorial con forma hermitiana se llama espacio hermitiano .
La representación matricial de una forma hermitiana compleja es una matriz hermitiana .
Una forma hermitiana compleja aplicada a un solo vector
Una forma sesquilineal compleja (también llamada forma sesquilineal antisimétrica ), es una forma sesquilineal compleja tal que
La representación matricial de una forma sesgada-hermitiana compleja es una matriz sesgada-hermitiana .
Una forma compleja sesgada-hermitiana aplicada a un solo vector
Esta sección se aplica sin cambios cuando el anillo de división K es conmutativo . Entonces también se aplica una terminología más específica: el anillo de división es un campo, el antiautomorfismo también es un automorfismo y el módulo derecho es un espacio vectorial. Lo siguiente se aplica a un módulo izquierdo con una reordenación adecuada de las expresiones.
Una forma σ -sesquilineal sobre un módulo K derecho M es un mapa biaditivo φ : M × M → K con un antiautomorfismo asociado σ de un anillo de división K tal que, para todo x , y en M y todo α , β en K ,
El antiautomorfismo asociado σ para cualquier forma sesquilineal distinta de cero φ está determinado únicamente por φ .
Dada una forma sesquilineal φ sobre un módulo M y un subespacio ( submódulo ) W de M , el complemento ortogonal de W con respecto a φ es
De manera similar, x ∈ M es ortogonal a y ∈ M con respecto a φ , escrito x ⊥ φ y (o simplemente x ⊥ y si φ se puede inferir del contexto), cuando φ ( x , y ) = 0 . Esta relación no tiene por qué ser simétrica , es decir, x ⊥ y no implica y ⊥ x (pero consulte § Reflexividad a continuación).
Una forma sesquilineal φ es reflexiva si, para todo x , y en M ,
Es decir, una forma sesquilineal es reflexiva precisamente cuando la relación de ortogonalidad derivada es simétrica.
Una forma σ -sesquilineal φ se llama ( σ , ε ) -hermitiana si existe ε en K tal que, para todo x , y en M ,
Si ε = 1 , la forma se llama σ - hermitiana , y si ε = −1 , se llama σ - antihermitiana . (Cuando σ está implícito, respectivamente simplemente hermitiano o antihermitiano ).
Para una forma hermitiana ( σ , ε ) distinta de cero, se deduce que para todo α en K ,
También se deduce que φ ( x , x ) es un punto fijo del mapa α ↦ σ ( α ) ε . Los puntos fijos de este mapa forman un subgrupo del grupo aditivo de K.
Una forma ( σ , ε ) -hermitiana es reflexiva, y cada forma reflexiva σ -sesquilineal es ( σ , ε ) -hermitiana para algunos ε . [2] [3] [4] [5]
En el caso especial de que σ sea el mapa identidad (es decir, σ = id ), K es conmutativo, φ es una forma bilineal y ε 2 = 1 . Entonces, para ε = 1 , la forma bilineal se llama simétrica , y para ε = −1 se llama sesgada-simétrica . [6]
Sea V el espacio vectorial tridimensional sobre el campo finito F = GF( q 2 ) , donde q es una potencia prima . Con respecto a la base estándar podemos escribir x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) y y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) y definir el mapa φ por:
El mapa σ : t ↦ t q es un automorfismo involutivo de F . El mapa φ es entonces una forma σ -sesquilineal. La matriz M φ asociada a esta forma es la matriz identidad . Esta es una forma hermitiana.
En una geometría proyectiva G , una permutación δ de los subespacios que invierte la inclusión, es decir
se llama correlación . Un resultado de Birkhoff y von Neumann (1936) [7] muestra que las correlaciones de las geometrías proyectivas desarguesianas corresponden a las formas sesquilineales no degeneradas en el espacio vectorial subyacente. [5] Una forma sesquilineal φ es no degenerada si φ ( x , y ) = 0 para todo y en V (si y) solo si x = 0 .
Para lograr una generalidad total de esta afirmación, y dado que toda geometría proyectiva desarguesiana puede coordinarse mediante un anillo de división , Reinhold Baer amplió la definición de forma sesquilineal a un anillo de división, lo que requiere reemplazar los espacios vectoriales por R -módulos . [8] (En la literatura geométrica, todavía se los conoce como espacios vectoriales izquierdo o derecho sobre campos sesgados). [9]
La especialización de la sección anterior en campos sesgados fue una consecuencia de la aplicación a la geometría proyectiva y no intrínseca a la naturaleza de las formas sesquilineales. Sólo se requieren las modificaciones menores necesarias para tener en cuenta la no conmutatividad de la multiplicación para generalizar la versión de campo arbitrario de la definición a anillos arbitrarios.
Sea R un anillo , V un módulo R y σ un antiautomorfismo de R.
Un mapa φ : V × V → R es σ -sesquilineal si
para todos x , y , z , w en V y todos c , d en R .
Un elemento x es ortogonal a otro elemento y con respecto a la forma sesquilineal φ (escrita x ⊥ y ) si φ ( x , y ) = 0 . Esta relación no tiene por qué ser simétrica, es decir, x ⊥ y no implica y ⊥ x .
Una forma sesquilineal φ : V × V → R es reflexiva (u ortosimétrica ) si φ ( x , y ) = 0 implica φ ( y , x ) = 0 para todo x , y en V.
Una forma sesquilineal φ : V × V → R es hermitiana si existe σ tal que [10] : 325
para todo x , y en V . Una forma hermitiana es necesariamente reflexiva y, si es distinta de cero, el antiautomorfismo asociado σ es una involución (es decir, de orden 2).
Dado que para un antiautomorfismo σ tenemos σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) para todo s , t en R , si σ = id , entonces R debe ser conmutativo y φ es una forma bilineal. En particular, si, en este caso, R es un campo sesgado, entonces R es un campo y V es un espacio vectorial con forma bilineal.
Un antiautomorfismo σ : R → R también puede verse como un isomorfismo R → R op , donde R op es el anillo opuesto de R , que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma suma, pero cuya operación de multiplicación ( ∗ ) está definida por a ∗ b = ba , donde el producto de la derecha es el producto en R . De esto se deduce que un módulo R derecho (izquierdo) V se puede convertir en un módulo R op izquierdo (derecho), V o . [11] Por lo tanto, la forma sesquilineal φ : V × V → R puede verse como una forma bilineal φ ′ : V × V o → R .
