El espacio Priestley

En matemáticas , un espacio de Priestley es un espacio topológico ordenado con propiedades especiales. Los espacios de Priestley reciben su nombre de Hilary Priestley, quien los introdujo e investigó. ^[1] Los espacios de Priestley juegan un papel fundamental en el estudio de los retículos distributivos . En particular, existe una dualidad (" dualidad de Priestley " ^[2] ) entre la categoría de espacios de Priestley y la categoría de retículos distributivos acotados. ^[3]^[4]

Definición

Un espacio de Priestley es un espacio topológico ordenado $(X, τ,\leq)$ , es decir, un conjunto $X$ dotado de un orden parcial $\leq$ y una topología $τ$ , que satisface las dos condiciones siguientes:

$(X, τ)$ es compacto .
Si , entonces existe un conjunto abierto y cerrado U $de$ X $tal$ que $x$ $\in$ $U$ e $y$ $\notin$ $U$ . (Esta condición se conoce como el axioma de separación de Priestley ). $\scriptstyle x\,\no \leq \,y$

Propiedades de los espacios de Priestley

Cada espacio de Priestley es Hausdorff . De hecho, dados dos puntos $x, y$ de un espacio de Priestley $(X, τ,\leq)$ , si $x \neq y$ , entonces como $\leq$ es un orden parcial, o bien . Suponiendo, sin pérdida de generalidad, que , (ii) proporciona un conjunto abierto y cerrado $U$ de $X$ tal que $x$ $\in$ $U$ e $y$ $\notin$ $U$ . Por lo tanto, $U$ y $V$ $=$ $X$ $-$ $U$ son subconjuntos abiertos disjuntos de $X$ que separan $a x$ e $y$ . $\scriptstyle x\,\no \leq \,y$ $\scriptstyle y\,\no \leq \,x$ $\scriptstyle x\,\no \leq \,y$
Cada espacio de Priestley es también de dimensión cero ; es decir, cada entorno abierto $U$ de un punto $x$ de un espacio de Priestley $(X, τ,\leq)$ contiene un entorno abierto y cerrado $C$ de $x$ . Para ver esto, se procede de la siguiente manera. Para cada $y \in X - U$ , o bien o . Por el axioma de separación de Priestley, existe un conjunto abierto y cerrado hacia arriba o un conjunto abierto y cerrado hacia abajo que contiene $a x$ y falta $y$ . La intersección de estos entornos abiertos y cerrados de $x$ no cumple con $X$ $-$ $U$ . Por lo tanto, como $X$ es compacto, existe una intersección finita de estos entornos abiertos y cerrados de $x$ faltante en $X$ $-$ $U . Esta intersección finita es el entorno abierto y cerrado$ $C$ deseado de $x$ contenido en $U$ . $\scriptstyle x\,\no \leq \,y$ $\scriptstyle y\,\no \leq \,x$

De ello se deduce que para cada espacio de Priestley $(X, τ,\leq)$ , el espacio topológico $(X, τ)$ es un espacio de Stone ; es decir, es un espacio compacto de Hausdorff de dimensión cero.

A continuación se enumeran algunas otras propiedades útiles de los espacios de Priestley.

Sea $(X, τ,\leq)$ un espacio de Priestley.

(a) Para cada subconjunto cerrado

F

X

, tanto

↑ F = {x \in X : y \leq x para algún y \in F}

como

↓ F = {x \in X : x \leq y para algún y \in F}

son subconjuntos cerrados de

X

(b) Cada conjunto abierto ascendente de

X

es una unión de conjuntos abiertos ascendentes de

X

y cada conjunto abierto descendente de

X

es una unión de conjuntos cerrados descendentes de

X.

X

es una intersección de conjuntos abiertos ascendentes de

X

y cada conjunto cerrado descendente de

X

es una intersección de conjuntos abiertos descendentes de

X.

(d) Los conjuntos ascendentes y descendentes cerrados de

X

forman una subbase para

(X, τ)

(e) Para cada par de subconjuntos cerrados

F

G

X

, si

↑ F \cap ↓ G = \emptyset

, entonces existe un conjunto abierto y cerrado

U

tal que

F \subseteq U

U \cap G = \emptyset

Un morfismo de Priestley de un espacio de Priestley $(X, τ,\leq)$ a otro espacio de Priestley $(X', τ',\leq')$ es una función $f : X \to X'$ que es continua y preserva el orden .

Sea Pries la categoría de espacios de Priestley y morfismos de Priestley.

Conexión con espacios espectrales

Los espacios de Priestley están estrechamente relacionados con los espacios espectrales . Para un espacio de Priestley $(X, τ,\leq)$ , sea $τ u$ la colección de todos los conjuntos abiertos ascendentes de $X$ . De manera similar, sea $τ d$ la colección de todos los conjuntos abiertos descendentes de $X$ .

Teorema: ^[5] Si $(X, τ,\leq)$ es un espacio de Priestley, entonces tanto $(X, τ u)$ como $(X, τ d)$ son espacios espectrales.

Por el contrario, dado un espacio espectral $(X, τ)$ , sea $τ #$ la topología de parches en $X$ ; es decir, la topología generada por la subbase que consiste en subconjuntos abiertos compactos de $(X, τ)$ y sus complementos . Sea también $\leq$ el orden de especialización de $(X, τ)$ .

Teorema: ^[6] Si $(X, τ)$ es un espacio espectral, entonces $(X, τ #,\leq)$ es un espacio de Priestley.

De hecho, esta correspondencia entre espacios de Priestley y espacios espectrales es funcional y produce un isomorfismo entre Pries y la categoría Spec de espacios espectrales y mapas espectrales .

Conexión con espacios bitopológicos

Los espacios de Priestley también están estrechamente relacionados con los espacios bitopológicos .

Teorema: ^[7] Si $(X, τ,\leq)$ es un espacio de Priestley, entonces $(X, τ u, τ d)$ es un espacio de Stone por pares . Por el contrario, si $(X, τ 1, τ 2)$ es un espacio de Stone por pares, entonces $(X, τ,\leq)$ es un espacio de Priestley, donde $τ$ es la unión de $τ 1$ y $τ 2$ y $\leq$ es el orden de especialización de $(X, τ 1)$ .

La correspondencia entre los espacios de Priestley y los espacios de Stone por pares es funcional y produce un isomorfismo entre la categoría Pries de los espacios de Priestley y los morfismos de Priestley y la categoría PStone de los espacios de Stone por pares y los mapas bicontinuos .

Así, se tienen los siguientes isomorfismos de categorías:

$\mathbf {Espec.} \cong \mathbf {Precio} \cong \mathbf {Piedra de salida}$

Una de las principales consecuencias de la teoría de la dualidad para los reticulados distributivos es que cada una de estas categorías es dualmente equivalente a la categoría de reticulados distributivos acotados .

Véase también

Notas

^ Priestley, (1970).
^ Cignoli, R.; Lafalce, S.; Petrovich, A. (septiembre de 1991). "Observaciones sobre la dualidad de Priestley para redes distributivas". Orden . 8 (3): 299–315. doi :10.1007/BF00383451.
^ De Cornualles, (1975).
^ Bezhanishvili y otros (2010)
^ Cornish, (1975). Bezhanishvili y otros (2010).
^ Cornish, (1975). Bezhanishvili y otros (2010).
^ Bezhanishvili y otros. (2010).

Referencias

Priestley, HA (1970). "Representación de redes distributivas mediante espacios de Stone ordenados". Bull. London Math. Soc . 2 (2): 186–190. doi :10.1112/blms/2.2.186.
Priestley, HA (1972). "Espacios topológicos ordenados y la representación de redes distributivas" (PDF) . Proc. London Math. Soc . 24 (3): 507–530. doi :10.1112/plms/s3-24.3.507. hdl :10338.dmlcz/134149.
Cornish, WH (1975). "Sobre el dual de H. Priestley de la categoría de redes distributivas acotadas". Mat. Vesnik . 12 (27): 329–332.
Hochster, M. (1969). "Estructura ideal prima en anillos conmutativos". Trans. Amer. Math. Soc . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X .
Bezhanishvili, G.; Bezhanishvili, N.; Gabelaia, D.; Kurz, A (2010). "Dualidad bitopológica para redes distributivas y álgebras de Heyting" (PDF) . Estructuras matemáticas en informática . 20 .
Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Espacios espectrales . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/9781316543870. ISBN . 978-1-107-14672-3.