Anillo de funciones polinómicas

Estructura algebraica

En matemáticas , el anillo de funciones polinómicas en un espacio vectorial V sobre un cuerpo k da un análogo sin coordenadas de un anillo polinómico . Se denota por k [ V ]. Si V es de dimensión finita y se considera una variedad algebraica , entonces k [ V ] es precisamente el anillo de coordenadas de V .

La definición explícita del anillo se puede dar de la siguiente manera. Dado un anillo de polinomios , podemos verlo como una función coordenada en ; es decir, donde Esto sugiere lo siguiente: ^{[ ¿cómo? ]} dado un espacio vectorial V , sea k [ V ] la k -álgebra conmutativa generada por el espacio dual , que es un subanillo del anillo de todas las funciones . Si fijamos una base para V y escribimos para su base dual, entonces k [ V ] consiste en polinomios en . ${\displaystyle k[t_{1},\dots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle t_{i}(x)=x_{i}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}).}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V\to k}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$

Si k es infinito, entonces k [ V ] es el álgebra simétrica del espacio dual . ${\displaystyle V^{*}}$

En las aplicaciones, también se define k [ V ] cuando V se define sobre algún subcampo de k (por ejemplo, k es el campo complejo y V es un espacio vectorial real ). La misma definición todavía se aplica.

A lo largo del artículo, para simplificar, se supone que el campo base k es infinito.

Relación con anillo polinomial

Sea el conjunto de todos los polinomios sobre un cuerpo K y B el conjunto de todas las funciones polinómicas en una variable sobre K . Tanto A como B son álgebras sobre K dadas por la multiplicación y adición estándar de polinomios y funciones. Podemos mapear cada una en A a en B por la regla . Una comprobación rutinaria muestra que el mapeo es un homomorfismo de las álgebras A y B . Este homomorfismo es un isomorfismo si y solo si K es un cuerpo infinito. Por ejemplo, si K es un cuerpo finito entonces sea . p es un polinomio distinto de cero en K [ x ], sin embargo para todo t en K , también lo es la función cero y nuestro homomorfismo no es un isomorfismo (y, en realidad, las álgebras no son isomorfas, ya que el álgebra de polinomios es infinita mientras que la de funciones polinómicas es finita). ${\displaystyle A=K[x]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}(t)=f(t)}$ ${\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}}$ ${\displaystyle p(x)=\prod \limits _{t\in K}(x-t)}$ ${\displaystyle p(t)=0}$ ${\displaystyle {\hat {p}}=0}$

Si K es infinito, entonces elijamos un polinomio f tal que . Queremos demostrar que esto implica que . Sean y sean n  +1 elementos distintos de K . Entonces, para y por interpolación de Lagrange , tenemos . Por lo tanto, la aplicación es inyectiva . Dado que esta aplicación es claramente sobreyectiva , es biyectiva y, por lo tanto, un isomorfismo algebraico de A y B . ${\displaystyle {\hat {f}}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \deg f=n}$ ${\displaystyle t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}}$ ${\displaystyle f(t_{i})=0}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}}$

Mapas multilineales simétricos

Sea k un campo infinito de característica cero (o al menos muy grande) y V un espacio vectorial de dimensión finita.

Sea el espacio vectorial de funcionales multilineales que son simétricos; es el mismo para todas las permutaciones de 's. ${\displaystyle S^{q}(V)}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda :\prod _{1}^{q}V\to k}$ ${\displaystyle \lambda (v_{1},\dots ,v_{q})}$ ${\displaystyle v_{i}}$

Cualquier λ en da lugar a una función polinómica homogénea f de grado q : simplemente hacemos Para ver que f es una función polinómica, elijamos una base de V y su dual. Entonces ${\displaystyle S^{q}(V)}$ ${\displaystyle f(v)=\lambda (v,\dots ,v).}$ ${\displaystyle e_{i},\,1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle \lambda (v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}\lambda (e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{q}})t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q})}$,

lo que implica que f es un polinomio en t _i 's.

Por lo tanto, existe un mapa lineal bien definido :

${\displaystyle \phi :S^{q}(V)\to k[V]_{q},\,\phi (\lambda )(v)=\lambda (v,\cdots ,v).}$

Demostramos que es un isomorfismo. Si elegimos una base como antes, cualquier función polinómica homogénea f de grado q se puede escribir como:

${\displaystyle f=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}\cdots t_{i_{q}}}$

donde son simétricos en . Sea ${\displaystyle a_{i_{1}\cdots i_{q}}}$ ${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{q}}$

${\displaystyle \psi (f)(v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\cdots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q}).}$

Claramente, es la identidad; en particular, φ es sobreyectiva. Para ver que φ es inyectiva, supongamos que φ(λ) = 0. Consideremos ${\displaystyle \phi \circ \psi }$

${\displaystyle \phi (\lambda )(t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})=\lambda (t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q},...,t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})}$,

que es cero. El coeficiente de t ₁ t ₂ … t _q en la expresión anterior es q ! por λ( v ₁ , …, v _q ); se deduce que λ = 0.

Nota: φ es independiente de la elección de una base; por lo tanto, la prueba anterior muestra que ψ también es independiente de una base, un hecho que no es obvio a priori .

Ejemplo: Una funcional bilineal da lugar a una forma cuadrática de manera única y cualquier forma cuadrática surge de esta manera.

Expansión de la serie de Taylor

Dada una función suave , localmente, se puede obtener una derivada parcial de la función a partir de su desarrollo en serie de Taylor y, a la inversa, se puede recuperar la función a partir del desarrollo en serie. Este hecho sigue siendo válido para funciones polinómicas en un espacio vectorial. Si f está en k [ V ], entonces escribimos: para x , y en V ,

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x,y)}$

donde g _n (x, y) son homogéneos de grado n en y , y sólo un número finito de ellos son distintos de cero. Entonces, dejemos

${\displaystyle (P_{y}f)(x)=g_{1}(x,y),}$

resultando en el endomorfismo lineal P _y de k [ V ]. Se llama operador de polarización. Entonces tenemos, como prometimos:

Teorema  —  Para cada f en k [V] y x , y en V ,

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}P_{y}^{n}f(x)}$.

Demostración: Primero observamos que ( P _y f ) ( x ) es el coeficiente de t en f ( x + t y ); en otras palabras, dado que g ₀ ( x , y ) = g ₀ ( x , 0) = f ( x ),

${\displaystyle P_{y}f(x)=\left.{d \over dt}\right|_{t=0}f(x+ty)}$

donde el lado derecho es, por definición,

${\displaystyle \left.{f(x+ty)-f(x) \over t}\right|_{t=0}.}$

De esto se deduce el teorema. Por ejemplo, para n  = 2, tenemos:

${\displaystyle P_{y}^{2}f(x)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}P_{y}f(x+t_{1}y)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}\left.{\partial \over \partial t_{2}}\right|_{t_{2}=0}f(x+(t_{1}+t_{2})y)=2!g_{2}(x,y).}$

El caso general es similar. ${\displaystyle \square }$

Álgebra del producto de operadores

Cuando los polinomios no se valoran sobre un cuerpo k , sino sobre alguna álgebra, entonces se puede definir una estructura adicional. Así, por ejemplo, se puede considerar el anillo de funciones sobre GL(n,m) , en lugar de para k = GL(1,m) . ^{[ aclaración necesaria ]} En este caso, se puede imponer un axioma adicional.

El álgebra del producto de operadores es un álgebra asociativa de la forma

${\displaystyle A^{i}(x)B^{j}(y)=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)}$

Se requiere que las constantes de estructura sean funciones de un solo valor, en lugar de secciones de algún fibrado vectorial . Se requiere que los campos (u operadores) abarquen el anillo de funciones . En los cálculos prácticos, generalmente se requiere que las sumas sean analíticas dentro de un radio de convergencia ; típicamente con un radio de convergencia de . Por lo tanto, el anillo de funciones puede tomarse como el anillo de funciones polinómicas. ${\displaystyle f_{k}^{ij}(x,y,z)}$ ${\displaystyle A^{i}(x)}$ ${\displaystyle |x-y|}$

Lo anterior puede considerarse un requisito adicional impuesto al anillo; a veces se lo denomina bootstrap . En física , un caso especial del álgebra del producto de operadores se conoce como expansión del producto de operadores .

Véase también

• Geometría algebraica de espacios proyectivos
• Anillo polinomial
• Álgebra simétrica
• Espacio tangente de Zariski

Notas

Referencias

• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Fundamentos de geometría diferencial, vol. 2 (nueva edición), Wiley-Interscience (publicado en 2004).