Espacio bitopológico

Conjunto dotado de dos topologías

En matemáticas , un espacio bitopológico es un conjunto dotado de dos topologías . Normalmente, si el conjunto es y las topologías son y entonces el espacio bitopológico se denomina . La noción fue introducida por JC Kelly en el estudio de la cuasimetría , es decir, funciones de distancia que no necesitan ser simétricas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\sigma ,\tau )}$

Continuidad

Un mapa de un espacio bitopológico a otro espacio bitopológico se denomina continuo o, a veces, continuo por pares si es continuo tanto como mapa de a como como mapa de a . ${\displaystyle \scriptstyle f:X\to X'}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X',\tau _{1}',\tau _{2}')}$ ${\displaystyle \scriptstyle f}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X',\tau _{1}')}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X',\tau _{2}')}$

Variantes bitopológicas de propiedades topológicas

En correspondencia con propiedades bien conocidas de los espacios topológicos, existen versiones para espacios bitopológicos.

• Un espacio bitopológico es compacto por pares si cada cubierta de con , contiene una subcubierta finita. En este caso, debe contener al menos un miembro de y al menos un miembro de ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$ ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle X}$ ${\displaystyle \scriptstyle U_{i}\in \tau _{1}\cup \tau _{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$
• Un espacio bitopológico es Hausdorff por pares si para dos puntos distintos existen y disjuntos con y . ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$ ${\displaystyle \scriptstyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \scriptstyle U_{1}\in \tau _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle U_{2}\in \tau _{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle x\in U_{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle y\in U_{2}}$
• Un espacio bitopológico es cero-dimensional por pares si los abiertos en los que están cerrados en forman una base para , y los abiertos en los que están cerrados en forman una base para . ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$ ${\displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{2})}$
• Un espacio bitopológico se llama binormal si para cada conjunto -cerrado y -cerrado hay conjuntos -abiertos y -abiertos tales que , y ${\displaystyle \scriptstyle (X,\sigma ,\tau )}$ ${\displaystyle \scriptstyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle F_{\tau }}$ ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$ ${\displaystyle \scriptstyle G_{\sigma }}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle G_{\tau }}$ ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$ ${\displaystyle \scriptstyle F_{\sigma }\subseteq G_{\tau }}$ ${\displaystyle \scriptstyle F_{\tau }\subseteq G_{\sigma }}$ ${\displaystyle \scriptstyle G_{\sigma }\cap G_{\tau }=\emptyset .}$

Notas

Referencias

• Kelly, JC (1963). Espacios bitopológicos. Proc. London Math. Soc. , 13(3) 71–89.
• Reilly, IL (1972). Sobre las propiedades de separación bitopológica. Nanta Math. , (2) 14–25.
• Reilly, IL (1973). Espacios bitopológicos de dimensión cero. Indag. Math. , (35) 127–131.
• Salbany, S. (1974). Espacios bitopológicos, compactificaciones y completaciones . Departamento de Matemáticas, Universidad de Ciudad del Cabo, Ciudad del Cabo.
• Kopperman, R. (1995). Asimetría y dualidad en topología. Topology Appl. , 66(1) 1--39.
• Fletcher. P, Hoyle HB III y Patty CW (1969). La comparación de topologías. Duke Math. J. , 36(2) 325–331.
• Dochviri, I., Noiri T. (2015). Sobre algunas propiedades de espacios bitopológicos estables. Topol. Proc. , 45 111–119.