Pureza (mecánica cuántica)

En mecánica cuántica , y especialmente en teoría de la información cuántica , la pureza de un estado cuántico normalizado es un escalar definido como donde está la matriz de densidad del estado y es la operación de traza . La pureza define una medida sobre los estados cuánticos, dando información sobre cuánto está mezclado un estado . $${\displaystyle \gamma \,\equiv \,\operatorname {tr} (\rho ^{2})}$$ ${\displaystyle \rho \,}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$

Propiedades matemáticas

La pureza de un estado cuántico normalizado satisface , ^[1] donde está la dimensión del espacio de Hilbert sobre el cual se define el estado. El límite superior se obtiene mediante y (ver traza ). ${\displaystyle {\frac {1}{d}}\leq \gamma \leq 1\,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho )=1\,}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})\leq \operatorname {tr} (\rho )\,}$

Si es una proyección que define un estado puro, entonces el límite superior está saturado: (ver Proyecciones ). El límite inferior se obtiene por el estado completamente mezclado, representado por la matriz . ${\displaystyle \rho \,}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=\operatorname {tr} (\rho )=1\,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{d}}I_{d}\,}$

La pureza de un estado cuántico se conserva bajo transformaciones unitarias que actúan sobre la matriz de densidad en la forma , donde U es una matriz unitaria. Específicamente, se conserva bajo el operador de evolución temporal , donde H es el operador hamiltoniano . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \rho \mapsto U\rho U^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{{\frac {-i}{\hbar }}H(t-t_{0})}\,}$

Significado físico

Un estado cuántico puro se puede representar como un único vector en el espacio de Hilbert. En la formulación de la matriz de densidad, un estado puro está representado por la matriz. Sin embargo, un estado mixto no se puede representar de esta manera, sino que se representa mediante una combinación convexa de estados puros para la normalización. El parámetro de pureza está relacionado con los coeficientes: si solo un coeficiente es igual a 1, el estado es puro. En efecto, la pureza es 1/ d cuando el estado está completamente mezclado, es decir, donde están d los vectores ortonormales que constituyen una base del espacio de Hilbert. ^[3] ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle \rho _{\text{pure}}=|\psi \rangle \langle \psi |.}$$ $${\displaystyle \rho _{\text{mixed}}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$$ ${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$ $${\displaystyle \rho _{\text{completely mixed}}={\frac {1}{d}}\sum _{i=1}^{d}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|={\frac {1}{d}}I_{d},}$$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

representación geométrica

En la esfera de Bloch , los estados puros están representados por un punto en la superficie de la esfera, mientras que los estados mixtos están representados por un punto interior. Por tanto, la pureza de un estado puede visualizarse como el grado en que el punto está cerca de la superficie de la esfera.

Por ejemplo, el estado completamente mezclado de un solo qubit está representado por el centro de la esfera, por simetría. ${\textstyle {\frac {1}{2}}I_{2}\,}$

Se puede obtener una intuición gráfica de pureza observando la relación entre la matriz de densidad y la esfera de Bloch, donde es el vector que representa el estado cuántico (sobre o dentro de la esfera), y es el vector de las matrices de Pauli . $${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right),}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

Dado que las matrices de Pauli no tienen rastros, aún se cumple que tr( ρ ) = 1 . Sin embargo, en virtud de esto concuerda con el hecho de que sólo los estados en la superficie de la esfera misma son puros (es decir ). $${\displaystyle \left(\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\left(\mathbf {b} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\,I+i\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot {\boldsymbol {\sigma }},}$$ $${\displaystyle \rho ^{2}={\tfrac {1}{2}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left(1+|a|^{2}\right)I+\mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right],}$$ ${\textstyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})={\frac {1}{2}}(1+|a|^{2}),}$ ${\displaystyle |a|=1}$

Relación con otros conceptos

entropía lineal

La pureza está trivialmente relacionada con la entropía lineal de un estado por ${\displaystyle S_{L}\,}$

$${\displaystyle \gamma =1-S_{L}\,.}$$

La entropía lineal es una aproximación inferior a la entropía S de von Neumann , que se define como

$${\displaystyle S\,{\dot {=}}\,-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho )=-\langle \ln \rho \rangle \,.}$$

La entropía lineal se obtiene entonces expandiendo ln ρ = ln (1−(1− ρ )) , alrededor de un estado puro, ρ ² = ρ ; es decir, expandir en términos de la matriz no negativa 1− ρ en la serie formal de Mercator para el logaritmo y retener solo el término principal. Tanto la entropía lineal como la de von Neumann miden el grado de mezcla de un estado, aunque la entropía lineal es más fácil de calcular, ya que no requiere diagonalización de la matriz de densidad. Algunos autores ^[4] definen la entropía lineal con una normalización diferente que asegura que la cantidad oscila entre cero y la unidad. $${\displaystyle -\langle \ln \rho \rangle =\langle 1-\rho \rangle +{\frac {1}{2}}\langle (1-\rho )^{2}\rangle +{\frac {1}{3}}\langle (1-\rho )^{3}\rangle +\cdots ,}$$ $${\displaystyle S_{L}\,{\dot {=}}\,{\tfrac {d}{d-1}}(1-\operatorname {tr} (\rho ^{2}))\,,}$$

Enredo

Un estado puro de 2 qubits se puede escribir (usando la descomposición de Schmidt ) como , donde están las bases de , respectivamente, y . Su matriz de densidad es . El grado en el que está entrelazado está relacionado con la pureza de los estados de sus subsistemas, y de manera similar para (ver rastro parcial ). Si este estado inicial es separable (es decir, solo hay un estado ), entonces ambos son puros. De lo contrario, este estado se entrelaza y ambos se mezclan. Por ejemplo, si cuál es un estado de entrelazamiento máximo, entonces ambos están completamente mezclados. ${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}}$ ${\textstyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{j}\lambda _{j}|j\rangle _{A}|j\rangle _{B}}$ ${\displaystyle \{|j\rangle _{A}\},\{|j\rangle _{B}\}}$ ${\displaystyle H_{A},H_{B}}$ ${\textstyle \sum _{j}\lambda _{j}^{2}=1,\lambda _{j}\geq 0}$ ${\textstyle \rho ^{AB}=\sum _{i,j}\lambda _{i}\lambda _{j}|i\rangle _{A}\langle j|_{A}\otimes |i\rangle _{B}\langle j|_{B}}$ ${\textstyle \rho ^{A}=\operatorname {tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{j}\lambda _{j}^{2}|j\rangle _{A}\langle j|_{A}}$ ${\displaystyle \rho ^{B}}$ ${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$ ${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$ ${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$ ${\textstyle |\psi \rangle _{AB}=|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$ ${\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$

Para estados de 2 qubits (puros o mixtos), el número de Schmidt (número de coeficientes de Schmidt) es como máximo 2. Usando este criterio y el de Peres-Horodecki (para 2 qubits), un estado está entrelazado si su transpuesta parcial tiene al menos un valor propio negativo. Usando los coeficientes de Schmidt anteriores, el valor propio negativo es . ^[5] La negatividad de este valor propio también se utiliza como medida de entrelazamiento: el estado está más entrelazado a medida que este valor propio es más negativo (hasta para los estados de Bell ). Para el estado del subsistema (de manera similar para ), se cumple que: ${\displaystyle -\lambda _{0}\lambda _{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=-\lambda _{0}\lambda _{1}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {tr} _{B}(|\psi \rangle _{AB}\langle \psi |_{AB})=\lambda _{0}^{2}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+\lambda _{1}^{2}|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}}$$

Y la pureza es . ${\displaystyle \gamma =\lambda _{0}^{4}+\lambda _{1}^{4}=(\lambda _{0}^{2}+\lambda _{1}^{2})^{2}-2(\lambda _{0}\lambda _{1})^{2}=1-2{\mathcal {N}}^{2}}$

Se puede ver que cuanto más entrelazado esté el estado compuesto (es decir, más negativo), menos puro será el estado del subsistema.

Ratio Inverso de Participación (IPR)

En el contexto de la localización, resulta útil una cantidad estrechamente relacionada con la pureza, el llamado índice de participación inversa (IPR). Se define como la integral (o suma para el tamaño de un sistema finito) sobre el cuadrado de la densidad en algún espacio, por ejemplo, el espacio real, el espacio de momento o incluso el espacio de fase, donde las densidades serían el cuadrado de la función de onda del espacio real. , el cuadrado de la función de onda espacial del momento , o alguna densidad del espacio de fase como la distribución de Husimi , respectivamente. ^[6] ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$ ${\displaystyle |{\tilde {\psi }}(k)|^{2}}$

El valor más pequeño del DPI corresponde a un estado completamente deslocalizado, para un sistema de tamaño , donde el DPI produce . Valores del IPR cercanos a 1 corresponden a estados localizados (estados puros en la analogía), como se puede observar con el estado perfectamente localizado , donde el IPR cede . En una dimensión, los DPI son directamente proporcionales a la inversa de la longitud de la localización, es decir, el tamaño de la región en la que se localiza un estado. Los estados localizados y deslocalizados (extendidos) en el marco de la física de la materia condensada corresponden entonces a estados aislantes y metálicos , respectivamente, si se imagina que un electrón en una red no puede moverse en el cristal (función de onda localizada, IPR está cerca de uno). ) o poder moverse (estado extendido, el DPI es cercano a cero). ${\displaystyle \psi (x)=1/{\sqrt {N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=N/(N^{1/2})^{4}=1/N}$ ${\displaystyle \psi (x)=\delta _{x,x_{0}}}$ ${\textstyle \sum _{x}|\psi (x)|^{4}=1}$

En el contexto de la localización, a menudo no es necesario conocer la función de onda en sí; a menudo es suficiente conocer las propiedades de localización. Por eso el DPI es útil en este contexto. Básicamente, el IPR toma toda la información sobre un sistema cuántico (la función de onda; para un espacio de Hilbert de dimensión uno tendría que almacenar valores, los componentes de la función de onda) y la comprime en un solo número que luego solo contiene cierta información sobre las propiedades de localización del estado. Aunque estos dos ejemplos de un estado perfectamente localizado y perfectamente deslocalizado solo se mostraron para la función de onda del espacio real y, correspondientemente, para el IPR del espacio real, obviamente se podría extender la idea al espacio de impulso e incluso al espacio de fase; Luego, el IPR proporciona cierta información sobre la localización en el espacio en consideración, por ejemplo, una onda plana estaría fuertemente deslocalizada en el espacio real, pero su transformada de Fourier está fuertemente localizada, por lo que aquí el IPR en el espacio real sería cercano a cero y el impulso Los DPI espaciales estarían cerca de uno. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Referencias

1. Jaeger, Gregg (15 de noviembre de 2006). Información cuántica: una descripción general. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-35725-6.
2. Cappellaro, Paola (2012). "Apuntes de la conferencia: Teoría cuántica de las interacciones entre radiaciones, Capítulo 7: Estados mixtos" (PDF) . ocw.mit.edu . Consultado el 26 de noviembre de 2016 .
3. Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2011). Computación cuántica e información cuántica: edición del décimo aniversario . Nueva York, NY, Estados Unidos: Cambridge University Press.
4. Nicolás A. Peters; Tzu-Chieh Wei; Paul G. Kwiat (2004). "Sensibilidad de estado mixto de varios puntos de referencia de información cuántica". Revisión física A. 70 (5): 052309. arXiv : quant-ph/0407172 . Código Bib : 2004PhRvA..70e2309P. doi : 10.1103/PhysRevA.70.052309. S2CID  18738888.
5. Życzkowski, Karol (1 de enero de 1998). "Volumen del conjunto de estados separables". Revisión física A. 58 (2): 883–892. arXiv : quant-ph/9804024v1 . Código Bib : 1998PhRvA..58..883Z. doi :10.1103/PhysRevA.58.883.
6. Kramer, B.; MacKinnon, A. (diciembre de 1993). "Localización: teoría y experimento". Informes sobre los avances en física . 56 (12): 1469. Código bibliográfico : 1993RPPh...56.1469K. doi :10.1088/0034-4885/56/12/001. ISSN  0034-4885. S2CID  250896587.