Momento angular relativista

Momento angular en relatividad especial y general

En física , el momento angular relativista se refiere a los formalismos matemáticos y conceptos físicos que definen el momento angular en la relatividad especial (RE) y la relatividad general (RG). La cantidad relativista es sutilmente diferente de la cantidad tridimensional de la mecánica clásica .

El momento angular es una cantidad dinámica importante derivada de la posición y el momento. Es una medida del movimiento rotacional de un objeto y de la resistencia a los cambios en su rotación. Además, de la misma manera que la conservación del momento corresponde a la simetría traslacional, la conservación del momento angular corresponde a la simetría rotacional: la conexión entre las simetrías y las leyes de conservación se realiza mediante el teorema de Noether . Si bien estos conceptos se descubrieron originalmente en la mecánica clásica , también son ciertos y significativos en la relatividad especial y general. En términos de álgebra abstracta, la invariancia del momento angular, el cuadrimpulso y otras simetrías en el espacio-tiempo se describen mediante el grupo de Lorentz o, de manera más general, el grupo de Poincaré .

Las magnitudes físicas que permanecen separadas en la física clásica se combinan naturalmente en la relatividad especial y la relatividad general al hacer cumplir los postulados de la relatividad. En particular, las coordenadas de espacio y tiempo se combinan en la ecuación de cuatro posiciones , y la energía y el momento se combinan en la ecuación de cuatro momentos . Los componentes de estos cuatro vectores dependen del marco de referencia utilizado y cambian bajo transformaciones de Lorentz a otros marcos inerciales o marcos acelerados .

El momento angular relativista es menos obvio. La definición clásica de momento angular es el producto vectorial de la posición x con el momento p para obtener un pseudovector x × p , o alternativamente como el producto exterior para obtener un tensor antisimétrico de segundo orden x ∧ p . ¿Con qué se combina esto, si es que se combina con algo? Hay otra cantidad vectorial que no se discute a menudo: es el momento de masa variable en el tiempo vector polar ( no el momento de inercia ) relacionado con el impulso del centro de masa del sistema, y ​​​​este se combina con el pseudovector de momento angular clásico para formar un tensor antisimétrico de segundo orden, exactamente de la misma manera que el vector polar del campo eléctrico se combina con el pseudovector del campo magnético para formar el tensor antisimétrico del campo electromagnético. Para distribuciones de masa-energía rotatorias (como giroscopios , planetas , estrellas y agujeros negros ) en lugar de partículas puntuales, el tensor de momento angular se expresa en términos del tensor de tensión-energía del objeto rotatorio.

Solo en la relatividad especial, en el marco de reposo de un objeto giratorio, existe un momento angular intrínseco análogo al "espín" en la mecánica cuántica y la mecánica cuántica relativista , aunque para un cuerpo extendido en lugar de una partícula puntual. En la mecánica cuántica relativista, las partículas elementales tienen espín y esto es una contribución adicional al operador de momento angular orbital , lo que produce el operador tensorial de momento angular total . En cualquier caso, la adición del "espín" intrínseco al momento angular orbital de un objeto se puede expresar en términos del pseudovector de Pauli-Lubanski . ^[1]

Definiciones

El momento 3-angular como bivector (elemento plano) y vector axial , de una partícula de masa m con posición 3 instantánea x y momento 3- p .

Momento angular orbital 3D

Como referencia y antecedente, se dan dos formas estrechamente relacionadas de momento angular.

En mecánica clásica , el momento angular orbital de una partícula con vector de posición tridimensional instantáneo x = ( x , y , z ) y vector de momento p = ( p _x , p _y , p _z ) , se define como el vector axial que tiene tres componentes, que se dan sistemáticamente por permutaciones cíclicas de direcciones cartesianas (por ejemplo, cambiar x a y , y a z , z a x , repetir) $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}}$$

Una definición relacionada es concebir el momento angular orbital como un elemento plano . Esto se puede lograr reemplazando el producto vectorial por el producto exterior en el lenguaje del álgebra exterior , y el momento angular se convierte en un tensor antisimétrico de segundo orden contravariante ^[2] $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} }$$

o escribiendo x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = ( x , y , z ) y el vector de momento p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z ) , los componentes se pueden abreviar de forma compacta en notación de índice tensorial donde los índices i y j toman los valores 1, 2, 3. Por otro lado, los componentes se pueden mostrar sistemáticamente de forma completa en una matriz antisimétrica de 3 × 3 $${\displaystyle L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Esta cantidad es aditiva y, para un sistema aislado, el momento angular total de un sistema se conserva.

Momento de masa dinámico

En mecánica clásica, la cantidad tridimensional para una partícula de masa m que se mueve con velocidad u ^{[2] [3]} tiene las dimensiones de momento de masa – longitud multiplicada por masa. Es igual a la masa de la partícula o sistema de partículas multiplicada por la distancia desde el origen espacial hasta el centro de masa (COM) en el origen temporal ( t = 0 ), medida en el marco de laboratorio . No existe un símbolo universal, ni siquiera un nombre universal, para esta cantidad. Diferentes autores pueden denotarla por otros símbolos si los hay (por ejemplo μ ), pueden designar otros nombres y pueden definir N como el negativo de lo que se usa aquí. La forma anterior tiene la ventaja de que se asemeja a la familiar transformación galileana para la posición, que a su vez es la transformación de impulso no relativista entre marcos inerciales. $${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p} }$$

Este vector también es aditivo: para un sistema de partículas, la suma vectorial es la resultante donde la posición del centro de masa del sistema y la velocidad y la masa total son respectivamente $${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{aligned}}}$$

En un sistema aislado, N se conserva en el tiempo, lo que se puede comprobar derivando con respecto al tiempo. El momento angular L es un pseudovector, pero N es un vector "ordinario" (polar) y, por lo tanto, es invariante en caso de inversión.

El N _tot resultante para un sistema de múltiples partículas tiene la visualización física de que, cualquiera que sea el movimiento complicado de todas las partículas, se mueven de tal manera que el COM del sistema se mueve en línea recta. Esto no significa necesariamente que todas las partículas "sigan" al COM, ni que todas las partículas se muevan casi en la misma dirección simultáneamente, solo que el movimiento colectivo de las partículas está restringido en relación con el centro de masas.

En relatividad especial, si la partícula se mueve con velocidad u en relación con el marco de referencia del laboratorio, entonces donde es el factor de Lorentz y m es la masa (es decir, la masa en reposo) de la partícula. El momento de masa relativista correspondiente en términos de m , u , p , E , en el mismo marco de referencia del laboratorio es $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},&\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).}$$

Los componentes cartesianos son $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}}$$

Relatividad especial

Transformaciones de coordenadas para un impulso en la dirección x

Considérese un sistema de coordenadas F′ que se mueve con velocidad v = ( v , 0, 0) con respecto a otro sistema F, a lo largo de la dirección de los ejes coincidentes xx′ . Los orígenes de los dos sistemas de coordenadas coinciden en los instantes t = t ′ = 0 . Las componentes de masa-energía E = mc ² y momento p = ( p _x , p _y , p _z ) de un objeto, así como las coordenadas de posición x = ( x , y , z ) y el tiempo t en el sistema F se transforman en E ′ = m ′ c ² , p ′ = ( p _x ′, p _y ′, p _z ′) , x ′ = ( x ′, y ′, z ′) , y t ′ en F′ según las transformaciones de Lorentz $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}}$$

El factor de Lorentz se aplica aquí a la velocidad v , la velocidad relativa entre los cuadros. Esta no es necesariamente la misma que la velocidad u de un objeto.

Para el momento orbital 3-angular L como pseudovector, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}}$$

Derivación

Para el componente x, el componente y y el componente z $${\displaystyle L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}}$$

En los segundos términos de L _y ′ y L _z ′ , los componentes y y z del producto vectorial v × N se pueden inferir reconociendo permutaciones cíclicas de v _x = v y v _y = v _z = 0 con los componentes de N , $${\displaystyle {\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}}$$

Ahora, L _x es paralela a la velocidad relativa v , y los otros componentes L _y y L _z son perpendiculares a v . La correspondencia paralelo-perpendicular se puede facilitar dividiendo todo el pseudovector de momento angular de 3 componentes paralelos (∥) y perpendiculares (⊥) a v , en cada marco, $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.}$$

Luego, las ecuaciones de los componentes se pueden recopilar en ecuaciones pseudovectoriales. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, las componentes del momento angular a lo largo de la dirección del movimiento no cambian, mientras que las perpendiculares sí lo hacen. A diferencia de las transformaciones del espacio y el tiempo, el tiempo y las coordenadas espaciales cambian a lo largo de la dirección del movimiento, mientras que las perpendiculares no lo hacen.

Estas transformaciones son verdaderas para todo v , no sólo para el movimiento a lo largo de los ejes xx′ .

Considerando L como tensor, obtenemos un resultado similar donde $${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}}$$

El aumento del momento de masa dinámico a lo largo de la dirección x es $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}}$$

Derivación

Para el componente x, el componente y y el componente z $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}}$$

Recopilando componentes paralelas y perpendiculares como antes $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}}$$

Nuevamente, los componentes paralelos a la dirección del movimiento relativo no cambian, los perpendiculares sí cambian.

Transformaciones vectoriales para un impulso en cualquier dirección

Hasta ahora, estas son solo las descomposiciones paralelas y perpendiculares de los vectores. Las transformaciones en los vectores completos se pueden construir a partir de ellas de la siguiente manera (en este documento, L es un pseudovector para mayor concreción y compatibilidad con el álgebra vectorial).

Introduzca un vector unitario en la dirección de v , dado por n = v / v . Las componentes paralelas están dadas por la proyección vectorial de L o N en n mientras que la componente perpendicular por el rechazo vectorial de L o N desde n y las transformaciones son o restableciendo v = v n , $${\displaystyle \mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Éstas son muy similares a las transformaciones de Lorentz del campo eléctrico E y del campo magnético B , véase Electromagnetismo clásico y relatividad especial .

Alternativamente, a partir de las transformaciones vectoriales de Lorentz de tiempo, espacio, energía y momento, para un impulso con velocidad v , al insertarlas en las definiciones se obtienen las transformaciones. $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{aligned}}}$$

Derivación directa de transformaciones vectoriales

El momento angular orbital en cada cuadro se obtiene tomando el producto vectorial de las transformaciones. $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}}$$

Usando la regla del triple producto obtenemos y junto con la definición de N tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]}$$

Restableciendo el vector unitario n , $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]}$$

Dado que en la transformación hay un producto vectorial a la izquierda con n , entonces $${\displaystyle \mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$

Momento angular 4d como bivector

En la mecánica relativista, el impulso COM y el momento angular orbital tridimensional de un objeto giratorio se combinan en un bivector de cuatro dimensiones en términos de la X de cuatro posiciones y el P de cuatro momentos del objeto ^{[4] [5]} $${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$$

En componentes que son seis cantidades independientes en total. Dado que los componentes de X y P dependen del marco, también lo es M. Tres componentes son los del conocido momento angular orbital clásico del espacio tridimensional, y los otros tres son el momento de masa relativista, multiplicado por − c . El tensor es antisimétrico; $${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$$ $${\displaystyle M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}}$$ $${\displaystyle M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}}$$ $${\displaystyle M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }}$$

Los componentes del tensor se pueden mostrar sistemáticamente como una matriz en la que la última matriz es una matriz de bloques formada al tratar N como un vector fila cuya matriz se transpone al vector columna N ^T , y x ∧ p como una matriz antisimétrica 3 × 3 . Las líneas se insertan simplemente para mostrar dónde están los bloques. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}$$

Nuevamente, este tensor es aditivo: el momento angular total de un sistema es la suma de los tensores de momento angular de cada constituyente del sistema: $${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.}$$

Cada uno de los seis componentes forma una cantidad conservada cuando se agrega con los componentes correspondientes de otros objetos y campos.

El tensor de momento angular M es de hecho un tensor, los componentes cambian de acuerdo con una matriz de transformación de Lorentz Λ, como se ilustra de la manera habitual mediante la notación de índice tensorial donde, para un impulso (sin rotaciones) con velocidad normalizada β = v / c , los elementos de la matriz de transformación de Lorentz son y los componentes covariantes β _i y contravariantes β ⁱ de β son los mismos ya que estos son solo parámetros. $${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}}$$

En otras palabras, se pueden transformar mediante Lorentz las cuatro posiciones y los cuatro momentos por separado, y luego antisimetrizar esos componentes recién encontrados para obtener el tensor de momento angular en el nuevo marco.

Transformaciones vectoriales derivadas de las transformaciones tensoriales

La transformación de los componentes de impulso son

$${\displaystyle {\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}}$$En cuanto al momento angular orbital $${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\end{aligned}}}$$

Las expresiones en las entradas de la transformación de Lorentz se dan o en forma vectorial, dividiendo por c o restableciendo β = v / c , y o convirtiendo a forma pseudovectorial en notación vectorial o restableciendo β = v / c , $${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} }$$ $${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n}\right)\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)}$$

Rotación de cuerpo rígido

Para una partícula que se mueve en una curva, el producto vectorial de su velocidad angular ω (un pseudovector) y la posición x da su velocidad tangencial. $${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$$

que no puede exceder una magnitud de c , ya que en la retícula retícula la velocidad de traslación de cualquier objeto masivo no puede exceder la velocidad de la luz c . Matemáticamente, esta restricción es 0 ≤ | u | < c , las barras verticales indican la magnitud del vector. Si el ángulo entre ω y x es θ (se supone que no es cero, de lo contrario u sería cero, lo que corresponde a que no hay movimiento en absoluto), entonces | u | = | ω | | x | sen θ y la velocidad angular está restringida por $${\displaystyle 0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}}$$

Por lo tanto, la velocidad angular máxima de cualquier objeto masivo depende del tamaño del objeto. Para un | x | dado, el límite superior mínimo se produce cuando ω y x son perpendiculares, de modo que θ = π /2 y sen θ = 1 .

Para un cuerpo rígido que gira con una velocidad angular ω , u es la velocidad tangencial en un punto x dentro del objeto. Para cada punto del objeto, existe una velocidad angular máxima.

La velocidad angular (pseudovector) está relacionada con el momento angular (pseudovector) a través del tensor de momento de inercia I (el punto · denota contracción del tensor en un índice). El momento angular relativista también está limitado por el tamaño del objeto. $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}}$$

El espín en la relatividad especial

Cuatro vueltas

Una partícula puede tener un momento angular "incorporado" independiente de su movimiento, llamado espín y denotado como s . Es un pseudovector tridimensional como el momento angular orbital L .

El espín tiene un momento magnético de espín correspondiente , por lo que si la partícula está sujeta a interacciones (como campos electromagnéticos o acoplamiento espín-órbita ), la dirección del vector de espín de la partícula cambiará, pero su magnitud será constante.

La extensión a la relatividad especial es sencilla. ^[6] Para algún marco de laboratorio F, sea F′ el marco en reposo de la partícula y supongamos que la partícula se mueve con una velocidad 3-constante u . Entonces F′ se impulsa con la misma velocidad y las transformaciones de Lorentz se aplican como de costumbre; es más conveniente usar β = u / c . Como un cuatrivector en relatividad especial, el cuatriespín S generalmente toma la forma habitual de un cuatrivector con un componente temporal s _t y componentes espaciales s , en el marco de laboratorio, aunque en el marco en reposo de la partícula, se define de modo que el componente temporal sea cero y los componentes espaciales sean los del vector de espín real de la partícula, en la notación aquí s ′, por lo que en el marco de la partícula $${\displaystyle \mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})}$$ $${\displaystyle \mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)}$$

La equiparación de normas conduce a la relación invariante, de modo que si la magnitud del espín se da en el marco de reposo de la partícula y en el marco de laboratorio de un observador, la magnitud del componente temporal s _t también se da en el marco de laboratorio. $${\displaystyle s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '}$$

Transformaciones vectoriales derivadas de las transformaciones tensoriales

Los componentes potenciados de los cuatro giros en relación con el marco del laboratorio son $${\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}$$

Aquí γ = γ ( u ) . S ′ está en el marco de reposo de la partícula, por lo que su componente temporal es cero, S ′ ⁰ = 0 , no S ⁰ . Además, el primero es equivalente al producto interno de la velocidad cuaternaria (dividida por c ) y el espín cuaternario. La combinación de estos hechos conduce a que es un invariante. Luego, esto combinado con la transformación en el componente temporal conduce al componente percibido en el marco de laboratorio; $${\displaystyle {S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$ $${\displaystyle S^{0}=\beta _{i}S^{i}}$$

Las relaciones inversas son $${\displaystyle {\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}}$$

La restricción covariante del giro es la ortogonalidad al vector de velocidad, $${\displaystyle U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$

En notación de 3 vectores para mayor explicitud, las transformaciones son $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}}$$

Las relaciones inversas son los componentes del espín en el marco de referencia del laboratorio, calculados a partir de los del marco de referencia en reposo de la partícula. Aunque el espín de la partícula es constante para una partícula dada, parece ser diferente en el marco de referencia del laboratorio. $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}}$$

El pseudovector de Pauli-Lubanski

El pseudovector de Pauli-Lubanski se aplica tanto a partículas masivas como a partículas sin masa . $${\displaystyle S_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$$

Descomposición espín-orbital

En general, el tensor de momento angular total se divide en un componente orbital y un componente de espín . Esto se aplica a una partícula, una distribución de masa-energía-momento o un campo. $${\displaystyle J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.}$$

Momento angular de una distribución de masa-energía-momento

Momento angular del tensor masa-energía-momento

El siguiente es un resumen de MTW . ^[7] En todo el texto, para simplificar, se suponen coordenadas cartesianas. En relatividad especial y general, una distribución de masa-energía-momento, por ejemplo, un fluido o una estrella, se describe mediante el tensor de tensión-energía T ^βγ (un campo tensorial de segundo orden que depende del espacio y el tiempo). Dado que T ⁰⁰ es la densidad de energía, T ^{j 0} para j = 1, 2, 3 es el componente j del momento 3d del objeto por unidad de volumen, y T ^ij son componentes del tensor de tensión que incluyen las tensiones cortantes y normales, la densidad del momento angular orbital alrededor del 4-vector de posición X ^β está dada por un tensor de tercer orden. $${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }}$$

Esto es antisimétrico en α y β . En la relatividad especial y general, T es un tensor simétrico, pero en otros contextos (por ejemplo, la teoría cuántica de campos), puede que no lo sea.

Sea Ω una región del espacio-tiempo 4d. El límite es una hipersuperficie del espacio-tiempo 3d ("volumen de la superficie del espacio-tiempo" en oposición a "área de la superficie espacial"), denotada ∂Ω donde "∂" significa "límite". Integrando la densidad del momento angular sobre una hipersuperficie del espacio-tiempo 3d se obtiene el tensor del momento angular alrededor de X , donde dΣ _γ es la forma 1 del volumen que desempeña el papel de un vector unitario normal a una superficie 2d en el espacio euclidiano 3d ordinario. La integral se toma sobre las coordenadas X , no X . La integral dentro de una superficie similar al espacio de tiempo constante es que, en conjunto, forman el tensor del momento angular. $${\displaystyle M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }}$$ $${\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz}$$

Momento angular alrededor del centro de masa

Existe un momento angular intrínseco en el marco del centro de masas, en otras palabras, el momento angular en torno a cualquier evento en la línea de palabra del centro de masas del objeto. Como T ⁰⁰ es la densidad de energía del objeto, las coordenadas espaciales del centro de masas están dadas por $${\displaystyle \mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)}$$ $${\displaystyle X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz}$$

Al establecer Y = X _COM se obtiene la densidad del momento angular orbital alrededor del centro de masa del objeto.

Conservación del momento angular

La conservación de la energía-momento se da en forma diferencial por la ecuación de continuidad donde ∂ _γ es el gradiente cuádruple . (En coordenadas no cartesianas y en relatividad general, esto se reemplazaría por la derivada covariante ). La conservación del momento angular total se da por otra ecuación de continuidad $${\displaystyle \partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0}$$ $${\displaystyle \partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0}$$

Las ecuaciones integrales utilizan el teorema de Gauss en el espacio-tiempo. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}}$$

Par en la relatividad especial

El torque que actúa sobre una partícula puntual se define como la derivada del tensor de momento angular dado anteriormente con respecto al tiempo propio: ^{[8] [9]} o en componentes del tensor: donde F es la fuerza 4d que actúa sobre la partícula en el evento X . Al igual que con el momento angular, el torque es aditivo, por lo que para un objeto extendido uno suma o integra sobre la distribución de masa. $${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$$ $${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$$

El momento angular como generador de impulsos y rotaciones del espacio-tiempo

El tensor de momento angular es el generador de impulsos y rotaciones para el grupo de Lorentz . ^{[10] [11]} Los impulsos de Lorentz se pueden parametrizar mediante la rapidez y un vector unitario 3d n que apunta en la dirección del impulso, que se combinan en el "vector de rapidez" donde β = v / c es la velocidad del movimiento relativo dividida por la velocidad de la luz. Las rotaciones espaciales se pueden parametrizar mediante la representación eje-ángulo , el ángulo θ y un vector unitario a que apunta en la dirección del eje, que se combinan en un "vector eje-ángulo". $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta }$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a} }$$

Cada vector unitario tiene solo dos componentes independientes, el tercero se determina a partir de la magnitud unitaria. En total, hay seis parámetros del grupo de Lorentz: tres para rotaciones y tres para impulsos. El grupo de Lorentz (homogéneo) es de seis dimensiones.

Los generadores de impulso K y los generadores de rotación J se pueden combinar en un generador para transformaciones de Lorentz; M el tensor de momento angular antisimétrico, con componentes y, correspondientemente, los parámetros de impulso y rotación se recopilan en otra matriz tetradimensional antisimétrica ω , con entradas: donde se ha utilizado la convención de suma sobre los índices repetidos i, j, k para evitar signos de suma torpes. La transformación general de Lorentz se da entonces por la matriz exponencial y la convención de suma se ha aplicado a los índices matriciales repetidos α y β . $${\displaystyle M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.}$$ $${\displaystyle \omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,}$$ $${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

La transformación general de Lorentz Λ es la ley de transformación para cualesquiera cuatro vectores A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ), dando los componentes de este mismo 4-vector en otro marco de referencia inercial $${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A} }$$

El tensor de momento angular forma 6 de los 10 generadores del grupo de Poincaré , los otros cuatro son los componentes del cuadrimportante para las traslaciones del espacio-tiempo.

Momento angular en la relatividad general

El momento angular de las partículas de prueba en un fondo suavemente curvado es más complicado en RG pero se puede generalizar de una manera sencilla. Si el Lagrangiano se expresa con respecto a las variables angulares como las coordenadas generalizadas , entonces los momentos angulares son las derivadas funcionales del Lagrangiano con respecto a las velocidades angulares . Referidas a las coordenadas cartesianas, estas suelen estar dadas por los términos de corte fuera de la diagonal de la parte espacial del tensor de tensión-energía . Si el espacio-tiempo admite un campo vectorial de Killing tangente a un círculo, entonces se conserva el momento angular sobre el eje.

También se desea estudiar el efecto de una masa compacta y rotatoria sobre el espacio-tiempo que la rodea. La solución prototipo es la métrica de Kerr , que describe el espacio-tiempo alrededor de un agujero negro axialmente simétrico . Obviamente, es imposible dibujar un punto en el horizonte de sucesos de un agujero negro de Kerr y observarlo girar alrededor. Sin embargo, la solución admite una constante del sistema que actúa matemáticamente de manera similar a un momento angular.

Véase también

• Precesión de Thomas  – Corrección relativista
• Momento angular de la luz  : magnitud física transportada en fotones
• Problema de los dos cuerpos en la relatividad general
• Mecánica relativista  : teoría del movimiento y fuerzas para objetos cercanos a la velocidad de la luz
• Ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon  – Ecuación de la relatividad general

Referencias

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2. R. Penrose (2005). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. Pág. 433. ISBN 978-0-09-944068-0.Penrose incluye un factor de 2 en el producto de cuña, otros autores también pueden hacerlo.
3. M. Fayngold (2008). Relatividad especial y cómo funciona. John Wiley & Sons . pág. 138. ISBN 978-3-527-40607-4.
4. R. Penrose (2005). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. Págs. 437-438, 566-569. ISBN. 978-0-09-944068-0. Nota: Algunos autores, incluido Penrose, utilizan letras latinas en esta definición, aunque es convencional utilizar índices griegos para vectores y tensores en el espacio-tiempo.
5. M. Fayngold (2008). Relatividad especial y cómo funciona. John Wiley & Sons. págs. 137-139. ISBN 978-3-527-40607-4.
6. Jackson, JD (1975) [1962]. "Capítulo 11" . Electrodinámica clásica (2.ª ed.). John Wiley & Sons . pp. 556–557. ISBN 0-471-43132-X.Notación de Jackson: S (espín en F, marco de referencia de laboratorio), s (espín en F′, marco de referencia en reposo de la partícula), S ⁰ (componente temporal en el marco de referencia de laboratorio), S′ ⁰ = 0 (componente temporal en el marco de referencia en reposo de la partícula), sin símbolo para 4-espín como 4-vector
7. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co., págs. 156-159, §5.11. ISBN 0-7167-0344-0.
8. S. Aranoff (1969). "Par y momento angular en un sistema en equilibrio en relatividad especial". American Journal of Physics . 37 (4): 453–454. Bibcode :1969AmJPh..37..453A. doi :10.1119/1.1975612.Este autor utiliza T para torque, aquí utilizamos Gamma Γ mayúscula ya que T se reserva con mayor frecuencia para el tensor de tensión-energía .
9. S. Aranoff (1972). "Equilibrio en la relatividad especial" (PDF) . Nuovo Cimento . 10 (1): 159. Bibcode :1972NCimB..10..155A. doi :10.1007/BF02911417. S2CID  117291369. Archivado desde el original (PDF) el 28 de marzo de 2012 . Consultado el 27 de octubre de 2013 .
10. E. Abers (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. págs. 11, 104, 105, 410–411. ISBN 978-0-13-146100-0.
11. HL Berk; K. Chaicherdsakul; T. Udagawa (2001). "El operador de transformación de Lorentz homogéneo adecuado eL = e− ω·S − ξ·K, ¿hacia dónde va? ¿Cuál es el giro?" (PDF) . American Journal of Physics . 69 (996). doi :10.1119/1.1371919.

• C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "Centro de masa en relatividad especial y general y su papel en una descripción efectiva del espacio-tiempo". J. Phys. Conf. Ser . 174 (1). México: 012026. arXiv : 0901.3349 . Código Bibliográfico :2009JPhCS.174a2026C. doi :10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID  17734387.
• UE Schroder (1990). Relatividad especial. Serie de notas de clase sobre física. Vol. 33. World Scientific . pág. 139. ISBN. 981-02-0132-X.

Lectura adicional

Relatividad especial

• R. Torretti (1996). Relatividad y geometría. Serie Dover Books on Physics. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-69046-6.

Relatividad general

• L. Blanchet; A. Spallicci; B. Whiting (2011). Masa y movimiento en la relatividad general. Teorías fundamentales de la física. Vol. 162. Springer. pág. 87. ISBN 978-90-481-3015-3.
• M. Ludvigsen (1999). Relatividad general: un enfoque geométrico. Cambridge University Press . pág. 77. ISBN. 0-521-63976-X.
• N. Ashby, DF Bartlett, W. Wyss (1990). Relatividad general y gravitación 1989: Actas de la 12.ª Conferencia internacional sobre relatividad general y gravitación. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38428-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• BL Hu; MP Ryan; MP Ryan; CV Vishveshwara (2005). Directions in General Relativity: Volume 1: Proceedings of the 1993. Directions in General Relativity: Proceedings of the 1993 International Symposium, Maryland: Papers in Honor of Charles Misner. Vol. 1. Cambridge University Press. pág. 347. ISBN 0-521-02139-1.
• A. Papapetrou (1974). Lecciones sobre relatividad general. Springer. ISBN 90-277-0514-3.

Enlaces externos

• N. Menicucci (2001). "Momento angular relativista" (PDF) .
• «Relatividad especial» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 4 de noviembre de 2013. Consultado el 30 de octubre de 2013 .